Основная теорема алгебры - Fundamental theorem of algebra

В основная теорема алгебры заявляет, что каждый не-постоянный однопеременный многочлен с сложный коэффициенты имеет хотя бы один комплекс корень. Это включает в себя многочлены с действительными коэффициентами, поскольку каждое действительное число является комплексным числом со своим мнимая часть равно нулю.

Эквивалентно (по определению) теорема утверждает, что поле из сложные числа является алгебраически замкнутый.

Теорема также формулируется следующим образом: каждое ненулевое, однозначное, степень п многочлен с комплексными коэффициентами имеет, считая с множественность, точно п сложные корни. Эквивалентность этих двух утверждений может быть доказана путем использования следующих друг за другом полиномиальное деление.

Несмотря на название, чисто алгебраического доказательства теоремы не существует, поскольку любое доказательство должно использовать некоторую форму аналитического полнота действительных чисел, который не алгебраическая концепция.^[1] Кроме того, это не принципиально для современная алгебра; его название было дано в то время, когда алгебра была синонимом теория уравнений.

История

Питер Рот в своей книге Философская арифметика (опубликовано в 1608 году в Нюрнберге Иоганном Ланценбергером),^[2] написал, что полиномиальное уравнение степени п (с действительными коэффициентами) май имеют п решения. Альбер Жирар, в его книге L'invention nouvelle en l'Algèbre (опубликовано в 1629 г.), утверждал, что полиномиальное уравнение степени п имеет п решения, но он не утверждал, что они должны быть действительными числами. Кроме того, он добавил, что его утверждение справедливо, «если уравнение не является неполным», имея в виду, что ни один коэффициент не равен 0. Однако, когда он подробно объясняет, что он имеет в виду, становится ясно, что он на самом деле считает, что его утверждение является правильным. всегда правда; например, он показывает, что уравнение ${ displaystyle x ^ {4} = 4x-3,}$ хотя и неполный, имеет четыре решения (с учетом кратностей): 1 (дважды), ${ displaystyle -1 + я { sqrt {2}},}$ и ${ displaystyle -1-i { sqrt {2}}.}$

Как будет снова упомянуто ниже, из фундаментальной теоремы алгебры следует, что любой непостоянный многочлен с действительными коэффициентами может быть записан как произведение многочленов с действительными коэффициентами, степень которых равна 1 или 2. Однако в 1702 году Лейбниц ошибочно сказано, что ни один многочлен типа $Икс 4 + а 4$ (с $а$ вещественное и отличное от 0) можно записать таким образом. Потом, Николаус Бернулли сделал то же утверждение относительно многочлена $Икс 4 - 4 Икс 3 + 2 Икс 2 + 4 Икс + 4$ , но он получил письмо от Эйлер в 1742 г.^[3] в котором было показано, что этот многочлен равен

{ displaystyle left (x ^ {2} - (2+ alpha) x + 1 + { sqrt {7}} + alpha right) left (x ^ {2} - (2- alpha) x + 1 + { sqrt {7}} - alpha right),}

с ${ displaystyle alpha = { sqrt {4 + 2 { sqrt {7}}}}.}$ Также Эйлер указал, что

{ displaystyle x ^ {4} + a ^ {4} = left (x ^ {2} + a { sqrt {2}} cdot x + a ^ {2} right) left (x ^ { 2} -a { sqrt {2}} cdot x + a ^ {2} right).}

Первую попытку доказательства теоремы предпринял д'Аламбер в 1746 году, но его доказательство было неполным. Среди других проблем он неявно предполагал теорему (теперь известную как Теорема Пюизо ), который не будет доказан до более чем столетия спустя с использованием фундаментальной теоремы алгебры. Другие попытки были предприняты Эйлер (1749), de Foncenex (1759), Лагранж (1772 г.), и Лаплас (1795 г.). Эти последние четыре попытки неявно исходили из утверждения Жирара; чтобы быть более точным, существование решений предполагалось, и все, что оставалось доказать, это то, что их форма а + би для некоторых реальных чисел а и б. Говоря современным языком, Эйлер, де Фонсенекс, Лагранж и Лаплас предполагали существование поле расщепления полинома п(z).

