Бесконечность - Infinity

В символ бесконечности

бесконечность представляет что-то безграничное или бесконечное, или что-то большее, чем настоящий или же натуральное число.^[1] Часто обозначается как символ бесконечности ∞.

Со времен древние греки, то философская природа бесконечности был предметом многих дискуссий среди философов. В 17 веке с введением символ бесконечности^[2] и исчисление бесконечно малых, математики начали работать с бесконечная серия и что некоторые математики (в том числе l'Hôpital и Бернулли )^[3] считались бесконечно малыми величинами, но бесконечность продолжала ассоциироваться с бесконечными процессами.^[4] Пока математики боролись с основами исчисления, оставалось неясным, можно ли рассматривать бесконечность как число или величину, и если да, то как это можно сделать.^[2] В конце 19 века Георг Кантор расширил математическое изучение бесконечности, изучая бесконечные множества и бесконечные числа, показывая, что они могут быть разных размеров.^[2][5] Например, если линия рассматривается как набор всех ее точек, их бесконечное число (т. Е. мощность строки) больше, чем количество целые числа.^[6] В этом смысле бесконечность - это математическое понятие, а бесконечность математические объекты можно изучать, манипулировать и использовать, как и любой другой математический объект.

Математическая концепция бесконечности уточняет и расширяет старую философскую концепцию, в частности, путем введения бесконечного множества различных размеров бесконечных множеств. Среди аксиом Теория множеств Цермело – Френкеля, на котором можно развить большую часть современной математики, является аксиома бесконечности, что гарантирует существование бесконечных множеств.^[2] Математическая концепция бесконечности и манипуляции с бесконечными множествами используются везде в математике, даже в таких областях, как комбинаторика может показаться, что это не имеет к ним никакого отношения. Например, Доказательство Уайлса из Последняя теорема Ферма неявно полагается на существование очень большие бесконечные множества^[7] для решения давней проблемы, сформулированной в терминах элементарная арифметика.

В физика и космология, бесконечна ли Вселенная это открытый вопрос.

История

В древних культурах были разные представления о природе бесконечности. В древние индейцы и Греки не определял бесконечность в точном формализме, как это делает современная математика, а вместо этого рассматривал бесконечность как философское понятие.

Ранний греческий

Самая ранняя зарегистрированная идея бесконечности может быть идеей Анаксимандр (ок. 610 - ок. 546 г. до н. э.) а досократический Греческий философ. Он использовал слово апейрон, что означает «неограниченный», «неопределенный» и, возможно, может быть переведен как «бесконечный».^[2][8]

Аристотель (350 г. до н.э.) отличился потенциальная бесконечность из актуальная бесконечность, который он считал невозможным из-за различных парадоксов, которые он, казалось, порождал.^[9] Утверждалось, что в соответствии с этой точкой зрения Эллинистический Греки испытывали «ужас перед бесконечностью»^[10][11] который, например, объяснил бы, почему Евклид (ок. 300 г. до н.э.) не сказал, что существует бесконечное количество простых чисел, а скорее «Простые числа больше, чем любое назначенное множество простых чисел».^[12] Также утверждалось, что при доказательстве эта теорема Евклид «был первым, кто преодолел ужас бесконечности».^[13] Существует аналогичное противоречие относительно Евклида. параллельный постулат, иногда переводится

Если прямая линия, проходящая через две [другие] прямые, образует внутренние углы на той же стороне [сама по себе, сумма которых] меньше двух прямых углов, то две [другие] прямые линии, образуемые до бесконечности, пересекаются на этой стороне. [исходной прямой], что [сумма внутренних углов] меньше двух прямых углов.^[14]

Другие переводчики, однако, предпочитают перевод «две прямые линии, если они производятся бесконечно ...»,^[15] таким образом избегая намеков, что Евклиду было комфортно с понятием бесконечности. Наконец, утверждалось, что размышления о бесконечности, отнюдь не вызывающие «ужас бесконечности», лежали в основе всей ранней греческой философии и что «потенциальная бесконечность» Аристотеля является отклонением от общей тенденции этого периода.^[16]

Зенон: Ахилл и черепаха

Зенон Элейский (ок. 495 - ок. 430 до н. э.) не выдвигал никаких взглядов на бесконечное. Тем не менее его парадоксы,^[17] особенно «Ахиллес и черепаха», были важным вкладом, поскольку они ясно показали несостоятельность популярных концепций. Парадоксы были описаны Бертран Рассел как «неизмеримо тонкое и глубокое».^[18]

Ахиллес гоняет черепаху, давая последней фору.

Шаг № 1: Ахиллес бежит к отправной точке черепахи, а черепаха идет вперед.

Шаг № 2: Ахилл продвигается туда, где была черепаха в конце Шага № 1, а черепаха идет еще дальше.

