Лемма Гурсаца - Википедия - Goursats lemma

Лемма Гурса, названный в честь Французский математик Эдуард Гурса, является алгебраический теорема о подгруппы из прямой продукт из двух группы.

В более общем плане об этом можно сказать Сорт Гурса (а следовательно, и в любом Сорт Мальцева ), из которого восстанавливается более общая версия Лемма Цассенхауза о бабочке. В этой форме из теоремы Гурса также следует лемма о змеях.

Группы

Лемму Гурса для групп можно сформулировать следующим образом.

Позволять ${ displaystyle G}$, ${ displaystyle G '}$ быть группами, и пусть ${ displaystyle H}$ быть подгруппой ${ Displaystyle G times G '}$ так что два прогнозы ${ displaystyle p_ {1}: H rightarrow G}$ и ${ displaystyle p_ {2}: H rightarrow G '}$ находятся сюръективный (т.е. ${ displaystyle H}$ это подпрямой продукт из ${ displaystyle G}$ и ${ displaystyle G '}$). Позволять ${ displaystyle N}$ быть ядром ${ displaystyle p_ {2}}$ и ${ displaystyle N '}$ то ядро из ${ displaystyle p_ {1}}$. Можно определить ${ displaystyle N}$ как нормальная подгруппа из ${ displaystyle G}$, и ${ displaystyle N '}$ как нормальная подгруппа ${ displaystyle G '}$. Тогда образ ${ displaystyle H}$ в ${ Displaystyle G / N times G '/ N'}$ это график из изоморфизм ${ Displaystyle G / N приблизительно G '/ N'}$.

Непосредственным следствием этого является то, что подпрямое произведение двух групп может быть описано как волокнистый продукт наоборот.

Обратите внимание, что если ${ displaystyle H}$ является любой подгруппа ${ Displaystyle G times G '}$ (прогнозы ${ displaystyle p_ {1}: H rightarrow G}$ и ${ displaystyle p_ {2}: H rightarrow G '}$ необязательно быть сюръективным), то проекции из ${ displaystyle H}$ на ${ displaystyle p_ {1} (H)}$ и ${ displaystyle p_ {2} (H)}$ находятся сюръективный. Тогда можно применить лемму Гурса к ${ Displaystyle H Leq p_ {1} (H) times p_ {2} (H)}$.

Чтобы мотивировать доказательство, рассмотрим срез ${ Displaystyle S = {g} times G '}$ в ${ Displaystyle G times G '}$, для любого произвольного ${ displaystyle {g} in G}$. По сюръективности отображения проекции на ${ displaystyle G}$, это имеет нетривиальное пересечение с ${ displaystyle H}$. Тогда по существу это пересечение представляет собой ровно один конкретный смежный класс ${ displaystyle N '}$. Действительно, если бы у нас были отдельные элементы ${ Displaystyle (г, а), (г, Ь) в S cap H}$ с ${ displaystyle a in pN ' subset G'}$ и ${ displaystyle b in qN ' subset G'}$ , тогда ${ displaystyle H}$ будучи группой, мы получаем это ${ displaystyle (е, ab ^ {- 1}) в H}$, и поэтому, ${ displaystyle (е, ab ^ {- 1}) in N '}$. Но это противоречие, так как ${ displaystyle a, b}$ принадлежат различным смежным классам ${ displaystyle N '}$, и поэтому ${ displaystyle ab ^ {- 1} N ' neq N'}$, поэтому элемент ${ displaystyle (е, ab ^ {- 1}) in N '}$ не может принадлежать ядру ${ displaystyle N '}$ карты проекции из ${ displaystyle H}$ к ${ displaystyle G}$. Таким образом, пересечение ${ displaystyle H}$ с каждым "горизонтальным" срезом, изоморфным ${ displaystyle G ' in G times G'}$ это ровно один конкретный смежный класс ${ displaystyle N '}$ в ${ displaystyle G '}$.По аналогичному аргументу пересечение ${ displaystyle H}$ с каждым "вертикальным" срезом, изоморфным ${ Displaystyle G in G times G '}$ это ровно один конкретный смежный класс ${ displaystyle N}$ в ${ displaystyle G}$.

Все классы ${ Displaystyle G, G '}$ присутствуют в группе ${ displaystyle H}$, и согласно приведенным выше аргументам между ними существует точное соответствие 1: 1. Приведенное ниже доказательство показывает, что отображение является изоморфизмом.

Доказательство

Прежде чем приступить к доказательство, ${ displaystyle N}$ и ${ displaystyle N '}$ показаны как нормальные в ${ Displaystyle G раз {е '}}$ и ${ Displaystyle {е } раз G '}$, соответственно. Именно в этом смысле ${ displaystyle N}$ и ${ displaystyle N '}$ можно определить как нормальный в грамм и ГРАММ', соответственно.