В конце 18 века были опубликованы два новых доказательства, которые не предполагали существования корней, но ни одно из них не было полным. Один из них, в связи с Джеймс Вуд и в основном алгебраический, был опубликован в 1798 году и полностью проигнорирован. В доказательстве Вуда был алгебраический пробел.^[4] Другой был опубликован Гаусс в 1799 году, и он был в основном геометрическим, но имел топологический пробел, заполненный только Александр Островский в 1920 г., как это обсуждалось в Smale (1981).^[5] Первое строгое доказательство было опубликовано Арганд в 1806 г. (повторно посещен в 1813 г.);^[6] именно здесь впервые была сформулирована основная теорема алгебры для многочленов с комплексными коэффициентами, а не только для вещественных коэффициентов. Гаусс представил два других доказательства в 1816 году и еще одну неполную версию своего первоначального доказательства в 1849 году.

Первым учебником, содержащим доказательство теоремы, был Коши с Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). Он содержал доказательство Аргана, хотя Арганд не засчитывается за это.

Ни одно из доказательств, упомянутых до сих пор, не конструктивный. Это было Weierstrass кто впервые поднял в середине XIX века проблему поиска конструктивное доказательство основной теоремы алгебры. Он представил свое решение, которое, говоря современным языком, представляет собой комбинацию Метод Дюрана – Кернера с продолжение гомотопии принцип, в 1891 году. Другое доказательство такого рода было получено Хельмут Кнезер в 1940 году и упрощен его сыном Мартин Кнезер в 1981 г.

Без использования счетный выбор, невозможно конструктивно доказать основную теорему алгебры для комплексных чисел на основе Дедекинды реальные числа (которые конструктивно не эквивалентны действительным числам Коши без счетного выбора).^[7] Тем не мение, Фред Ричман доказал, что переформулированная версия теоремы действительно работает.^[8]

Доказательства

Все доказательства ниже включают некоторые математический анализ, или, по крайней мере, топологический идея непрерывность реальных или сложных функций. Некоторые также используют дифференцируемый или даже аналитический функции. Этот факт привел к замечанию, что основная теорема алгебры не является ни фундаментальной, ни теоремой алгебры.^{[нужна цитата ]}

Некоторые доказательства теоремы только доказывают, что любой непостоянный многочлен с настоящий коэффициенты имеют некоторый комплексный корень. Этого достаточно, чтобы установить теорему в общем случае, потому что для непостоянного многочлена п(z) с комплексными коэффициентами многочлен

{ Displaystyle д (г) = п (г) { overline {р ({ overline {z}})}}}

имеет только действительные коэффициенты и, если z это ноль q(z), то либо z или его конъюгат является корнем п(z).

Большое количество неалгебраических доказательств теоремы используют тот факт (иногда называемый «леммой роста»), что пполиномиальная функция -й степени п(z) с доминирующим коэффициентом 1 ведет себя как z^п когда |z| достаточно большой. Более точное утверждение: существует некоторое положительное действительное число р такой, что:

{ Displaystyle { tfrac {1} {2}} | z ^ {n} | <| p (z) | <{ tfrac {3} {2}} | z ^ {n} |}

когда |z| > р.

Комплексно-аналитические доказательства

Найдите закрытый диск D радиуса р с центром в начале координат такая, что |п(z)| > |п(0) | всякий раз, когда |z| ≥ р. Минимум |п(z) | на D, который должен существовать, поскольку D является компактный, поэтому достигается в какой-то момент z₀ в интерьере D, но не в любой точке его границы. В Принцип максимального модуля (применяется к 1 /п(z)) следует, что п(z₀) = 0. Другими словами, z₀ это ноль п(z).

Вариант этого доказательства не требует использования принципа максимума модуля (фактически, тот же аргумент с небольшими изменениями также дает доказательство принципа максимума модуля для голоморфных функций). Если от противного предположить, что а := п(z₀) ≠ 0, то, раскладывая п(z) в полномочиях z − z₀ мы можем написать

{ Displaystyle p (z) = a + c_ {k} (z-z_ {0}) ^ {k} + c_ {k + 1} (z-z_ {0}) ^ {k + 1} + cdots + c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}.}

