Голоморфная функция - Holomorphic function

Математический анализ → Комплексный анализ
Комплексный анализ
Сложные числа
Настоящий номер Мнимое число Комплексная плоскость Комплексное сопряжение Комплексное число единицы
Комплексные функции
Комплексная функция Аналитическая функция Голоморфная функция Уравнения Коши – Римана Формальный степенной ряд
Основная теория
Нули и полюсы Интегральная теорема Коши Местный примитив Интегральная формула Коши Номер обмотки Серия Laurent Изолированная особенность Теорема об остатке Конформная карта Лемма Шварца Гармоническая функция Уравнение Лапласа
Геометрическая теория функций
Люди
Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер Карл Фридрих Гаусс Жак Адамар Киёси Ока Бернхард Риманн Карл Вейерштрасс
Математический портал

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под Конформная карта ж (Нижний).

В математика, а голоморфная функция это комплексная функция одного или нескольких сложный переменных, то есть в каждой точке своего домен, комплексно дифференцируемый в район точки. Существование комплексной производной в окрестности является очень сильным условием, поскольку оно означает, что любая голоморфная функция на самом деле бесконечно дифференцируемый и равный, локально, своему собственному Серия Тейлор (аналитический). Голоморфные функции являются центральными объектами изучения в комплексный анализ.

Хотя термин аналитическая функция часто используется как синоним «голоморфной функции», слово «аналитическая» определяется в более широком смысле для обозначения любой функции (действительной, комплексной или более общего типа), которую можно записать как сходящийся степенной ряд в окрестности каждой точка в его домен. Тот факт, что все голоморфные функции являются комплексными аналитическими функциями, и наоборот, является основная теорема комплексного анализа.^[1]

Голоморфные функции также иногда называют регулярные функции.^[2] Голоморфная функция, область определения которой - вся комплексная плоскость, называется вся функция. Фраза «голоморфный в точке z₀"означает не просто дифференцировать z₀, но дифференцируемый всюду в некоторой окрестности z₀ в комплексной плоскости.

Определение

Функция ${displaystyle f (z) = {ar {z}}}$ не является комплексно-дифференцируемым в нуле, потому что, как показано выше, значение ${displaystyle f (z) -f (0) over z-0}$ изменяется в зависимости от направления приближения к нулю. Вдоль реальной оси ж равно функции грамм(z) = z и предел равен 1, а по мнимой оси ж равно час(z) = −z и предел равен -1. Другие направления дают другие ограничения.

Для комплексной функции ж одной комплексной переменной, производная из ж в какой-то момент z₀ в своей области определяется предел^[3]

${displaystyle f '(z_ {0}) = lim _ {z o z_ {0}} {f (z) -f (z_ {0}) over z-z_ {0}}.}$

Это то же самое, что и определение производной для реальных функций, за исключением того, что все величины являются комплексными. В частности, предел берется как комплексное число z подходы z₀, и должно иметь одно и то же значение для любой последовательности сложных значений для z этот подход z₀ на комплексной плоскости. Если предел существует, мы говорим, что ж является сложно-дифференцируемый в момент z₀. Эта концепция комплексной дифференцируемости имеет несколько общих свойств с реальная дифференцируемость: это линейный и подчиняется правило продукта, правило частного, и Правило цепи.^[4]

Если ж является комплексно дифференцируемый в каждый точка z₀ в открытом наборе Uмы говорим, что ж является голоморфный на U. Мы говорим что ж является голоморфный в точке z₀ если ж комплексно дифференцируема в некоторой окрестности точки z₀.^[5] Мы говорим что ж голоморфна на некотором закрытом множестве А если он голоморфен в открытом множестве, содержащем А. Как патологический не пример, функция, заданная ж(z) = |z|² комплексно дифференцируемо ровно в одной точке (z₀ = 0), и по этой причине нет голоморфен в 0, потому что нет открытого множества вокруг 0, на котором ж сложно дифференцируемо.

Связь между реальной дифференцируемостью и комплексной дифференцируемостью заключается в следующем. Если сложная функция ж(Икс + яу) = ты(Икс, у) + яv(Икс, у) голоморфно, то ты и v имеют первые частные производные по Икс и у, и удовлетворить Уравнения Коши – Римана:^[6]

${displaystyle {frac {partial u} {partial x}} = {frac {partial v} {partial y}} qquad {mbox {and}} qquad {frac {partial u} {partial y}} = - {frac {partial v} {частичный x}},}$

или, что то же самое, Производная Виртингера из ж с уважением к комплексно сопряженный из z равно нулю:^[7]

${displaystyle {frac {partial f} {partial {overline {z}}}} = 0,}$

то есть, грубо говоря, ж функционально не зависит от комплексно сопряженного z.

