Автоморфизм - Automorphism

В математика, автоморфизм является изоморфизм из математический объект себе. В каком-то смысле это симметрия объекта, и способ отображение объект сам себе, сохраняя при этом всю свою структуру. В набор всех автоморфизмов объекта образует группа, называется группа автоморфизмов. Это, грубо говоря, группа симметрии объекта.

Определение

В контексте абстрактная алгебра, математический объект - это алгебраическая структура например, группа, звенеть, или же векторное пространство. An автоморфизм просто биективный гомоморфизм объекта с собой. (Определение гомоморфизма зависит от типа алгебраической структуры; см., Например, групповой гомоморфизм, кольцевой гомоморфизм, и линейный оператор ).

В морфизм идентичности (отображение идентичности ) называется тривиальный автоморфизм в некоторых контекстах. Соответственно другие (неидентичные) автоморфизмы называются нетривиальные автоморфизмы.

Точное определение автоморфизма зависит от типа рассматриваемого «математического объекта» и от того, что именно составляет «изоморфизм» этого объекта. Самая общая ситуация, в которой эти слова имеют значение, - это абстрактный раздел математики, называемый теория категорий. Теория категорий имеет дело с абстрактными объектами и морфизмы между этими объектами.

В теории категорий автоморфизм является эндоморфизм (т.е. морфизм от объекта к себе), который также является изоморфизм (в категорическом смысле этого слова).

Это очень абстрактное определение, поскольку в теории категорий морфизмы не обязательно функции и объекты не обязательно наборы. Однако в большинстве конкретных настроек объекты будут иметь некоторую дополнительную структуру, а морфизмы будут функциями, сохраняющими эту структуру.

Группа автоморфизмов

Если автоморфизмы объекта Икс сформировать набор (вместо собственно учебный класс ), то они образуют группа под сочинение из морфизмы. Эта группа называется группа автоморфизмов из Икс.

Закрытие: Другой автоморфизм - композиция двух автоморфизмов.
Ассоциативность: Это часть определения категория эта композиция морфизмов ассоциативна.
Личность: Тождество - это морфизм тождества от объекта к самому себе, который является автоморфизмом.
Перевернутые: По определению каждый изоморфизм имеет обратный, который также является изоморфизмом, а поскольку обратный также является эндоморфизмом того же объекта, он является автоморфизмом.

Группа автоморфизмов объекта Икс в категории C обозначается Aut_C(Икс) или просто Aut (Икс), если категория понятна из контекста.