Здесь c_j являются просто коэффициентами многочлена z → п(z + z₀), и пусть k быть индексом первого коэффициента, следующего за постоянным членом, который не равен нулю. Но теперь мы видим, что для z достаточно близко к z₀ это имеет поведение асимптотически аналогично более простому полиному ${ Displaystyle д (г) = а + с_ {к} (г-г_ {0}) ^ {к}}$ ,

в том смысле, что (как легко проверить) функция

{ displaystyle left | { frac {p (z) -q (z)} {(z-z_ {0}) ^ {k + 1}}} right |}

ограничена некоторой положительной постоянной M в каком-то районе z₀. Следовательно, если мы определим ${ displaystyle theta _ {0} = ( arg (a) + pi - arg (c_ {k})) / k}$ и разреши ${ displaystyle z = z_ {0} + re ^ {я theta _ {0}}}$ , то для любого достаточно малого положительного числа р (так что граница M упомянутое выше), используя неравенство треугольника, видим, что

{ Displaystyle { begin {align} | p (z) | & leq | q (z) | + r ^ {k + 1} left | { frac {p (z) -q (z)} { r ^ {k + 1}}} right | [4pt] & leq left | a + (- 1) c_ {k} r ^ {k} e ^ {i ( arg (a) - arg (c_ {k}))} right | + Mr ^ {k + 1} [4pt] & = | a | - | c_ {k} | r ^ {k} + Mr ^ {k + 1} конец {выровнен}}}

Когда р достаточно близко к 0, эта верхняя оценка для |п(z) | строго меньше |а|, что противоречит определению z₀. (Геометрически мы нашли явное направление θ₀ так что если кто-то приблизится z₀ с этого направления можно получить значения п(z) по абсолютной величине меньше |п(z₀)|.)

Другой аналитическое доказательство может быть получено в соответствии с этим направлением мысли, наблюдая, что, поскольку |п(z)| > |п(0) | за пределами D, минимум |п(z) | на всей комплексной плоскости достигается при z₀. Если |п(z₀) | > 0, то 1 /п ограниченный голоморфная функция во всей комплексной плоскости, поскольку для каждого комплексного числа z, |1/п(z)| ≤ |1/п(z₀) |, Применение Теорема Лиувилля, который утверждает, что ограниченная целая функция должна быть постоянной, это означало бы, что 1 /п постоянно, и поэтому п постоянно. Получили противоречие, поэтому п(z₀) = 0.

Еще один аналитическое доказательство использует принцип аргумента. Позволять р быть положительным действительным числом, достаточно большим, чтобы каждый корень п(z) имеет абсолютное значение меньше, чем р; такое число должно существовать, потому что каждая непостоянная полиномиальная функция степени п имеет самое большее п нули. Для каждого р > ррассмотрим число

{ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} int _ {c (r)} { frac {p '(z)} {p (z)}} , dz,}

куда c(р) - круг с центром в 0 и радиусом р ориентированы против часовой стрелки; затем принцип аргумента говорит, что это число - число N нулей п(z) в открытом шаре с центром в 0 и радиусом р, который, поскольку р > р, - общее количество нулей п(z). С другой стороны, интеграл от п/z вдоль c(р) деленное на 2πя равно п. Но разница между двумя числами

{ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} int _ {c (r)} left ({ frac {p '(z)} {p (z)}} - { frac { n} {z}} right) dz = { frac {1} {2 pi i}} int _ {c (r)} { frac {zp '(z) -np (z)} {zp (z)}} , dz.}

Числитель интегрируемого рационального выражения имеет степень не более п - 1, а степень знаменателя равна п + 1. Следовательно, указанное выше число стремится к 0 при р → + ∞. Но число тоже равно N − п и так N = п.

Еще один комплексно-аналитическое доказательство может быть дано объединением линейная алгебра с Теорема Коши. Чтобы установить, что каждый комплексный многочлен степени п > 0 имеет нуль, достаточно показать, что каждый комплекс квадратная матрица размера п > 0 имеет (комплекс) собственное значение.^[9] Доказательство последнего утверждения от противного.