С ${ displaystyle p_ {2}}$ это гомоморфизм, его ядро N нормально в ЧАС. Более того, учитывая ${ displaystyle g in G}$, Существует ${ displaystyle h = (g, g ') in H}$, поскольку ${ displaystyle p_ {1}}$ сюръективно. Следовательно, ${ displaystyle p_ {1} (N)}$ нормально в грамм, а именно:

${ Displaystyle gp_ {1} (N) = p_ {1} (h) p_ {1} (N) = p_ {1} (hN) = p_ {1} (Nh) = p_ {1} (N) g }$.

Следует, что ${ displaystyle N}$ нормально в ${ Displaystyle G раз {е '}}$ поскольку

${ displaystyle (g, e ') N = (g, e') (p_ {1} (N) times {e '}) = gp_ {1} (N) times {e' } = p_ {1} (N) g times {e '} = (p_ {1} (N) times {e' }) (g, e ') = N (g, e')}$.

Доказательство того, что ${ displaystyle N '}$ нормально в ${ Displaystyle {е } раз G '}$ происходит аналогичным образом.

Учитывая идентификацию ${ displaystyle G}$ с ${ Displaystyle G times {е '}}$, мы можем написать ${ Displaystyle G / N}$ и ${ displaystyle gN}$ вместо ${ Displaystyle (G раз {е '}) / N}$ и ${ displaystyle (g, e ') N}$, ${ displaystyle g in G}$. Аналогично мы можем написать ${ Displaystyle G '/ N'}$ и ${ displaystyle g'N '}$, ${ displaystyle g ' in G'}$.

Переходим к доказательству. Рассмотрим карту ${ Displaystyle H rightarrow G / N times G '/ N'}$ определяется ${ displaystyle (g, g ') mapsto (gN, g'N')}$. Образ ${ displaystyle H}$ под этой картой ${ Displaystyle {(gN, g'N ') | (g, g') в H }}$. С ${ Displaystyle H rightarrow G / N}$ сюръективно, это связь график четко определенный функция ${ Displaystyle G / N rightarrow G '/ N'}$ при условии ${ displaystyle g_ {1} N = g_ {2} N Rightarrow g_ {1} 'N' = g_ {2} 'N'}$ для каждого ${ displaystyle (g_ {1}, g_ {1} '), (g_ {2}, g_ {2}') in H}$, по сути, приложение тест вертикальной линии.

С ${ displaystyle g_ {1} N = g_ {2} N}$ (точнее, ${ displaystyle (g_ {1}, e ') N = (g_ {2}, e') N}$), у нас есть ${ displaystyle (g_ {2} ^ {- 1} g_ {1}, e ') in N subset H}$. Таким образом ${ displaystyle (е, g_ {2} '^ {- 1} g_ {1}') = (g_ {2}, g_ {2} ') ^ {- 1} (g_ {1}, g_ {1} ') (g_ {2} ^ {- 1} g_ {1}, e') ^ {- 1} in H}$откуда ${ displaystyle (е, g_ {2} '^ {- 1} g_ {1}') in N '}$, то есть, ${ displaystyle g_ {1} 'N' = g_ {2} 'N'}$.

Кроме того, для каждого ${ displaystyle (g_ {1}, g_ {1} '), (g_ {2}, g_ {2}') in H}$ у нас есть ${ displaystyle (g_ {1} g_ {2}, g_ {1} 'g_ {2}') in H}$. Следовательно, эта функция является гомоморфизмом групп.

По симметрии ${ Displaystyle {(g'N ', gN) | (g, g') в H }}$ является графиком корректно определенного гомоморфизма ${ Displaystyle G '/ N' rightarrow G / N}$. Эти два гомоморфизма явно обратны друг другу и, таким образом, действительно являются изоморфизмами.

Сорта гурса

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Апрель 2015 г.)

Как следствие теоремы Гурса можно вывести очень общую версию Иордания – Гёльдер –Теорема Шрайера в сортах Гурса.

Рекомендации

• Эдуард Гурса, "Sur les замещений ортогональных и ле регулярных подразделений де l'espace", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы (1889), том: 6, страницы 9–102
• Я. Ламбек (1996). «Бабочка и змей». В Альдо Урсини; Пауло Альяно (ред.). Логика и алгебра. CRC Press. С. 161–180. ISBN  978-0-8247-9606-8.
• Кеннет А. Рибет (Осень 1976 г.) "Галуа Действие по пунктам разделения Абелевы многообразия с действительным умножением », Американский журнал математики, Vol. 98, № 3, 751–804.