Теорема Рушеса - Википедия - Rouchés theorem

Теорема Руше, названный в честь Эжен Руше, утверждает, что для любых двух сложный -ценный функции $ж$ и $грамм$ голоморфный в каком-то регионе ${ displaystyle K}$ с замкнутым контуром ${ displaystyle partial K}$ , если $| грамм (z)| < | ж (z)|$ на ${ displaystyle partial K}$ , тогда $ж$ и $ж + грамм$ иметь одинаковое количество нулей внутри ${ displaystyle K}$ , где каждый ноль считается столько раз, сколько его множественность. Эта теорема предполагает, что контур ${ displaystyle partial K}$ простой, то есть без самопересечений. Теорема Руше является простым следствием более сильной симметричной теоремы Руше, описанной ниже.

использование

Теорема обычно используется для упрощения задачи поиска нулей следующим образом. Если дана аналитическая функция, мы записываем ее как сумму двух частей, одна из которых проще и растет быстрее, чем другая часть (таким образом, доминирует). Затем мы можем найти нули, глядя только на доминирующую часть. Например, полином ${ displaystyle z ^ {5} + 3z ^ {3} +7}$ имеет ровно 5 нулей на диске ${ Displaystyle | г | <2}$ поскольку ${ displaystyle | 3z ^ {3} +7 | leq 31 <32 = | z ^ {5} |}$ для каждого ${ displaystyle | z | = 2}$ , и ${ displaystyle z ^ {5}}$ , доминирующая часть, имеет на диске пять нулей.

Геометрическое объяснение

Поскольку расстояние между кривыми маленький, час(z) делает ровно один оборот, как и ж(z) делает.

Можно дать неформальное объяснение теоремы Руше.

Позволять C - замкнутая простая кривая (т. е. не самопересекающаяся). Позволять час(z) = ж(z) + грамм(z). Если ж и грамм оба голоморфны внутри C, тогда час также должен быть голоморфен внутри C. Тогда с учетом наложенных выше условий теорема Руша в ее первоначальной (а не симметричной) форме утверждает, что

Если |ж(z)| > |час(z) − ж(z) |, для каждого z в C, тогда ж и час иметь такое же количество нулей внутри C.

Обратите внимание, что условие |ж(z)| > |час(z) − ж(z) | означает, что для любого z, расстояние от ж(z) в начало координат больше, чем длина час(z) − ж(z), что на следующем рисунке означает, что для каждой точки синей кривой сегмент, соединяющий ее с началом координат, больше, чем связанный с ней зеленый сегмент. Неформально можно сказать, что синяя кривая ж(z) всегда ближе к красной кривой час(z), чем к источнику.

В предыдущем абзаце показано, что час(z) должен обернуться вокруг начала координат ровно столько раз, сколько ж(z). Таким образом, индекс обеих кривых около нуля одинаков, поэтому принцип аргумента, ж(z) и час(z) должно иметь одинаковое количество нулей внутри C.

Один популярный неформальный способ резюмировать этот аргумент заключается в следующем: если человек будет выгуливать собаку на поводке вокруг дерева и вокруг него, так что расстояние между человеком и деревом всегда больше, чем длина поводка, затем человек и собака обходят дерево одинаковое количество раз.

Приложения

Рассмотрим многочлен ${ displaystyle z ^ {2} + 2az + b ^ {2}}$ (куда ${ displaystyle a> b> 0}$ ). Посредством квадратичная формула у него два нуля на ${ displaystyle -a pm { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$ . Теорема Руше может быть использована для получения более точного их положения. С

{ Displaystyle | z ^ {2} + b ^ {2} | leq 2b ^ {2} <2a | z |}

для каждого

{ displaystyle | z | = b}

,

Теорема Руше гласит, что многочлен имеет ровно один ноль внутри круга ${ Displaystyle | г | <Ь}$ . С ${ displaystyle -a - { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$ явно вне диска, заключаем, что ноль равен ${ displaystyle -a + { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$ . Этот вид аргументов может быть полезен при поиске остатков, когда применяется метод Коши. теорема о вычетах.