Позволять А быть сложной квадратной матрицей размера п > 0 и пусть я_п - единичная матрица того же размера. Предполагать А не имеет собственных значений. Рассмотрим противовоспалительное средство функция

{ Displaystyle R (z) = (zI_ {n} -A) ^ {- 1},}

который является мероморфная функция на комплексной плоскости со значениями в векторном пространстве матриц. Собственные значения А это именно полюса р(z). Поскольку по предположению А не имеет собственных значений, функция р(z) является вся функция и Теорема Коши подразумевает, что

{ Displaystyle int _ {c (r)} R (z) , dz = 0.}

С другой стороны, р(z) в виде геометрического ряда дает:

{ Displaystyle R (z) = z ^ {- 1} (I_ {n} -z ^ {- 1} A) ^ {- 1} = z ^ {- 1} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {z ^ {k}}} A ^ {k} cdot}

Эта формула действительна за пределами закрытого диск радиуса ${ Displaystyle | А |}$ (в норма оператора из А). Позволять ${ Displaystyle г> | А |.}$ потом

{ Displaystyle int _ {c (r)} R (z) dz = sum _ {k = 0} ^ { infty} int _ {c (r)} { frac {dz} {z ^ { k + 1}}} A ^ {k} = 2 pi iI_ {n}}

(в котором только слагаемое k = 0 имеет ненулевой интеграл). Это противоречие, поэтому А имеет собственное значение.

Ну наконец то, Теорема Руше дает, пожалуй, самое короткое доказательство теоремы.

Топологические доказательства

Предположим минимум |п(z) | на всей комплексной плоскости достигается при z₀; при доказательстве, использующем теорему Лиувилля, было видно, что такое число должно существовать. Мы можем написать п(z) как полином от z − z₀: есть натуральное число k и есть несколько комплексных чисел c_k, c_k + 1, ..., c_п такой, что c_k ≠ 0 и:

{ displaystyle p (z) = p (z_ {0}) + c_ {k} (z-z_ {0}) ^ {k} + c_ {k + 1} (z-z_ {0}) ^ {k +1} + cdots + c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}.}

Если п(z₀) отлична от нуля, то если а это k^th корень -п(z₀)/c_k и если т положительна и достаточно мала, то |п(z₀ + та)| < |п(z₀) |, что невозможно, так как |п(z₀) | это минимум |п| на D.

Для другого топологического доказательства от противного, предположим, что многочлен п(z) не имеет корней и, следовательно, никогда не равен 0. Думайте о многочлене как о отображении комплексной плоскости в комплексную плоскость. Он отображает любой круг |z| = р в замкнутый цикл, кривая п(р). Мы рассмотрим, что происходит с номер намотки из п(р) в крайних случаях, когда р очень большой и когда р = 0. Когда р - достаточно большое число, то главный член z^п из п(z) доминирует над всеми другими терминами вместе взятыми; другими словами,

{ Displaystyle left | z ^ {n} right |> left | a_ {n-1} z ^ {n-1} + cdots + a_ {0} right |.}

Когда z пересекает круг ${ displaystyle Re ^ {я theta}}$ один раз против часовой стрелки ${ Displaystyle (0 leq theta leq 2 pi),}$ тогда ${ displaystyle z ^ {n} = R ^ {n} e ^ {in theta}}$ ветры п раз против часовой стрелки ${ Displaystyle (0 leq theta leq 2 pi n)}$ вокруг начала координат (0,0), и п(р) так же. С другой стороны, с |z| = 0 кривая п(0) - это просто единственная точка п(0), который должен быть ненулевым, поскольку п(z) никогда не равен нулю. Таким образом п(0) должен отличаться от начала координат (0,0), которое обозначает 0 в комплексной плоскости. Число витков п(0) вокруг начала координат (0,0), таким образом, равно 0. Теперь изменим р постоянно будет деформировать петлю непрерывно. Некоторые р номер намотки должен измениться. Но это может произойти только в том случае, если кривая п(р) включает начало координат (0,0) для некоторых р. Но тогда для некоторых z на том круге |z| = р у нас есть п(z) = 0, что противоречит нашему исходному предположению. Следовательно, п(z) имеет хотя бы один ноль.

Алгебраические доказательства

Эти доказательства фундаментальной теоремы алгебры должны использовать следующие два факта о действительных числах, которые не являются алгебраическими, но требуют лишь небольшого количества анализа (точнее, теорема о промежуточном значении в обоих случаях):

каждый многочлен с нечетной степенью и действительными коэффициентами имеет вещественный корень;
каждое неотрицательное действительное число имеет квадратный корень.

