Номер обмотки - Википедия - Winding number

Эта кривая имеет второй виток вокруг точки п.

В математика, то номер намотки закрытого изгиб в самолет вокруг данного точка является целое число представляет общее количество раз, когда кривая проходит вокруг точки против часовой стрелки. Номер намотки зависит от ориентация кривой, и является отрицательный если кривая движется вокруг точки по часовой стрелке.

Номера обмоток являются фундаментальными объектами изучения в алгебраическая топология, и они играют важную роль в векторное исчисление, комплексный анализ, геометрическая топология, дифференциальная геометрия, и физика, включая теория струн.

Интуитивное описание

Объект, движущийся по красной кривой, делает два поворота против часовой стрелки вокруг человека в начале координат.

Предположим, нам дана замкнутая ориентированная кривая в ху самолет. Мы можем представить кривую как путь движения некоторого объекта с ориентацией, указывающей направление, в котором движется объект. Тогда номер намотки кривой равно общему количеству движений против часовой стрелки. повороты что объект делает вокруг начала координат.

При подсчете общего количества повороты, движение против часовой стрелки считается положительным, а движение по часовой стрелке считается отрицательным. Например, если объект сначала четыре раза обходит исходную точку против часовой стрелки, а затем один раз обходит ее по часовой стрелке, то общее число витков кривой равно трем.

При использовании этой схемы кривая, которая вообще не движется вокруг начала координат, имеет номер витка ноль, а кривая, которая движется по часовой стрелке вокруг начала координат, имеет отрицательное число витков. Следовательно, номер витка кривой может быть любым. целое число. На следующих рисунках показаны кривые с номерами витков от -2 до 3:

${ displaystyle cdots}$
	−2	−1	0
				${ displaystyle cdots}$
	1	2	3

Формальное определение

Кривая в ху плоскость может быть определена как параметрические уравнения:

{ displaystyle x = x (t) quad { text {and}} quad y = y (t) qquad { text {for}} 0 leq t leq 1.}

Если мы подумаем о параметре т как время, то эти уравнения определяют движение объекта в плоскости между т = 0 и т = 1. Путь этого движения - кривая до тех пор, пока функции Икс(т) и у(т) находятся непрерывный. Эта кривая замкнута до тех пор, пока положение объекта не изменится. т = 0 и т = 1.

Мы можем определить номер намотки такой кривой с помощью полярная система координат. Предполагая, что кривая не проходит через начало координат, мы можем переписать^{[нужна цитата ]} параметрические уравнения в полярной форме:

{ Displaystyle г = р (т) квад { текст {и}} квад тета = тета (т) qquad { текст {for}} 0 leq t leq 1.}

Функции р(т) и θ(т) должны быть непрерывными, причем р > 0. Поскольку начальная и конечная позиции совпадают, θ(0) и θ(1) должно отличаться на целое число, кратное 2π. Это целое число является номером обмотки:

{ displaystyle { text {число витков}} = { frac { theta (1) - theta (0)} {2 pi}}.}

Это определяет номер витка кривой вокруг начала координат в ху самолет. Путем перевода системы координат мы можем расширить это определение, включив в него числа намотки вокруг любой точки п.

Альтернативные определения

Число обмоток часто определяется по-разному в различных разделах математики. Все приведенные ниже определения эквивалентны приведенному выше:

Александр нумерация

Простой комбинаторный Правило определения номера намотки было предложено Август Фердинанд Мёбиус в 1865 г.^[1]и снова независимо Джеймс Уодделл Александр II в 1928 г.^[2]Любая кривая разделяет плоскость на несколько связанных областей, одна из которых неограничена. Число витков кривой вокруг двух точек в одной и той же области одинаково. Число витков вокруг (любой точки) неограниченной области равно нулю. Наконец, номера витков для любых двух соседних областей отличаются ровно на 1; область с большим числом витков появляется на левой стороне кривой (относительно движения вниз по кривой).

