Экс касательный четырехугольник - Ex-tangential quadrilateral

Экс-тангенциальный четырехугольник ABCD и его вневписанная окружность

В Евклидова геометрия, эксантангенциальный четырехугольник это выпуклый четырехугольник где расширения всех четырех сторон касаются круг вне четырехугольника.^[1] Его также называли неописуемый четырехугольник.^[2] Круг называется его внеокружность, его радиус Exradius и его центр превосходить (E на рисунке). Эксцентр лежит на пересечении шести биссектрис угла. Это внутренние биссектриса угла при двух противоположных углах при вершине внешний угол биссектрисы (дополнительный угол биссектрисы) в двух других углах при вершинах, а биссектрисы внешнего угла в углах, образованных в местах пересечения продолжений противоположных сторон (см. рисунок справа, где четыре из этих шести являются сегментами пунктирной линии). Экс-тангенциальный четырехугольник тесно связан с тангенциальный четырехугольник (где четыре стороны касаются окружности).

Другое название вневписанной окружности - выписанная окружность,^[3] но это название также использовалось для окружности, касающейся одной стороны выпуклого четырехугольника и продолжений двух соседних сторон. В этом контексте все выпуклые четырехугольники имеют четыре вписанных окружности, но могут иметь не более одной вневписанной окружности.^[4]

Особые случаи

Воздушные змеи являются примерами экс-тангенциальных четырехугольников. Параллелограммы (который включает в себя квадраты, ромбовидные, и прямоугольники ) можно рассматривать как экс-тангенциальные четырехугольники с бесконечный exradius, поскольку они удовлетворяют характеристикам в следующем разделе, но вневписанная окружность не может касаться обеих пар продолжений противоположных сторон (поскольку они параллельны).^[4] Выпуклые четырехугольники, длины сторон которых образуют арифметическая прогрессия всегда являются эксантангенциальными, поскольку они удовлетворяют приведенным ниже характеристикам для длины смежных сторон.

Характеристики

Выпуклый четырехугольник экс-тангенциальный если и только если есть шесть одновременный биссектрисы углов. Это внутренние биссектриса угла при двух противоположных углах при вершинах, биссектрисы внешнего угла в двух других вершинных углах и биссектрисы внешнего угла в углах, образованных в местах пересечения продолжений противоположных сторон.^[4]

Для расчетов более полезной характеристикой является выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами а, б, в, г эксантангенциально тогда и только тогда, когда сумма двух смежных сторон равна сумме двух других сторон. Это возможно двумя способами - либо как

{ displaystyle a + b = c + d}

или

{ displaystyle a + d = b + c.}

Это было доказано Якоб Штайнер в 1846 г.^[5] В первом случае вневписанная окружность находится вне самой большой из вершин А или C, а во втором - вне самой большой из вершин B или Dпри условии, что стороны четырехугольника ABCD находятся а = AB, б = до н.э, c = компакт диск, и d = DA. Способ объединения этих характеристик относительно сторон состоит в том, что абсолютные значения разницы между противоположными сторонами равны для двух пар противоположных сторон,^[4]

{ Displaystyle | а-с | = | б-г |.}

Эти уравнения тесно связаны с Теорема Пито для касательные четырехугольники, где суммы противоположных сторон равны для двух пар противоположных сторон.

Теорема Уркарта

Если противоположные стороны в выпуклом четырехугольнике ABCD пересекаться в E и F, тогда

{ Displaystyle AB + BC = AD + DC quad Leftrightarrow quad AE + EC = AF + FC.}

Смысл справа назван в честь Л. М. Уркхарта (1902–1966), хотя это было доказано задолго до этого. Огастес Де Морган в 1841 г. Даниэль Педо назвал это самая элементарная теорема в Евклидова геометрия поскольку это касается только прямых линий и расстояний.^[6] То, что на самом деле существует эквивалентность, было доказано Mowaffac Hajja,^[6] что делает равенство справа другим необходимое и достаточное условие чтобы четырехугольник был экс-тангенциальным.

Сравнение с тангенциальным четырехугольником

Некоторые из метрических характеристик касательные четырехугольники (левый столбец в таблице) имеют очень похожие аналоги для экс-тангенциальных четырехугольников (средний и правый столбцы в таблице), как показано в таблице ниже.^[4] Таким образом, выпуклый четырехугольник имеет вписанную или вневписанную окружность вне соответствующей вершины (в зависимости от столбца) тогда и только тогда, когда выполняется одно из пяти необходимых и достаточных условий ниже.

Incircle	Excircle за пределами А или C	Excircle за пределами B или D
${ Displaystyle R_ {1} + R_ {3} = R_ {2} + R_ {4}}$	${ Displaystyle R_ {1} + R_ {2} = R_ {3} + R_ {4}}$	${ Displaystyle R_ {1} + R_ {4} = R_ {2} + R_ {3}}$
${ displaystyle agh + cef = beh + dfg}$	${ displaystyle agh + beh = cef + dfg}$	${ displaystyle agh + dfg = beh + cef}$
${ displaystyle { frac {1} {h_ {1}}} + { frac {1} {h_ {3}}} = { frac {1} {h_ {2}}} + { frac {1) } {h_ {4}}}}$	${ displaystyle { frac {1} {h_ {1}}} + { frac {1} {h_ {2}}} = { frac {1} {h_ {3}}} + { frac {1) } {h_ {4}}}}$	${ displaystyle { frac {1} {h_ {1}}} + { frac {1} {h_ {4}}} = { frac {1} {h_ {2}}} + { frac {1) } {h_ {3}}}}$
${ displaystyle tan { frac {x} {2}} tan { frac {z} {2}} = tan { frac {y} {2}} tan { frac {w} {2 }}}$	${ displaystyle tan { frac {x} {2}} tan { frac {w} {2}} = tan { frac {y} {2}} tan { frac {z} {2 }}}$	${ displaystyle tan { frac {x} {2}} tan { frac {y} {2}} = tan { frac {z} {2}} tan { frac {w} {2 }}}$
${ Displaystyle R_ {a} R_ {c} = R_ {b} R_ {d}}$	${ Displaystyle R_ {a} R_ {b} = R_ {c} R_ {d}}$	${ Displaystyle R_ {a} R_ {d} = R_ {b} R_ {c}}$

