Простой многоугольник - Simple polygon

Несколько простых многоугольников.

В геометрия, а простой многоугольник /ˈпɒлɪɡɒп/ это многоугольник это не пересекаться сам по себе и дырок не имеет. То есть это плоская форма, состоящая из прямых, непересекающихся отрезки линии или «стороны», которые соединяются попарно, образуя единый закрыто дорожка. Если стороны пересекаются, то многоугольник не простой. Квалификатор "простой" часто опускается, и тогда понимается, что приведенное выше определение определяет многоугольник в целом.

Приведенное выше определение обеспечивает следующие свойства:

  • Многоугольник охватывает область (называемую его внутренней частью), которая всегда имеет измеримую площадь.
  • Сегменты линии, составляющие многоугольник (называемые сторонами или ребрами), встречаются только в своих конечных точках, называемых вершинами (сингулярное: вершина) или менее формально «углами».
  • В каждой вершине пересекаются ровно два ребра.
  • Количество ребер всегда равно количеству вершин.

Два края, встречающиеся в углу, обычно требуются для образования угол не прямая (180 °); в противном случае коллинеарен отрезки будут считаться частями одной стороны.

Математики обычно используют «многоугольник» для обозначения только формы, образованной линейными сегментами, а не замкнутой области, однако некоторые могут использовать «многоугольник» для обозначения самолет фигура который ограничен замкнутым путем, состоящим из конечной последовательности отрезков прямой (т. е. замкнутая многоугольная цепь ). Согласно используемому определению, эта граница может или не может быть частью самого многоугольника.[1]

Простые многоугольники еще называют Полигоны Иордании, поскольку Теорема Жордана может использоваться, чтобы доказать, что такой многоугольник делит плоскость на две области: область внутри нее и область за ее пределами. Многоугольник на плоскости прост тогда и только тогда, когда он топологически эквивалентный к круг. Его внутренность топологически эквивалентна диск.

Слабо простой многоугольник

Слабо простой polygon.svg

Если набор непересекающихся отрезков прямых образует границу области плоскости, которая топологически эквивалентна диску, то эта граница называется слабо простой многоугольник.[2]На изображении слева ABCDEFGHJKLM - это слабо простой многоугольник в соответствии с этим определением, причем синим цветом отмечена область, для которой он является границей. Этот тип слабо простого многоугольника может возникать в компьютерной графике и CAD как компьютерное представление многоугольных областей с отверстиями: для каждого отверстия создается «вырез», соединяющий его с внешней границей. Ссылаясь на изображение выше, ABCM - это внешняя граница плоской области с отверстием FGHJ. Разрез ED соединяет отверстие с внешней стороной и дважды пересекается в результирующем слабо простом многоугольном представлении.

В альтернативном и более общем определении слабо простых многоугольников они представляют собой пределы последовательностей простых многоугольников одного комбинаторного типа со сходимостью при Расстояние Фреше.[3] Это формализует представление о том, что такой многоугольник позволяет сегментам касаться, но не пересекаться. Однако этот тип слабо простого многоугольника не обязательно должен формировать границу области, так как его «внутренность» может быть пустой. Например, ссылаясь на изображение выше, многоугольная цепочка ABCBA является слабо простым многоугольником в соответствии с этим определением: ее можно рассматривать как предел «сжатия» многоугольника ABCFGHA.

Вычислительные проблемы

В вычислительная геометрия, несколько важных вычислительных задач включают входные данные в виде простого многоугольника; В каждой из этих проблем различие между внешним и внутренним имеет решающее значение при определении проблемы.[4]

  • Точка в многоугольнике тестирование включает в себя определение для простого многоугольника п и точка запроса q, будь то q лежит внутри п.[5]
  • Известны простые формулы для вычисления область многоугольника; то есть площадь внутри многоугольника.[6]
  • Разбиение многоугольника представляет собой набор примитивных единиц (например, квадратов), которые не перекрываются и объединение которых равно многоугольнику. Задача разбиения многоугольника - это проблема нахождения минимального в некотором смысле разбиения, например, разбиение с наименьшим числом единиц или с единицами наименьшей общей длины стороны.[7]
    • Частным случаем разбиения многоугольника является Триангуляция многоугольника: деление простого многоугольника на треугольники. Хотя выпуклые многоугольники легко триангулировать, триангулировать обычный простой многоугольник сложнее, потому что нам нужно избегать добавления ребер, пересекающихся за пределами многоугольника. Тем не менее, Бернар Шазель в 1991 году показал, что любой простой многоугольник с п вершины можно триангулировать в Θ (п) время, которое является оптимальным. Тот же алгоритм можно также использовать для определения того, образует ли замкнутая многоугольная цепочка простой многоугольник.
    • Другой особый случай - это проблема художественной галереи, которое эквивалентно переформулируется как разбиение на минимальное количество звездообразные многоугольники.[7]
  • Логические операции над полигонами: Различные булевы операции над наборами точек, определенных полигональными областями.
  • В выпуклый корпус простого многоугольника может быть вычислена более эффективно, чем выпуклая оболочка других типов входных данных, таких как выпуклая оболочка набора точек.
  • Диаграмма Вороного простого многоугольника
  • Средняя ось /топологический каркас /прямой скелет простого многоугольника
  • Кривая смещения простого многоугольника
  • Сумма Минковского для простых многоугольников

Рекомендации

  1. ^ Grünbaum, B .; Выпуклые многогранники 2-е изд., Springer, 2003 г.
  2. ^ Думитреску, Адриан; Тот, Чаба Д. (2007). «Легкие ортогональные сети с постоянным геометрическим растяжением». В Томасе, Вольфганге; Вейль, Паскаль (ред.). STACS 2007: 24-й ежегодный симпозиум по теоретическим аспектам информатики, Ахен, Германия, 22-24 февраля 2007 г., Труды (Иллюстрированный ред.). Springer. п. 177. ISBN  978-3540709176.
  3. ^ Сянь-Чжи Чанг; Джефф Эриксон; Чао Сюй (2015). Материалы двадцать шестого ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретным алгоритмам (SODA'15). С. 1655–1670.
  4. ^ В comp.graphics.algorithms FAQ, в котором перечислены решения математических задач с 2D и 3D полигонами.
  5. ^ Хейнс, Эрик (1994). «Стратегии точки в многоугольнике». В Хекберте, Пол С. (ред.). Самоцветы графики IV. Сан-Диего, Калифорния, США: Academic Press Professional, Inc., стр.24–46. ISBN  0-12-336155-9.
  6. ^ Барт Брейден (1986). «Формула площади геодезиста» (PDF). Математический журнал колледжа. 17 (4): 326–337. Дои:10.2307/2686282. JSTOR  2686282. Архивировано из оригинал (PDF) на 2012-11-07.
  7. ^ а б Ли, Д. Т. (1998). «Глава 19: Вычислительная геометрия I». В Аталлах, Михаил Дж. (Ред.). Справочник по алгоритмам и теории вычислений. Серия Chapman & Hall / CRC «Прикладные алгоритмы и структуры данных». CRC Press. ISBN  9781420049503. Видеть «Другие разложения», с. 19-25.

внешняя ссылка