Дифференциальная геометрия

В дифференциальная геометрия, параметрические уравнения обычно считаются дифференцируемый (или хотя бы кусочно дифференцируемым). В этом случае полярная координата θ связана с прямоугольными координатами Икс и у уравнением:

{ displaystyle d theta = { frac {1} {r ^ {2}}} left (x , dy-y , dx right) quad { text {where}} r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}.}

Что находится путем дифференцирования следующего определения для θ:

{ displaystyle theta (t) = arctan { bigg (} { frac {y (t)} {x (t)}} { bigg)}}

Посредством основная теорема исчисления, полное изменение θ равно интеграл из dθ. Таким образом, число витков дифференцируемой кривой можно выразить как линейный интеграл:

{ displaystyle { text {число витков}} = { frac {1} {2 pi}} oint _ {C} , left ({ frac {x} {r ^ {2}}} , dy - { frac {y} {r ^ {2}}} , dx right).}

В однотипный dθ (определено в дополнении к началу координат) равно закрыто но не точно, и он генерирует первый когомологии де Рама группа проколотый самолет. В частности, если ω - любая замкнутая дифференцируемая одноформа, определенная на дополнении к нулю, то интеграл от ω по замкнутым петлям дает кратное номеру намотки.

Комплексный анализ

Номера обмоток играют очень важную роль в комплексном анализе (см. теорема о вычетах ). В контексте комплексный анализ, номер намотки замкнутая кривая ${ displaystyle gamma}$ в комплексная плоскость можно выразить через комплексную координату z = Икс + иу. В частности, если мы напишем z = повторно^iθ, тогда

{ displaystyle dz = e ^ {я theta} dr + ire ^ {я theta} d theta ! ,}

и поэтому

{ displaystyle { frac {dz} {z}} ; = ; { frac {dr} {r}} + i , d theta ; = ; d [ ln r] + i , d theta.}

В качестве ${ displaystyle gamma}$ - замкнутая кривая, полное изменение ln (р) равен нулю, а значит, интеграл от ${ displaystyle { frac {dz} {z}}}$ равно ${ displaystyle i}$ умноженное на общее изменение ${ displaystyle theta}$ . Следовательно, количество витков замкнутого пути ${ displaystyle gamma}$ о происхождении дается выражением^[3]

{ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} oint _ { gamma} { frac {dz} {z}}}

.

В более общем смысле, если ${ displaystyle gamma}$ замкнутая кривая, параметризованная ${ Displaystyle т в [ альфа, бета]}$ , количество витков ${ displaystyle gamma}$ о ${ displaystyle z_ {0}}$ , также известный как индекс из ${ displaystyle z_ {0}}$ относительно ${ displaystyle gamma}$ , определяется для сложных ${ Displaystyle Z_ {0} notin gamma ([ альфа, бета])}$ в качестве^[4]

{ displaystyle mathrm {Ind} _ { gamma} (z_ {0}) = { frac {1} {2 pi i}} oint _ { gamma} { frac {d zeta} { zeta -z_ {0}}} = { frac {1} {2 pi i}} int _ { alpha} ^ { beta} { frac { gamma '(t)} { gamma (t ) -z_ {0}}} dt}

.

Это частный случай знаменитого Интегральная формула Коши.

Некоторые из основных свойств числа обмотки на комплексной плоскости дает следующая теорема:^[5]

Теорема. Позволять ${ displaystyle gamma: [ alpha, beta] to mathbb {C}}$ быть замкнутым путем и пусть ${ displaystyle Omega}$ быть установленным дополнением образа ${ displaystyle gamma}$ , то есть, ${ Displaystyle Omega: = mathbb {C} setminus gamma ([ alpha, beta])}$ . Тогда индекс ${ displaystyle z}$ относительно ${ displaystyle gamma}$ ,

${ displaystyle mathrm {Ind} _ { gamma}: Omega to mathbb {C}, z mapsto { frac {1} {2 pi i}} oint _ { gamma} { frac {d zeta} { zeta -z}}}$ ,

является (i) целочисленным, т. е. ${ displaystyle mathrm {Ind} _ { gamma} (z) in mathbb {Z}}$ для всех ${ displaystyle z in Omega}$ ; (ii) константа над каждой компонентой (т.е. максимальное связное подмножество) ${ displaystyle Omega}$ ; и (iii) ноль, если ${ displaystyle z}$ находится в неограниченной компоненте ${ displaystyle Omega}$ .