Второй факт вместе с квадратичная формула, следует теорема для вещественных квадратичных многочленов. Другими словами, алгебраические доказательства основной теоремы действительно показывают, что если р есть ли реально закрытое поле, то его продолжение C = р(√−1) алгебраически замкнуто.

По индукции

Как упоминалось выше, достаточно проверить утверждение «каждый непостоянный многочлен п(z) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень ". Это утверждение можно доказать индукцией по наибольшему неотрицательному целому числу k так что 2^k делит степень п из п(z). Позволять а быть коэффициентом z^п в п(z) и разреши F быть поле расщепления из п(z) над C; другими словами, поле F содержит C и есть элементы z₁, z₂, ..., z_п в F такой, что

{ displaystyle p (z) = a (z-z_ {1}) (z-z_ {2}) cdots (z-z_ {n}).}

Если k = 0, то п нечетно, и поэтому п(z) имеет настоящий корень. Теперь предположим, что п = 2^kм (с м странно и k > 0) и что теорема уже доказана, когда степень многочлена имеет вид 2^k − 1м' с м' странный. Для реального числа т, определять:

{ displaystyle q_ {t} (z) = prod _ {1 leq i

Тогда коэффициенты при q_т(z) находятся симметричные многочлены в z_я с действительными коэффициентами. Следовательно, они могут быть выражены как полиномы с действительными коэффициентами от элементарные симметричные полиномы, то есть в -а₁, а₂, ..., (−1)^па_п. Так q_т(z) фактически настоящий коэффициенты. Кроме того, степень q_т(z) является п(п − 1)/2 = 2^k−1м(п - 1), и м(п - 1) - нечетное число. Итак, используя предположение индукции, q_т имеет хотя бы один сложный корень; другими словами, z_я + z_j + tz_яz_j сложен для двух различных элементов я и j с 1, ..., п}. Поскольку вещественных чисел больше, чем пар (я, j) можно найти различные действительные числа т и s такой, что z_я + z_j + tz_яz_j и z_я + z_j + sz_яz_j сложные (для тех же я и j). Итак, оба z_я + z_j и z_яz_j - комплексные числа. Легко проверить, что каждое комплексное число имеет комплексный квадратный корень, следовательно, каждый комплексный многочлен степени 2 имеет комплексный корень по формуле корней квадратного уравнения. Следует, что z_я и z_j являются комплексными числами, так как они являются корнями квадратичного многочлена z² − (z_я + z_j)z + z_яz_j.

Джозеф Шипман показал в 2007 году, что предположение о том, что многочлены нечетной степени имеют корни, сильнее, чем необходимо; любое поле, в котором многочлены простой степени имеют корни, алгебраически замкнуто (поэтому «нечетное» можно заменить на «нечетное простое», и это верно для полей всех характеристик).^[10] Для аксиоматизации алгебраически замкнутых полей это наилучший вариант, поскольку есть контрпримеры, если исключить одно простое число. Однако эти контрпримеры полагаются на квадратный корень −1. Если мы возьмем поле, в котором −1 не имеет квадратного корня и каждый многочлен степени п ∈ я имеет корень, где я - любое фиксированное бесконечное множество нечетных чисел, то каждый многочлен ж(Икс) нечетной степени имеет корень (поскольку (Икс² + 1)^kж(Икс) имеет корень, где k выбирается так, чтобы град (ж) + 2k ∈ я). Мохсен Алиабади обобщил^{[сомнительный – обсуждать]} Результат Шипмана 2013 года, обеспечивающий независимое доказательство того, что достаточным условием алгебраической замкнутости произвольного поля (любой характеристики) является наличие корня для каждого многочлена простой степени.^[11]

