Идеальное поле - Perfect field

В алгебра, а поле k является идеально если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

• Каждый неприводимый многочлен над k имеет четкие корни.
• Каждый неприводимый многочлен над k является отделяемый.
• Каждый конечное расширение из k является отделяемый.
• Каждый алгебраическое расширение из k отделимо.
• Либо k имеет характеристика 0, или, когда k имеет характерный п > 0, каждый элемент k это пя сила.
• Либо k имеет характеристика 0, или, когда k имеет характерный п > 0, то Эндоморфизм Фробениуса Икс ↦ Икс^п является автоморфизм из k.
• В отделяемое закрытие из k является алгебраически замкнутый.
• Каждый уменьшенный коммутативный k-алгебра А это отделимая алгебра; т.е. ${ displaystyle A otimes _ {k} F}$ является уменьшенный для каждого расширение поля F/k. (Смотри ниже)

Иначе, k называется несовершенный.

В частности, все поля нулевой характеристики и все конечные поля идеальны.

Идеальные поля важны, потому что Теория Галуа над этими полями становится проще, так как общее предположение Галуа о сепарабельности расширений полей автоматически выполняется над этими полями (см. третье условие выше).

Еще одно важное свойство идеальных полей - это то, что они допускают Векторы Витта.

В более общем плане звенеть характерных п (п а основной ) называется идеально если Эндоморфизм Фробениуса является автоморфизм.^[1] (При ограничении целостные области, это эквивалентно указанному выше условию "каждый элемент k это п-я мощность ".)

Примеры

Примеры идеальных полей:

• каждое поле нулевой характеристики, поэтому ${ displaystyle mathbb {Q}}$ и всякое конечное расширение, и ${ Displaystyle mathbb {C}}$;^[2]
• каждый конечное поле ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$;^[3]
• каждый алгебраически замкнутое поле;
• объединение набора совершенных полей, полностью упорядоченных по расширению;
• поля алгебраические над совершенным полем.

Большинство полей, которые встречаются на практике, идеальны. Несовершенный случай возникает главным образом в алгебраической геометрии в характеристической п > 0. Каждое несовершенное поле обязательно трансцендентный над его основное подполе (минимальное подполе), потому что последнее идеально. Пример несовершенного поля:

поле ${ Displaystyle mathbf {F} _ {q} (х)}$

поскольку Фробениус посылает ${ Displaystyle х mapsto х ^ {p}}$, следовательно, он не сюръективен. Встраивается в идеальное поле

${ displaystyle mathbf {F} _ {q} (x, x ^ {1 / p}, x ^ {1 / p ^ {2}}, ldots)}$

назвал его совершенство. Несовершенные поля вызывают технические трудности, потому что неприводимые многочлены могут стать приводимыми в алгебраическом замыкании основного поля. Например,^[4] учитывать ${ displaystyle f (x, y) = x ^ {p} + ay ^ {p} in k [x, y]}$ за ${ displaystyle k}$ несовершенное поле характеристики ${ displaystyle p}$ и а не п-я степень в ж. Тогда в его алгебраическом замыкании ${ displaystyle k ^ { operatorname {alg}} [x, y]}$, имеет место равенство

${ Displaystyle е (х, у) = (х + по) ^ {р},}$

куда б^п = а и тому подобное б существует в этом алгебраическом замыкании. Геометрически это означает, что ${ displaystyle f}$ не определяет аффинную плоскую кривую в ${ Displaystyle к [х, у]}$.

Расширение поля на идеальном поле

Любой конечно порожденное расширение поля K над идеальным полем k сепарабельно порождена, т.е. допускает разделяющую база трансцендентности, т.е. база трансцендентности Γ такая, что K сепарабельно алгебраичен над k(Γ).^[5]

Идеальное закрытие и совершенство

Одно из эквивалентных условий гласит, что в характеристике п, поле, к которому примыкают все п^р-ые корни (р ≥ 1) идеально; это называется идеальное закрытие из k и обычно обозначается ${ Displaystyle к ^ {p ^ {- infty}}}$.

Идеальное закрытие можно использовать в тесте на разделимость. Точнее, коммутативный k-алгебра А отделимо тогда и только тогда, когда ${ displaystyle A otimes _ {k} k ^ {p ^ {- infty}}}$ уменьшен.^[6]

С точки зрения универсальные свойства, то идеальное закрытие кольца А характерных п идеальное кольцо А_п характерных п вместе с кольцевой гомоморфизм ты : А → А_п так что для любого другого идеального кольца B характерных п с гомоморфизмом v : А → B существует единственный гомоморфизм ж : А_п → B такой, что v факторы через ты (т.е. v = фу). Идеальное завершение существует всегда; доказательство предполагает "примыкание п-корни элементов А", как и в случае с полями.^[7]

В совершенство кольца А характерных п - это двойственное понятие (хотя этот термин иногда используется для обозначения идеального завершения). Другими словами, совершенство р(А) из А идеальное кольцо характерного п вместе с картой θ : р(А) → А так что для любого идеального кольца B характерных п оснащен картой φ : B → А, есть уникальная карта ж : B → р(А) такой, что φ факторы через θ (т.е. φ = θf). Совершенство А можно построить следующим образом. Рассмотрим проективная система

${ Displaystyle cdots rightarrow A rightarrow A rightarrow A rightarrow cdots}$

где отображения перехода - эндоморфизм Фробениуса. В обратный предел этой системы р(А) и состоит из последовательностей (Икс₀, Икс₁, ...) элементов А такой, что ${ Displaystyle х_ {я + 1} ^ {р} = х_ {я}}$ для всех я. Карта θ : р(А) → А отправляет (Икс_я) к Икс₀.^[8]

Смотрите также

• p-кольцо
• Идеальное кольцо
• Квазиконечное поле

Примечания

Рекомендации

• Бурбаки, Николас (2003), Алгебра II, Спрингер, ISBN  978-3-540-00706-7
• Бринон, Оливье; Конрад, Брайан (2009), Заметки летней школы CMI по p-адической теории Ходжа (PDF), получено 2010-02-05
• Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля, Тексты для выпускников по математике, 67 (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90424-5, МИСТЕР  0554237
• Кон, П. (2003), Базовая алгебра: группы, кольца и поля
• Мацумура, Х (2003), Коммутативная теория колец, Перевод с японского М. Рейда. Кембриджские исследования по высшей математике, 8 (2-е изд.)

внешняя ссылка

• «Идеальное поле», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]