Как непосредственное следствие, эта теорема дает число извилистости кругового пути ${ displaystyle gamma}$ о точке ${ displaystyle z}$ . Как и ожидалось, количество витков учитывает количество (против часовой стрелки) петель. ${ displaystyle gamma}$ делает вокруг ${ displaystyle z}$ :

Следствие. Если ${ displaystyle gamma}$ это путь, определяемый ${ displaystyle gamma (t) = a + re ^ {int}, 0 leq t leq 2 pi, n in mathbb {Z}}$ , тогда ${ displaystyle mathrm {Ind} _ { gamma} (z) = { begin {cases} n, & | z-a | r. end {cases}}}$

Топология

В топология, номер обмотки - это альтернативный термин для обозначения степень непрерывного отображения. В физика, номера обмоток часто называют топологические квантовые числа. В обоих случаях применяется одна и та же концепция.

Приведенный выше пример кривой, огибающей точку, имеет простую топологическую интерпретацию. Дополнение к точке на плоскости равно гомотопический эквивалент к круг, так что карты от круга к самому себе - это все, что нужно учитывать. Можно показать, что каждое такое отображение можно непрерывно деформировать в одно из стандартных отображений (гомотопно) ${ Displaystyle S ^ {1} к S ^ {1}: s mapsto s ^ {n}}$ , где умножение в круге определяется отождествлением его со сложным единичным кругом. Набор гомотопические классы карт от круга до топологическое пространство сформировать группа, который называется первым гомотопическая группа или же фундаментальная группа этого пространства. Основная группа круга - это группа целые числа, Z; а число витков комплексной кривой - это просто ее гомотопический класс.

Карты из 3-х сфер в себя также классифицируются целым числом, которое также называется числом намотки или иногда Индекс Понтрягина.

Полигоны

Граница регулярного Эннеаграмма {9/4} оборачивается вокруг своего центра 4 раза, поэтому имеет плотность из 4.

В полигоны, номер намотки называется плотность полигонов. Для выпуклых многоугольников и в целом простые многоугольники (не самопересекающиеся), плотность равна 1, по Теорема Жордана. Напротив, для обычного звездный многоугольник {п/q} плотность q.

Номер поворота

Также можно учесть число извилистости пути по отношению к касательной к самому пути. Как путь, пройденный во времени, это будет число витков относительно начала вектора скорости. В этом случае пример, показанный в начале этой статьи, имеет номер витка 3, потому что небольшая петля является посчитал.

Это определено только для погруженных путей (т. Е. Для дифференцируемых путей с нигде не обращающимися в нуль производными) и является степенью касательной Карта Гаусса.

Это называется номер поворота, и может быть вычислена как полная кривизна делится на 2π.

Число обмотки и уравнения ферромагнетика Гейзенберга

Число намотки тесно связано с (2 + 1) -мерными непрерывными уравнениями ферромагнетика Гейзенберга и их интегрируемыми расширениями: Уравнение Ишимори и т.д. Решения последних уравнений классифицируются по номеру намотки или топологический заряд (топологический инвариант и / или топологическое квантовое число ).

Смотрите также

внешняя ссылка

Номер обмотки в PlanetMath.

[1] Мебиус, август (1865). "Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders". Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Mathematisch-Physische Klasse. 17: 31–68.

[2] Александр, Дж. У. (Апрель 1928 г.). «Топологические инварианты узлов и зацеплений». Труды Американского математического общества. 30 (2): 275–306. Дои:10.2307/1989123.

[3] Вайсштейн, Эрик В. "Число намотки контура". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/ContourWindingNumber.html

[4] Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 201. ISBN 0-07-054235-X.

[5] Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 203. ISBN 0-07-054234-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]