Если непрерывность не указана, обратное не обязательно верно. Проще говоря, если ты и v имеют непрерывный первые частные производные и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то ж голоморфно. Более удовлетворительное обратное, которое гораздо труднее доказать, - это Теорема Лумана – Меншгофа: если ж непрерывно, ты и v имеют первые частные производные (но не обязательно непрерывные) и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то ж голоморфно.^[8]

Терминология

Слово «голоморфный» было введено двумя Коши студенты, Брио (1817–1882) и Букет (1819–1895) и происходит от греческого ὅλος (голограммы), что означает «весь», и μορφή (морфе), что означает «форма» или «внешний вид».^[9]

Сегодня термин «голоморфная функция» иногда предпочитается термину «аналитическая функция». Важный результат комплексного анализа состоит в том, что каждая голоморфная функция является комплексно-аналитической, что не следует из определений, очевидно. Однако термин «аналитический» также широко используется.

Характеристики

Потому что сложное дифференцирование линейно и подчиняется правилам произведения, частного и цепочки; суммы, произведения и композиции голоморфных функций голоморфны, а частное двух голоморфных функций голоморфно везде, где знаменатель не равен нулю.^[10]

Если определить C с р², то голоморфные функции совпадают с теми функциями двух действительных переменных с непрерывными первыми производными, которые решают Уравнения Коши – Римана, набор из двух уравнения в частных производных.^[6]

Каждую голоморфную функцию можно разделить на действительную и мнимую части, и каждая из них является решением Уравнение Лапласа на р². Другими словами, если выразить голоморфную функцию ж(z) в качестве ты(Икс, у) + я в(Икс, у) обе ты и v находятся гармонические функции, где v - гармоническое сопряжение из вас^[11]

Интегральная теорема Коши означает, что контурный интеграл каждой голоморфной функции вдоль петля исчезает:^[12]

${displaystyle oint _ {gamma} f (z), dz = 0.}$

Здесь γ это исправляемый путь в односвязный открытое подмножество U из комплексная плоскость C чья начальная точка равна его конечной точке, и ж : U → C - голоморфная функция.

Интегральная формула Коши утверждает, что каждая функция, голоморфная внутри диск полностью определяется своими значениями на границе диска.^[12] Кроме того: предположим U открытое подмножество C, ж : U → C - голоморфная функция, а замкнутый круг D = {z : |z − z₀| ≤ р} полностью содержится в U. Пусть γ - круг, образующий граница из D. Тогда для каждого а в интерьер из D:

${displaystyle f (a) = {frac {1} {2pi i}} oint _ {gamma} {frac {f (z)} {z-a}}, dz}$

где контурный интеграл взят против часовой стрелки.

Производная ж′(а) можно записать в виде контурного интеграла^[12] с помощью Формула дифференцирования Коши:

${displaystyle f '(a) = {1 over 2pi i} oint _ {gamma} {f (z) over (z-a) ^ {2}}, dz,}$

для любой простой петли с положительной намоткой один раз а, и

${displaystyle f '(a) = lim limits _ {gamma oa} {frac {i} {2 {mathcal {A}} (gamma)}} oint _ {gamma} f (z) d {ar {z}}, }$

для бесконечно малых положительных петель γ вокруг а.

В областях, где первая производная не равна нулю, голоморфные функции равны конформный в том смысле, что они сохраняют углы и форму (но не размер) маленьких фигур.^[13]

Каждый голоморфная функция аналитична. То есть голоморфная функция ж имеет производные любого порядка в каждой точке а в своей области и совпадает со своим Серия Тейлор в а в районе а. Фактически, ж совпадает со своим рядом Тейлора при а в любом диске с центром в этой точке и лежащим в области определения функции.

С алгебраической точки зрения множество голоморфных функций на открытом множестве есть коммутативное кольцо и комплексное векторное пространство. Кроме того, множество голоморфных функций в открытом множестве U является область целостности тогда и только тогда, когда открытое множество U связано. ^[7] Фактически, это локально выпуклое топологическое векторное пространство, с полунормы будучи супрема на компактные подмножества.