Из теории Галуа

Другое алгебраическое доказательство основной теоремы можно дать, используя Теория Галуа. Достаточно показать, что C не имеет собственного конечного расширение поля.^[12] Позволять K/C - конечное расширение. Поскольку нормальное закрытие из K над р все еще имеет конечную степень над C (или же р), можно предположить не теряя общий смысл который K это нормальное расширение из р (следовательно, это Расширение Галуа, как всякое алгебраическое расширение поля характеристика 0 это отделяемый ). Позволять грамм быть Группа Галуа этого расширения, и пусть ЧАС быть Силовский 2-подгруппа грамм, таким образом порядок из ЧАС является степенью двойки, а индекс из ЧАС в грамм странно. Посредством основная теорема теории Галуа, существует подрасширение L из K/р такой, что Гал (K/L) = ЧАС. В качестве [L:р] = [грамм:ЧАС] нечетно, и нет нелинейных неприводимых вещественных многочленов нечетной степени, мы должны иметь L = р, таким образом [K:р] и [K:C] являются степенями двойки. Полагая от противного, что [K:C]> 1, заключаем, что 2-группа Гал (K/C) содержит подгруппу индекса 2, поэтому существует подрасширение M из C степени 2. Однако C не имеет расширения степени 2, потому что каждый квадратный комплексный многочлен имеет комплексный корень, как упоминалось выше. Это показывает, что [K:C] = 1, поэтому K = C, что завершает доказательство.

Геометрические доказательства

Существует еще один способ приблизиться к фундаментальной теореме алгебры, принадлежащий Дж. М. Альмире и А. Ромеро: Риманова геометрическая аргументы. Основная идея здесь - доказать, что существование непостоянного многочлена п(z) без нулей влечет существование плоская риманова метрика над сферой S². Это приводит к противоречию, поскольку сфера не плоская.

Риманова поверхность (M, грамм) называется плоским, если его гауссова кривизна, которую мы обозначим через K_грамм, идентично нулю. Сейчас же, Теорема Гаусса – Бонне, применительно к сфере S², заявляет, что

{ displaystyle int _ { mathbf {S} ^ {2}} K_ {g} = 4 pi,}

что доказывает, что сфера не плоская.

Предположим теперь, что п > 0 и

{ displaystyle p (z) = a_ {0} + a_ {1} z + cdots + a_ {n} z ^ {n} neq 0}

для каждого комплексного числа z. Определим

{ displaystyle p ^ {*} (z) = z ^ {n} p left ({ tfrac {1} {z}} right) = a_ {0} z ^ {n} + a_ {1} z ^ {n-1} + cdots + a_ {n}.}

Очевидно, п*(z) ≠ 0 для всех z в C. Рассмотрим многочлен ж(z) = п(z)п*(z). потом ж(z) ≠ 0 для каждого z в C. Более того,

{ displaystyle f ({ tfrac {1} {w}}) = p left ({ tfrac {1} {w}} right) p ^ {*} left ({ tfrac {1} {w }} right) = w ^ {- 2n} p ^ {*} (w) p (w) = w ^ {- 2n} f (w).}

Мы можем использовать это функциональное уравнение, чтобы доказать, что грамм, данный

{ displaystyle g = { frac {1} {| f (w) | ^ { frac {2} {n}}}} , | dw | ^ {2}}

за ш в C, и

{ displaystyle g = { frac {1} { left | f left ({ tfrac {1} {w}} right) right | ^ { frac {2} {n}}}} left | d left ({ tfrac {1} {w}} right) right | ^ {2}}

за ш ∈ S² {0}, - корректно определенная риманова метрика над сферой S² (которую мы отождествляем с расширенной комплексной плоскостью C ∪ {∞}).

Теперь простое вычисление показывает, что

{ displaystyle forall w in mathbf {C}: qquad { frac {1} {| f (w) | ^ { frac {1} {n}}}} K_ {g} = { frac {1} {n}} Delta log | f (w) | = { frac {1} {n}} Delta { text {Re}} ( log f (w)) = 0,}

поскольку действительная часть аналитической функции гармонична. Это доказывает, что K_грамм = 0.

Следствия

Поскольку основную теорему алгебры можно рассматривать как утверждение, что поле комплексных чисел алгебраически замкнутый, отсюда следует, что любая теорема об алгебраически замкнутых полях применима к полю комплексных чисел. Вот еще несколько следствий теоремы, которые касаются либо поля действительных чисел, либо связи между полем действительных чисел и полем комплексных чисел:

Поле комплексных чисел - это алгебраическое замыкание поля действительных чисел.

Каждый многочлен от одной переменной z с комплексными коэффициентами является произведением комплексной константы и многочленов вида z + а с а сложный.

