Теорема идентичности - Identity theorem

В комплексный анализ, филиал математика, то теорема тождества за голоморфные функции состояния: данные функции ж и грамм голоморфен на домен D (открытое и связное подмножество), если ж = грамм на некоторых ${displaystyle Ssubseteq D}$, куда ${displaystyle S}$ имеет точка накопления, тогда ж = грамм на D.

Таким образом, голоморфная функция полностью определяется своими значениями в единственной открытой окрестности в D, или даже счетное подмножество D (при условии, что он содержит сходящуюся последовательность). Это неверно для действительно дифференцируемых функций. Для сравнения, голоморфность или комплексная дифференцируемость - гораздо более жесткое понятие. Неформально иногда резюмируют теорему, говоря, что голоморфные функции «жесткие» (в отличие, скажем, от «мягких» непрерывных функций).

Основополагающим фактом, на котором основана теорема, является возможность расширения голоморфной функции в ее ряд Тейлора.

Предположение о связности в области D необходимо. Например, если D состоит из двух непересекающихся открытые наборы, ${displaystyle f}$ возможно ${displaystyle 0}$ на одной открытой площадке и ${displaystyle 1}$ на другом, пока ${displaystyle g}$ является ${displaystyle 0}$ на одном, и ${displaystyle 2}$ по другому.

Лемма

Если две голоморфные функции ж и грамм на домене D договориться о множестве S, имеющем точку накопления c в D, тогда f = g на диске в ${displaystyle D}$ сосредоточен на ${displaystyle c}$.

Чтобы доказать это, достаточно показать, что ${displaystyle f ^ {(n)} (c) = g ^ {(n)} (c)}$ для всех ${displaystyle ngeq 0}$.

Если это не так, пусть м быть наименьшим неотрицательным целым числом с ${displaystyle f ^ {(m)} (c) экв g ^ {(m)} (c)}$. По голоморфности имеем следующее представление ряда Тейлора в некоторой открытой окрестности U точки c:

${displaystyle {egin {выровнен} (fg) (z) & {} = (zc) ^ {m} cdot left [{frac {(fg) ^ {(m)} (c)} {m!}} + { frac {(zc) cdot (fg) ^ {(m + 1)} (c)} {(m + 1)!}} + cdots ight] [6pt] & {} = (zc) ^ {m} cdot h (z) конец {выровнен}}}$

По преемственности, час не равно нулю в небольшом открытом диске B вокруг c. Но потом ж − грамм â 0 на проколотом множестве B − {c}. Это противоречит предположению, что c является точкой накопления {f = g}.

Эта лемма показывает, что для комплексного числа а, то волокно ж⁻¹(а) - дискретное (а значит, счетное) множество, если только ж ≡ а.

Доказательство

Определите набор, на котором ${displaystyle f}$ и ${displaystyle g}$ имеют такое же расширение Тейлора:

${displaystyle S = {zin Dmid f ^ {(k)} (z) = g ^ {(k)} (z) {ext {for all}} kgeq 0} = igcap _ {k = 0} ^ {infty} {zin Dmid (f ^ {(k)} - g ^ {(k)}) (z) = 0}.}$

Мы покажем ${displaystyle S}$ непусто, открыто и закрыто. Затем по связность из ${displaystyle D}$, ${displaystyle S}$ должно быть все из ${displaystyle D}$, что означает ${displaystyle f = g}$ на ${displaystyle S = D}$.

По лемме ${displaystyle f = g}$ в диске с центром в ${displaystyle c}$ в ${displaystyle D}$, у них одна и та же серия Тейлора на ${displaystyle c}$, так ${displaystyle cin S}$, ${displaystyle S}$ непусто.

В качестве ${displaystyle f}$ и ${displaystyle g}$ голоморфны на ${displaystyle D}$, ${displaystyle forall win S}$, серия Тейлора ${displaystyle f}$ и ${displaystyle g}$ в ${displaystyle w}$ иметь ненулевой радиус схождения. Следовательно, открытый диск ${displaystyle B_ {r} (w)}$ также лежит в S для некоторых р. Так S открыт.

По голоморфности ${displaystyle f}$ и ${displaystyle g}$, у них голоморфные производные, поэтому все ${displaystyle f ^ {(n)}, g ^ {(n)}}$ непрерывны. Это означает, что ${displaystyle {zin Dmid (f ^ {(k)} - g ^ {(k)}) (z) = 0}}$ закрыт для всех ${displaystyle k}$. ${displaystyle S}$ является пересечением замкнутых множеств, поэтому оно замкнуто.

Смотрите также

• Аналитическое продолжение

Рекомендации

• Абловиц, Марк Дж .; Фокас А. С. (1997). Комплексные переменные: введение и приложения. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 122. ISBN  0-521-48058-2.