Комплексный анализ - Википедия - Complex analysis

График цветового круга функции ж(z) = (z² − 1)(z + 2 − я)² / (z² + 2 - 2я).
Оттенок представляет аргумент, яркость то величина.

Математический анализ → Комплексный анализ
Комплексный анализ
Сложные числа
Настоящий номер Мнимое число Комплексная плоскость Комплексное сопряжение Комплексное число единицы
Комплексные функции
Комплексная функция Аналитическая функция Голоморфная функция Уравнения Коши – Римана Формальный степенной ряд
Основная теория
Нули и полюсы Интегральная теорема Коши Местный примитив Интегральная формула Коши Номер обмотки Серия Laurent Изолированная особенность Теорема об остатке Конформная карта Лемма Шварца Гармоническая функция Уравнение Лапласа
Геометрическая теория функций
Люди
Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер Карл Фридрих Гаусс Жак Адамар Киёси Ока Бернхард Риманн Карл Вейерштрасс
Математический портал

Комплексный анализ, традиционно известный как теория функций комплексного переменного, это ветвь математический анализ что исследует функции из сложные числа. Это полезно во многих областях математики, в том числе алгебраическая геометрия, теория чисел, аналитическая комбинаторика, Прикладная математика; а также в физика, включая филиалы гидродинамика, термодинамика, и особенно квантовая механика. Кроме того, использование комплексного анализа также находит применение в инженерных областях, таких как ядерный, аэрокосмический, механический и электротехника.^{[нужна цитата ]}

Как дифференцируемая функция комплексной переменной равна ее Серия Тейлор (то есть это аналитический ), комплексный анализ особенно касается аналитических функций комплексной переменной (т. е. голоморфные функции ).

История

В Набор Мандельброта, а фрактал

Комплексный анализ - одна из классических ветвей математики, уходящая корнями в XVIII век и незадолго до этого. Важные математики, связанные с комплексными числами, включают: Эйлер, Гаусс, Риман, Коши, Weierstrass и многое другое в 20 веке. Комплексный анализ, в частности теория конформные отображения, имеет множество физических приложений, а также используется повсюду аналитическая теория чисел. В наше время он стал очень популярным благодаря новым импульсам от сложная динамика и фотографии фракталы производится путем повторения голоморфные функции. Еще одно важное приложение комплексного анализа: теория струн который изучает конформные инварианты в квантовая теория поля.

Комплексные функции

An экспоненциальный функция А^п дискретного (целое число ) Переменная п, похожий на геометрическая прогрессия

Сложная функция - это функция из сложные числа к комплексным числам. Другими словами, это функция, которая имеет подмножество комплексных чисел как домен а комплексные числа как codomain. Обычно предполагается, что у сложных функций есть домен, содержащий непустой открытое подмножество из комплексная плоскость.

Для любой сложной функции значения ${ displaystyle z}$ из домена и их изображений ${ displaystyle f (z)}$ в диапазоне можно разделить на настоящий и воображаемый части:

${ displaystyle z = x + iy quad { text {and}} quad f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y),}$

куда ${ Displaystyle х, у, и (х, у), v (х, у)}$ все имеют реальную ценность.

Другими словами, сложная функция ${ displaystyle f: mathbb {C} to mathbb {C}}$ может быть разложен на

${ displaystyle u: mathbb {R} ^ {2} to mathbb {R} quad}$ и ${ Displaystyle quad v: mathbb {R} ^ {2} to mathbb {R},}$

т. е. на две действительные функции (${ displaystyle u}$, ${ displaystyle v}$) двух действительных переменных (${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$).

Аналогично, любая комплексная функция ж на произвольном набор Икс можно рассматривать как упорядоченная пара из двух действительные функции: (Re ж, Я ж) или, альтернативно, как вектор-функция из Икс в ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}.}$

Некоторые свойства комплексных функций (например, непрерывность ) являются не чем иным, как соответствующими свойствами векторных функций двух действительных переменных. Другие концепции комплексного анализа, такие как дифференцируемость являются прямым обобщением аналогичных концепций для реальных функций, но могут иметь очень разные свойства. В частности, каждый дифференцируемая комплексная функция является аналитический (см. следующий раздел), и две дифференцируемые функции, равные в район точки равны на пересечении их области определения (если области связаны ). Последнее свойство лежит в основе принципа аналитическое продолжение что позволяет расширить каждый реальный аналитическая функция уникальным способом для получения комплексной аналитической функции, область определения которой представляет собой всю комплексную плоскость с конечным числом кривые дуги удаленный. Многие основные и специальный таким образом определяются сложные функции, включая экспоненциальные функции, логарифмические функции, и тригонометрические функции.