Примеры

В теория множеств, произвольный перестановка элементов набора Икс это автоморфизм. Группа автоморфизмов Икс также называется симметрической группой на Икс.
В элементарная арифметика, набор целые числа, Z, рассматриваемая как добавляемая группа, обладает единственным нетривиальным автоморфизмом: отрицанием. Однако, рассматриваемое как кольцо, оно имеет только тривиальный автоморфизм. Вообще говоря, отрицание - это автоморфизм любого абелева группа, но не кольца или поля.
Групповой автоморфизм - это групповой изоморфизм от группы к себе. Неформально это перестановка элементов группы таким образом, чтобы структура оставалась неизменной. Для каждой группы грамм существует естественный гомоморфизм групп грамм → Aut (грамм) чей изображение группа Inn (грамм) из внутренние автоморфизмы и чей ядро это центр из грамм. Таким образом, если грамм имеет банальный центр его можно вложить в свою группу автоморфизмов.^[1]
В линейная алгебра, эндоморфизм векторное пространство V это линейный оператор V → V. Автоморфизм - это обратимый линейный оператор на V. Когда векторное пространство конечномерно, группа автоморфизмов V такой же, как общая линейная группа, GL (V). (Алгебраическая структура все эндоморфизмы V является алгеброй над тем же базовым полем, что и V, чей обратимые элементы в точности состоят из GL (V).)
Полевой автоморфизм - это биективный кольцевой гомоморфизм из поле себе. В случаях рациональное число (Q) и действительные числа (р) нетривиальных полевых автоморфизмов нет. Некоторые подполя р имеют нетривиальные полевые автоморфизмы, которые, однако, не распространяются на все р (потому что они не могут сохранить свойство числа, имеющего квадратный корень в р). В случае сложные числа, C, существует единственный нетривиальный автоморфизм, переводящий р в р: комплексное сопряжение, но их бесконечно (бесчисленно ) многие «дикие» автоморфизмы (в предположении аксиома выбора ).^[2]^[3] Полевые автоморфизмы важны для теории расширения полей, особенно Расширения Галуа. В случае расширения Галуа L/K то подгруппа всех автоморфизмов L фиксация K поточечный называется Группа Галуа расширения.
Группа автоморфизмов кватернионы (ЧАС) как кольцо - внутренние автоморфизмы в силу Теорема Сколема – Нётер: карты формы а ↦ бабушка⁻¹.^[4] Эта группа изоморфный к ТАК (3), группа вращений в трехмерном пространстве.
Группа автоморфизмов октонионы (О) это исключительный Группа Ли грамм₂.
В теория графов ан автоморфизм графа представляет собой перестановку узлов, сохраняющую ребра и не ребра. В частности, если два узла соединены ребром, то же самое происходит и с их изображениями при перестановке.
В геометрия, автоморфизм можно назвать движение пространства. Также используется специализированная терминология:
- В метрическая геометрия автоморфизм - это само-изометрия. Группа автоморфизмов также называется группа изометрии.
- В категории Римановы поверхности, автоморфизм - это биголоморфный карта (также называемая конформная карта ), с поверхности на себя. Например, автоморфизмы Сфера Римана находятся Преобразования Мебиуса.
- Автоморфизм дифференцируемого многообразие M это диффеоморфизм из M себе. Группу автоморфизмов иногда обозначают Diff (M).
- В топология, морфизмы между топологическими пространствами называются непрерывные карты, а автоморфизм топологического пространства - это гомеоморфизм пространства самому себе, или самогомеоморфизм (см. группа гомеоморфизмов ). В этом примере это не достаточно чтобы морфизм был биективным, чтобы быть изоморфизмом.

История

Один из самых ранних групповых автоморфизмов (автоморфизм группы, а не просто группа автоморфизмов точек) был дан ирландским математиком Уильям Роуэн Гамильтон в 1856 г. икозианское исчисление, где он открыл автоморфизм второго порядка,^[5] письмо:

так что ${displaystyle mu}$ новый корень пятой степени единства, связанный с прежним корнем пятой степени ${displaystyle lambda}$ отношениями полной взаимности.

Внутренний и внешний автоморфизмы

В некоторых категориях - особенно группы, кольца, и Алгебры Ли - автоморфизмы можно разделить на два типа, называемые «внутренними» и «внешними» автоморфизмами.

В случае групп внутренние автоморфизмы являются сопряжениями элементами самой группы. Для каждого элемента а группы грамм, спряжение а это операция φ_а : грамм → грамм данный φ_а(грамм) = ага⁻¹ (или же а⁻¹га; использование варьируется). Это спряжение легко проверить с помощью а является групповым автоморфизмом. Внутренние автоморфизмы образуют нормальная подгруппа Aut (грамм), обозначаемый Inn (грамм); это называется Лемма Гурса.

Остальные автоморфизмы называются внешние автоморфизмы. В факторгруппа Aut (грамм) / Гостиница(грамм) обычно обозначается Out (грамм); нетривиальные элементы - это смежные классы содержащие внешние автоморфизмы.

То же определение справедливо в любом единый звенеть или же алгебра куда а есть ли обратимый элемент. За Алгебры Ли определение немного другое.

Смотрите также

внешняя ссылка

[Pahl-1] П. Дж. Пал, Р. Дамрат (2001). "§7.5.5 Автоморфизмы". Математические основы вычислительной техники (Под ред. Перевода Феликса Пала). Springer. п. 376. ISBN 3-540-67995-2.

[2] Йель, Пол Б. (май 1966 г.). «Автоморфизмы комплексных чисел» (PDF). Математический журнал. 39 (3): 135–141. Дои:10.2307/2689301. JSTOR 2689301.

[3] Лунесто, Пертти (2001), Алгебры и спиноры Клиффорда (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. 22–23, ISBN 0-521-00551-5

[4] Справочник по алгебре, 3, Эльзевир, 2003, стр. 453

[5] Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856). «Меморандум о новой системе корней единства» (PDF). Философский журнал. 12: 446.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]