Обозначения в этой таблице следующие: В выпуклом четырехугольнике ABCDдиагонали пересекаются в п. р₁, р₂, р₃, р₄ радиусы описанной окружности в треугольниках ABP, BCP, CDP, DAP; час₁, час₂, час₃, час₄ высоты от п в стороны а = AB, б = до н.э, c = компакт диск, d = DA соответственно в тех же четырех треугольниках; е, ж, г, час расстояния от вершин А, B, C, D соответственно п; Икс, у, z, ш углы ABD, АБР, BDC, DBC соответственно; и р_а, р_б, р_c, р_d радиусы окружностей, касательные снаружи к сторонам а, б, c, d соответственно и продолжения двух смежных сторон для каждой стороны.

Площадь

Экс-тангенциальный четырехугольник ABCD с боков а, б, в, г имеет площадь

{ displaystyle displaystyle K = { sqrt {abcd}} sin { frac {B + D} {2}}.}

Обратите внимание, что это та же формула, что и для площади тангенциальный четырехугольник и это также происходит от Формула Бретшнайдера таким же образом.

Exradius

Экстрадиус эксантангенциального четырехугольника с последовательными сторонами а, б, c, d дан кем-то^[4]

{ displaystyle r = { frac {K} {| a-c |}} = { frac {K} {| b-d |}}}

где K площадь четырехугольника. Для экс-тангенциального четырехугольника с заданными сторонами эксрадиус равен максимум когда четырехугольник также циклический (и, следовательно, экс-бицентрический четырехугольник). Эти формулы объясняют, почему все параллелограммы имеют бесконечный радиус.

Экс-бицентрический четырехугольник

Если экс-тангенциальный четырехугольник также имеет описанный круг, это называется экс-бицентрический четырехугольник.^[1] Тогда, поскольку у него есть два противоположных дополнительные углы, его площадь равна

{ Displaystyle Displaystyle К = { sqrt {abcd}}}

что то же самое, что и для двухцентровый четырехугольник.

Если Икс это расстояние между центр окружности и эксцентричный, тогда^[1]

{ displaystyle { frac {1} {(Rx) ^ {2}}} + { frac {1} {(R + x) ^ {2}}} = { frac {1} {r ^ {2 }}},}

где р и р являются по окружности и exradius соответственно. Это то же уравнение, что и Теорема Фусса для двухцентрового четырехугольника. Но при решении для Икс, мы должны выбрать другой корень квадратное уровненеие для экс-бицентрического четырехугольника по сравнению с бицентриком. Следовательно, для экс-бицентрика имеем^[1]

{ displaystyle x = { sqrt {R ^ {2} + r ^ {2} + r { sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}}}.}.

Из этой формулы следует, что

{ displaystyle displaystyle x> R + r,}

Это означает, что описанная и вневписанная окружности никогда не могут пересекаться.

Смотрите также

использованная литература

^ ^а ^б ^c ^d Радич, Мирко; Калиман, Зоран и Кадум, Владимир, "Условие, что касательный четырехугольник также является хордовым", Математические коммуникации2007. Т. 12. С. 33–52.
^ Богомольный Александр, "Неописуемые и нерушимые четырехугольники", Интерактивная математика и головоломки, [1]. Проверено 18 августа 2011 г.
^ Кедлая К.С., Свободная геометрия, 2006
^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж Йозефссон, Мартин, Аналогичные метрические характеристики касательных и экстангенциальных четырехугольников, Forum Geometricorum Volume 12 (2012), стр. 63-77. [2]
^ Ф. Г.-М., Exercices de Géométrie, Éditions Jacques Gabay, sixiéme édition, 1991, p. 318.
^ ^а ^б Хаджа, Моваффак, Очень короткое и простое доказательство «простейшей теоремы» евклидовой геометрии, Forum Geometricorum Volume 6 (2006), стр. 167–169 [3]

[Radic-1] а ^б ^c ^d Радич, Мирко; Калиман, Зоран и Кадум, Владимир, "Условие, что касательный четырехугольник также является хордовым", Математические коммуникации2007. Т. 12. С. 33–52.

[2] Богомольный Александр, "Неописуемые и нерушимые четырехугольники", Интерактивная математика и головоломки, [1]. Проверено 18 августа 2011 г.

[3] Кедлая К.С., Свободная геометрия, 2006

[Josefsson-4] а ^б ^c ^d ^е ^ж Йозефссон, Мартин, Аналогичные метрические характеристики касательных и экстангенциальных четырехугольников, Forum Geometricorum Volume 12 (2012), стр. 63-77. [2]

[5] Ф. Г.-М., Exercices de Géométrie, Éditions Jacques Gabay, sixiéme édition, 1991, p. 318.

[Hajja-6] а ^б Хаджа, Моваффак, Очень короткое и простое доказательство «простейшей теоремы» евклидовой геометрии, Forum Geometricorum Volume 6 (2006), стр. 167–169 [3]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]