Голоморфные функции

Сложные функции, которые дифференцируемый в каждой точке открытое подмножество ${ displaystyle Omega}$ комплексной плоскости называются голоморфный на ${ displaystyle Omega}$. В контексте комплексного анализа производная от ${ displaystyle f}$ в ${ displaystyle z_ {0}}$ определяется как

${ displaystyle f '(z_ {0}) = lim _ {z to z_ {0}} { frac {f (z) -f (z_ {0})} {z-z_ {0}}} , quad z in mathbb {C}.}$

На первый взгляд это определение формально аналогично определению производной действительной функции. Однако сложные производные и дифференцируемые функции ведут себя по-разному по сравнению с их реальными аналогами. В частности, для существования этого предела значение коэффициента разности должно приближаться к одному и тому же комплексному числу, независимо от того, как мы приближаемся к ${ displaystyle z_ {0}}$ в комплексной плоскости. Следовательно, комплексная дифференцируемость имеет гораздо более серьезные последствия, чем реальная дифференцируемость. Например, голоморфные функции бесконечно дифференцируемый, тогда как существование п-я производная не обязательно подразумевает существование (п + 1) -я производная для действительных функций. Кроме того, все голоморфные функции удовлетворяют более сильному условию аналитичность, что означает, что функция в каждой точке своего определения локально задается сходящимся степенным рядом. По сути, это означает, что функции, голоморфные на ${ displaystyle Omega}$ можно сколь угодно хорошо аппроксимировать многочленами в некоторой окрестности каждой точки в ${ displaystyle Omega}$. Это резко контрастирует с дифференцируемыми действительными функциями; существуют бесконечно дифференцируемые действительные функции, которые нигде аналитический; видеть Неаналитическая гладкая функция § Гладкая функция, которая нигде не является вещественно аналитической.

Большинство элементарных функций, включая экспоненциальная функция, то тригонометрические функции, и все полиномиальные функции, соответствующим образом расширен до сложных аргументов как функций ${ Displaystyle mathbb {C} to mathbb {C}}$, голоморфны на всей комплексной плоскости, что делает их весь функции, а рациональные функции ${ displaystyle p / q}$, куда п и q являются многочленами, голоморфны в областях, исключающих точки, в которых q равно нулю. Такие функции, голоморфные всюду, кроме множества изолированных точек, называются мероморфные функции. С другой стороны, функции ${ Displaystyle г mapsto Re (г)}$, ${ Displaystyle г mapsto | г |}$, и ${ displaystyle z mapsto { bar {z}}}$ не голоморфны нигде на комплексной плоскости, что может быть показано их невыполнением условий Коши – Римана (см. ниже).

Важным свойством голоморфных функций является связь между частными производными их действительных и мнимых компонентов, известная как Условия Коши – Римана.. Если ${ displaystyle f: mathbb {C} to mathbb {C}}$, определяется ${ Displaystyle f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y)}$, куда ${ Displaystyle х, у, и (х, у), v (х, у) в mathbb {R}}$, голоморфна на область, край ${ displaystyle Omega}$, тогда ${ displaystyle ( partial f / partial { bar {z}}) (z_ {0}) = 0}$ должен держаться для всех ${ displaystyle z_ {0} in Omega}$. Здесь дифференциальный оператор ${ displaystyle partial / partial { bar {z}}}$ определяется как ${ Displaystyle (1/2) ( partial / partial x + i partial / partial y)}$. Что касается действительной и мнимой частей функции, ты и v, это эквивалентно паре уравнений ${ displaystyle u_ {x} = v_ {y}}$ и ${ displaystyle u_ {y} = - v_ {x}}$, где нижние индексы указывают на частичное дифференцирование. Однако условия Коши – Римана не характеризуют голоморфные функции без дополнительных условий непрерывности (см. Теорема Лумана – Меншгофа ).

Голоморфные функции обладают некоторыми замечательными особенностями. Например, Теорема Пикарда утверждает, что диапазон всей функции может принимать только три возможных формы: ${ displaystyle mathbb {C}}$, ${ Displaystyle mathbb {C} smallsetminus {z_ {0} }}$, или же ${ displaystyle {z_ {0} }}$ для некоторых ${ displaystyle z_ {0} in mathbb {C}}$. Другими словами, если два различных комплексных числа ${ displaystyle z}$ и ${ displaystyle w}$ не входят в диапазон всей функции ${ displaystyle f}$, тогда ${ displaystyle f}$ - постоянная функция. Кроме того, для голоморфной функции ${ displaystyle f}$ определено на открытом множестве ${ displaystyle U}$, то аналитическое продолжение из ${ displaystyle f}$ к большему открытому множеству ${ Displaystyle V supset U}$ уникален. В результате значение голоморфной функции в сколь угодно малой области фактически определяет значение функции всюду, до которой она может быть продолжена как голоморфная функция.