Каждый многочлен от одной переменной Икс с действительными коэффициентами можно однозначно записать как произведение константы, многочлены вида Икс + а с а действительные и многочлены вида Икс² + топор + б с а и б настоящий и а² − 4б <0 (это то же самое, что сказать, что многочлен Икс² + топор + б не имеет настоящих корней). (Посредством Теорема Абеля – Руффини, реальные числа а и б не обязательно выражаются через коэффициенты полинома, основные арифметические операции и извлечение п-й корни.) Это означает, что количество невещественных комплексных корней всегда четно и остается, даже если считать с их кратностью.

Каждый рациональная функция в одной переменной Иксс действительными коэффициентами может быть записана как сумма полиномиальной функции с рациональными функциями вида а/(Икс − б)^п (куда п натуральное число, и а и б - действительные числа) и рациональные функции вида (топор + б)/(Икс² + сх + d)^п (куда п натуральное число, и а, б, c, и d настоящие числа такие, что c² − 4d <0). А следствие из этого состоит в том, что каждая рациональная функция от одной переменной и вещественных коэффициентов имеет элементарный примитивный.

Каждый алгебраическое расширение вещественного поля изоморфно либо действительному полю, либо комплексному полю.

Границы нулей полинома

Хотя основная теорема алгебры утверждает общий результат существования, представляет определенный интерес, как с теоретической, так и с практической точки зрения, иметь информацию о расположении нулей данного многочлена. Более простой результат в этом направлении - это оценка модуля: все нули ζ монического многочлена ${ displaystyle z ^ {n} + a_ {n-1} z ^ {n-1} + cdots + a_ {1} z + a_ {0}}$ удовлетворяют неравенству | ζ | ≤ р_∞, куда

{ displaystyle R _ { infty}: = 1+ max {| a_ {0} |, ldots, | a_ {n-1} | }.}

Обратите внимание, что, как уже говорилось, это еще не результат существования, а скорее пример того, что называется априори связано: он говорит, что если есть решения то они лежат внутри замкнутого диска с центром в начале координат и радиусом р_∞. Однако в сочетании с основной теоремой алгебры он говорит, что на самом деле диск содержит по крайней мере одно решение. В более общем плане оценка может быть дана непосредственно в терминах любого p-норма из п-вектор коэффициентов ${ displaystyle a: = (a_ {0}, a_ {1}, ldots, a_ {n-1}),}$ то есть | ζ | ≤ р_п, куда р_п это именно q-норма 2-вектора ${ Displaystyle (1, | а | _ {p}),}$ q являясь сопряженной экспонентой п, ${ displaystyle { tfrac {1} {p}} + { tfrac {1} {q}} = 1,}$ для любого 1 ≤ п ≤ ∞. Таким образом, модуль любого решения также ограничен величиной

{ Displaystyle R_ {1}: = max left {1, sum _ {0 leq k

{ Displaystyle R_ {p}: = left [1+ left ( sum _ {0 leq k

для 1 < п <∞, и в частности

{ displaystyle R_ {2}: = { sqrt { sum _ {0 leq k leq n} | a_ {k} | ^ {2}}}}

(где мы определяем а_п означать 1, что разумно, поскольку 1 действительно п-й коэффициент нашего полинома). Случай общего многочлена степени п,

{ Displaystyle P (z): = a_ {n} z ^ {n} + a_ {n-1} z ^ {n-1} + cdots + a_ {1} z + a_ {0},}

конечно сводится к случаю моника, деля все коэффициенты на а_п ≠ 0. Также, если 0 не является корнем, т.е. а₀ 0 оценки снизу на корни ζ следуют сразу же, как и оценки сверху на ${ displaystyle { tfrac {1} { zeta}}}$ , то есть корни

{ displaystyle a_ {0} z ^ {n} + a_ {1} z ^ {n-1} + cdots + a_ {n-1} z + a_ {n}.}

Наконец, расстояние ${ displaystyle | zeta - zeta _ {0} |}$ от корней ζ до любой точки ${ displaystyle zeta _ {0}}$ можно оценить снизу и сверху, видя ${ displaystyle zeta - zeta _ {0}}$ как нули полинома ${ displaystyle P (z + zeta _ {0})}$ , коэффициенты которого являются Расширение Тейлора из п(z) в ${ displaystyle z = zeta _ {0}.}$