Теорема об открытом отображении (комплексный анализ) - Open mapping theorem (complex analysis)

В комплексный анализ, то теорема об открытом отображении заявляет, что если U это домен из комплексная плоскость C и ж : U → C непостоянный голоморфная функция, тогда ж является открытая карта (т.е. он отправляет открытые подмножества U открывать подмножества C, и у нас есть неизменность домена.).

Теорема об открытом отображении указывает на резкое различие между голоморфностью и действительной дифференцируемостью. На реальная линия, например, дифференцируемая функция ж(Икс) = Икс2 не открытая карта, так как изображение открытый интервал (−1, 1) - полуоткрытый интервал [0, 1).

Из теоремы, например, следует, что непостоянная голоморфная функция не может отобразить открытый диск на часть любой линии, вложенной в комплексную плоскость. Образы голоморфных функций могут иметь реальную размерность ноль (если постоянная) или две (если непостоянная), но никогда не имеют размерности 1.

Доказательство

Черные точки обозначают нули грамм(z). Черные кольца представляют собой полюса. Граница открытого множества U обозначено пунктирной линией. Обратите внимание, что все полюса находятся вне открытого набора. Меньший красный диск B, с центром в z0.

Предполагать ж : U → C - непостоянная голоморфная функция и U это домен комплексной плоскости. Мы должны показать, что каждый точка в ж(U) является внутренняя точка из ж(U), т.е. что каждая точка в ж(U) имеет окрестность (открытый диск), которая также находится в ж(U).

Рассмотрим произвольный ш0 в ж(U). Тогда существует точка z0 в U такой, что ш0 = ж(z0). С U открыто, мы можем найти d > 0 такой, что закрытый диск B вокруг z0 с радиусом d полностью содержится в U. Рассмотрим функцию грамм(z) = ж(z)−ш0. Обратите внимание, что z0 это корень функции.

Мы знаем это грамм(z) непостоянен и голоморфен. Корни грамм изолированы теорема тождества, и за счет дальнейшего уменьшения радиуса диска образа d, мы можем заверить, что грамм(z) имеет только один корень в B (хотя этот единственный корень может иметь кратность больше 1).

Граница B круг и, следовательно, компактный набор, на котором |грамм(z) | положительный непрерывная функция, Итак теорема об экстремальном значении гарантирует наличие положительного минимума е, то есть, е это минимум |грамм(z) | за z на границе B и е > 0.

Обозначим через D открытый диск вокруг ш0 с радиус е. К Теорема Руше, функция грамм(z) = ж(z)−ш0 будет иметь одинаковое количество корней (с учетом кратности) в B в качестве час(z):=ж(z)−ш1 для любого ш1 в D. Это потому что час(z) = грамм(z) + (ш0 - ш1), и для z на границе B, |грамм(z)| ≥ е > |ш0 - ш1|, Таким образом, для каждого ш1 в D, существует хотя бы один z1 в B такой, что ж(z1) = ш1. Это означает, что диск D содержится в ж(B).

Изображение мяча B, ж(B) является подмножеством образа U, ж(U). Таким образом ш0 это внутренняя точка ж(U). С ш0 был произвольным в ж(U) мы знаем это ж(U) открыт. С U была произвольной, функция ж открыт.

Приложения

Смотрите также

Рекомендации

  • Рудин, Вальтер (1966), Реальный и комплексный анализ, МакГроу-Хилл, ISBN  0-07-054234-1