Смотрите также: аналитическая функция, связный пучок и векторные пакеты.

Основные результаты

Одним из центральных инструментов комплексного анализа является линейный интеграл. Интеграл по линии вокруг замкнутого пути функции, голоморфной всюду внутри области, ограниченной замкнутым путем, всегда равен нулю, как утверждается Интегральная теорема Коши. Значения такой голоморфной функции внутри диска можно вычислить с помощью интеграла по путям на границе диска (как показано на Интегральная формула Коши ). Интегралы по траекториям в комплексной плоскости часто используются для определения сложных вещественных интегралов, и здесь теория остатки среди прочего применимо (см. методы контурной интеграции ). "Полюс" (или изолированная особенность ) функции - это точка, в которой значение функции становится неограниченным или "взрывается". Если функция имеет такой полюс, то можно вычислить в нем вычет функции, который можно использовать для вычисления интегралов по путям, включающим функцию; это содержание могущественных теорема о вычетах. Замечательное поведение голоморфных функций вблизи существенных особенностей описывается формулой Теорема Пикарда. Функции, у которых есть только полюса, но нет существенные особенности называются мероморфный. Серия Laurent являются комплексным эквивалентом Серия Тейлор, но может использоваться для изучения поведения функций вблизи сингулярностей с помощью бесконечных сумм более хорошо изученных функций, таких как полиномы.

А ограниченная функция то есть голоморфно во всей комплексной плоскости, должно быть постоянным; это Теорема Лиувилля. Его можно использовать как естественное и короткое доказательство основная теорема алгебры в котором говорится, что поле комплексных чисел алгебраически замкнутый.

Если функция голоморфна на всем связаны domain, то его значения полностью определяются его значениями на любом меньшем поддомене. Функция в большей области называется аналитически продолжение от его значений на меньшем домене. Это позволяет расширить определение функций, таких как Дзета-функция Римана, которые изначально определены в терминах бесконечных сумм, сходящихся только в ограниченных областях почти ко всей комплексной плоскости. Иногда, как в случае с натуральный логарифм, невозможно аналитически продолжить голоморфную функцию на неодносвязную область на комплексной плоскости, но можно продолжить ее до голоморфной функции на тесно связанной поверхности, известной как Риманова поверхность.

Все это относится к комплексному анализу по одной переменной. Есть также очень богатая теория комплексный анализ более чем в одном сложном измерении в котором аналитические свойства, такие как степенной ряд разложение переносится, тогда как большинство геометрических свойств голоморфных функций в одном комплексном измерении (например, конформность ) не переносятся. В Теорема Римана об отображении о конформном соотношении определенных областей в комплексной плоскости, что может быть наиболее важным результатом в одномерной теории, резко не работает в более высоких измерениях.

Некоторые сложные пространства используются в основном в квантовая механика в качестве волновые функции.

Смотрите также

• Аналитическое продолжение
• Векторное исчисление
• Сложная динамика
• Список тем комплексного анализа
• Теорема монодромии
• Реальный анализ
• Теорема Рунге
• Несколько сложных переменных

Рекомендации

• Альфорс, Л., Комплексный анализ, 3-е изд. (Макгроу-Хилл, 1979).
• Стивен Д. Фишер, Комплексные переменные, 2-е изд. (Довер, 1999).
• Каратеодори, К., Теория функций комплексного переменного (Челси, Нью-Йорк). [2 тома]
• Хенрици, П., Прикладной и вычислительный комплексный анализ (Вайли). [Три тома: 1974, 1977, 1986.]
• Крейсциг, Э., Высшая инженерная математика, 10 изд., Гл. 13–18 (Wiley, 2011).
• Маркушевич А.И.,Теория функций комплексного переменного (Прентис-Холл, 1965). [Три тома.]
• Marsden И Хоффман, Базовый комплексный анализ. 3-е изд. (Фриман, 1999).
• Нидхэм, Т., Визуальный комплексный анализ (Оксфорд, 1997).
• Рудин, В., Реальный и комплексный анализ, 3-е изд. (Макгроу-Хилл, 1986).
• Шайдеманн, В., Введение в комплексный анализ нескольких переменных (Биркхаузер, 2005)
• Шоу, W.T., Комплексный анализ с помощью Mathematica (Кембридж, 2006).
• Шпигель, Мюррей Р. Теория и проблемы комплексных переменных - с введением в конформное отображение и его приложения (Макгроу-Хилл, 1964).
• Stein И Шакарчи, Комплексный анализ (Принстон, 2003).
• Ablowitz & Фокас, Комплексные переменные: введение и применение (Кембридж, 2003).

внешняя ссылка

• Страница комплексного анализа MathWorld от Wolfram Research