С геометрической точки зрения функция ж голоморфна в z₀ если и только если это внешняя производная df в районе U из z₀ равно ж′(z) дз для некоторой непрерывной функции ж′. Это следует из

${displaystyle extstyle 0 = d ^ {2} f = d (f ^ {prime} dz) = df ^ {prime} wedge dz}$

который df′ Также пропорционален дз, подразумевая, что производная ж′ Сам голоморфен, поэтому ж бесконечно дифференцируемо. Точно так же и тот факт, что d(f dz) = ж′ дз ∧ дз = 0 означает, что любая функция ж которая голоморфна на односвязной области U также интегрируется на U. (Для пути γ из z₀ к z полностью лежащий в U, определять

${displaystyle extstyle F_ {gamma} (z) = F_ {0} + int _ {gamma} fdz}$;

в свете Теорема Жордана и обобщенная теорема Стокса, F_γ(z) не зависит от конкретного выбора пути γ, поэтому F(z) - корректно определенная функция на U имея F(z₀) = F₀ и dF = f dz.)

Примеры

Все многочлен функции в z со сложным коэффициенты голоморфны на C, и так синус, косинус и экспоненциальная функция. (Тригонометрические функции на самом деле тесно связаны с экспоненциальной функцией и могут быть определены с помощью Формула Эйлера ). Основное отделение комплексный логарифм функция голоморфна на набор C ∖ {z ∈ р : z ≤ 0}. В квадратный корень функцию можно определить как

${displaystyle {sqrt {z}} = e ^ {{frac {1} {2}} log z}}$

и поэтому голоморфен везде, где логарифм log (z) является. Функция 1 /z голоморфна на {z : z ≠ 0}.

Как следствие Уравнения Коши – Римана, действительная голоморфная функция должна быть постоянной. Следовательно, абсолютное значение z, то аргумент из z, то реальная часть из z и мнимая часть из z не голоморфны. Другой типичный пример непрерывной функции, не являющейся голоморфной, - это комплексно сопряженная z образована комплексное сопряжение.

Несколько переменных

Определение голоморфной функции напрямую обобщается на несколько комплексных переменных. Позволять D обозначают открытое подмножество C^п, и разреши ж : D → C. Функция ж является аналитический в какой-то момент п в D если существует открытая окрестность п в котором ж равен сходящемуся степенному ряду по п комплексные переменные.^[14] Определять ж быть голоморфный если он аналитичен в каждой точке своей области. Лемма Осгуда показывает (используя многомерную интегральную формулу Коши), что для непрерывной функции ж, это эквивалентно ж голоморфны по каждой переменной отдельно (что означает, что если п − 1 координаты фиксированы, то ограничение ж является голоморфной функцией оставшейся координаты). Гораздо глубже Теорема Хартогса доказывает, что гипотеза непрерывности не нужна: ж голоморфен тогда и только тогда, когда он голоморфен по каждой переменной в отдельности.

В более общем смысле, функция нескольких сложных переменных, которая квадратично интегрируемый над каждым компактное подмножество области ее области аналитична тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши – Римана в смысле распределений.

Функции нескольких сложных переменных в некоторых основных отношениях сложнее, чем функции одной сложной переменной. Например, область сходимости степенного ряда не обязательно является открытым шаром; эти регионы Райнхардт домены, простейшим примером которой является полидиск. Однако они также имеют некоторые фундаментальные ограничения. В отличие от функций одной комплексной переменной, возможные области, в которых есть голоморфные функции, которые не могут быть расширены на более крупные области, сильно ограничены. Такой набор называется область голоморфности.

А сложный дифференциал (п, 0) -форма α голоморфно тогда и только тогда, когда его антиголоморфная производная Дольбо равна нулю, ${displaystyle {ar {partial}} alpha = 0}$.

Расширение функционального анализа

Понятие голоморфной функции распространяется на бесконечномерные пространства функциональный анализ. Например, Фреше или же Производная Гато можно использовать для определения понятия голоморфной функции на Банахово пространство над полем комплексных чисел.

Смотрите также

• Первообразная (комплексный анализ)
• Антиголоморфная функция
• Биголоморфия
• Голоморфная отделимость
• Мероморфная функция
• Квадратурные области
• Гармонические карты
• Гармонические морфизмы
• Производные Виртингера

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Блейки, Джозеф (1958). Университетская математика (2-е изд.). Лондон: Блэки и сыновья. OCLC  2370110.

внешняя ссылка

• «Аналитическая функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]