Теорема Руше также может быть использована для краткого доказательства основная теорема алгебры. Позволять

{ displaystyle p (z) = a_ {0} + a_ {1} z + a_ {2} z ^ {2} + cdots + a_ {n} z ^ {n}, quad a_ {n} neq 0}

и выберите ${ displaystyle R> 0}$ настолько большой, что:

{ displaystyle | a_ {0} + a_ {1} z + cdots + a_ {n-1} z ^ {n-1} | leq sum _ {j = 0} ^ {n-1} | a_ { j} | R ^ {j} <| a_ {n} | R ^ {n} = | a_ {n} z ^ {n} | { text {for}} | z | = R.}

С ${ Displaystyle а_ {п} г ^ {п}}$ имеет ${ displaystyle n}$ нули внутри диска ${ Displaystyle | г |$ (потому что ${ displaystyle R> 0}$ ), из теоремы Руше следует, что ${ displaystyle p}$ также имеет такое же количество нулей внутри диска.

Одно из преимуществ этого доказательства перед другими состоит в том, что оно показывает не только то, что многочлен должен иметь ноль, но и количество его нулей равно его степени (с учетом, как обычно, кратности).

Еще одно применение теоремы Руше - доказательство теорема об открытом отображении для аналитических функций. Обратимся к статье за доказательством.

Симметричная версия

Более сильная версия теоремы Руше была уже известна Теодор Эстерманн к 1962 г.^[1] В нем говорится: пусть ${ displaystyle K subset G}$ - ограниченная область с непрерывной границей ${ displaystyle partial K}$ . Две голоморфные функции ${ displaystyle f, , g in { mathcal {H}} (G)}$ имеют одинаковое количество корней (с учетом кратности) в ${ displaystyle K}$ , если строгое неравенство

{ Displaystyle | е (z) -g (z) | <| f (z) | + | g (z) | qquad left (z in partial K right)}

держится на границе ${ displaystyle partial K.}$

Исходная версия теоремы Руше следует из этой симметричной версии, примененной к функциям ${ displaystyle f + g, f}$ вместе с замечанием, что ${ Displaystyle е (г) + г (г) neq 0}$ когда ${ displaystyle z}$ на ${ displaystyle partial K}$ .

Интуитивно это утверждение можно понять следующим образом. ${ displaystyle -g}$ на месте ${ displaystyle g}$ , условие можно переписать как ${ Displaystyle | е (г) + г (г) | <| е (г) | + | г (г) |}$ за ${ displaystyle z in partial K}$ .С ${ Displaystyle | е (г) + г (г) | Leq | е (г) | + | г (г) |}$ всегда выполняется по неравенству треугольника, это равносильно утверждению, что ${ Displaystyle | е (г) + г (г) | neq | е (г) | + | г (г) |}$ на ${ displaystyle partial K}$ , что следует из условия ${ Displaystyle arg {е (z)} neq arg {g (z)}}$ .

Интуитивно понятно, если значения ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ никогда не указывайте в том же направлении, что и ${ displaystyle z}$ кружит по ${ displaystyle partial K}$ , тогда ${ displaystyle f (z)}$ и ${ displaystyle g (z)}$ должен обернуться вокруг исходной точки одинаковое количество раз.

Доказательство симметричной формы теоремы Руше.

Позволять ${ Displaystyle С двоеточие [0,1] к mathbb {C}}$ - простая замкнутая кривая, образ которой является границей ${ displaystyle partial K}$ . Гипотеза означает, что ж не имеет корней ${ displaystyle partial K}$ , следовательно, по принцип аргумента, номер N_ж(K) нулей ж в K является

{ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} oint _ {C} { frac {f '(z)} {f (z)}} , dz = { frac {1} { 2 pi i}} oint _ {f circ C} { frac {dz} {z}} = mathrm {Ind} _ {f circ C} (0),}

т.е. номер намотки замкнутой кривой ${ displaystyle f circ C}$ вокруг происхождения; аналогично для грамм. Гипотеза гарантирует, что грамм(z) не является отрицательным действительным кратным ж(z) для любого z = C(Икс), поэтому 0 не лежит на отрезке, соединяющем ж(C(Икс)) к грамм(C(Икс)), и

{ Displaystyle H_ {t} (х) = (1-t) f (C (x)) + tg (C (x))}

это гомотопия между кривыми ${ displaystyle f circ C}$ и ${ displaystyle g circ C}$ избегая происхождения. Число витков гомотопически инвариантно: функция