Шаг № 3: Ахилл продвигается туда, где была черепаха в конце Шага № 2, а черепаха идет еще дальше.

Шаг № 4: Ахиллес продвигается туда, где была черепаха в конце Шага № 3, а черепаха идет еще дальше.

И Т. Д.

Судя по всему, Ахиллес никогда не обгоняет черепаху, поскольку сколько бы шагов он ни сделал, черепаха все равно остается впереди него.

Зенон не пытался говорить о бесконечности. Как член Eleatic В школе, считавшей движение иллюзией, он считал ошибкой полагать, что Ахилл вообще мог бежать. Последующие мыслители, считая это решение неприемлемым, более двух тысячелетий пытались найти другие слабые места в этом аргументе.

Наконец, в 1821 г. Огюстен-Луи Коши предоставили как удовлетворительное определение предела, так и доказательство того, что при 0 < Икс < 1,

а + топор + топор² + топор³ + топор⁴ + топор⁵ + · · · = а/1−Икс .^[19]

Предположим, что Ахиллес бежит со скоростью 10 метров в секунду, черепаха идет со скоростью 0,1 метра в секунду, а последняя имеет 100-метровую фору. Продолжительность погони соответствует модели Коши с а = 10 секунд и Икс = 0,01. Ахиллес действительно догоняет черепаху; это занимает его

10 + 0.1 + 0.001 + 0.00001 + · · · = 10/1−0.01 = 10/0.99 = 10 10/99 секунд.

Ранний индийский

В Джайнская математика текст Сурья Праджняпти (ок. 4–3 вв. до н. э.) классифицирует все числа на три набора: перечислимый, бесчисленное и бесконечное. Каждый из них был далее подразделен на три порядка:^[20]

• Перечислимый: самый низкий, средний и самый высокий
• Бесчисленные: почти бесчисленные, поистине бесчисленные и бесчисленные бесчисленные
• Бесконечный: почти бесконечный, истинно бесконечный, бесконечно бесконечный

17-го века

В 17 веке европейские математики начали систематически использовать бесконечные числа и бесконечные выражения. В 1655 г. Джон Уоллис впервые использовал обозначение ${displaystyle infty}$ за такое количество в его De sectionibus conicis,^[21] и использовал его в расчетах площади, разделив регион на бесконечно малый полосы шириной порядка ${displaystyle {frac {1} {infty}}.}$^[22] Но в Infinitorum Arithmetica (также в 1655 году), он указывает бесконечные ряды, бесконечные произведения и бесконечные непрерывные дроби, записывая несколько членов или множителей, а затем добавляя «и т. д.», как в «1, 6, 12, 18, 24 и т. д.».^[23]

В 1699 г. Исаак Ньютон писал об уравнениях с бесконечным числом членов в своей работе Анализ по aequationes numero terminorum infinitas.^[24]

Математика

Герман Вейль открыл математико-философское обращение, данное в 1930 году:^[25]

Математика - это наука о бесконечности.

Символ

Знак бесконечности ${displaystyle infty}$ (иногда называют лемниската ) - математический символ, представляющий концепцию бесконечности. Символ закодирован в Unicode в U + 221E ∞ БЕСКОНЕЧНОСТЬ (HTML∞ · & infin;)^[26] И в Латекс в качестве infty.^[27]

Он был введен в 1655 г. Джон Уоллис,^[28][29] и с момента своего появления он также использовался вне математики в современном мистицизме.^[30] и литературный символика.^[31]

Исчисление

Готфрид Лейбниц, один из соавторов исчисление бесконечно малых, много размышляли о бесконечных числах и их использовании в математике. Для Лейбница и бесконечно малые, и бесконечные величины были идеальными объектами, не имеющими той же природы, что и заметные величины, но обладали теми же свойствами в соответствии с Закон непрерывности.^[32][3]

Реальный анализ

В реальный анализ, символ ${displaystyle infty}$, называемый «бесконечностью», используется для обозначения неограниченного предел.^[33] Обозначение ${displaystyle xightarrow infty}$ Значит это${displaystyle x}$ неограниченно увеличивается, и ${displaystyle x o -infty}$ Значит это${displaystyle x}$ убывает неограниченно. Например, если ${displaystyle f (t) geq 0}$ для каждого${displaystyle t}$, тогда^[34]

• ${displaystyle int _ {a} ^ {b} f (t), dt = infty}$ Значит это ${displaystyle f (t)}$ не ограничивает конечную площадь от ${displaystyle a}$ к ${displaystyle b.}$
• ${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} f (t), dt = infty}$ означает, что область под ${displaystyle f (t)}$ бесконечно.
• ${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} f (t), dt = a}$ означает, что общая площадь под ${displaystyle f (t)}$ конечно и равно ${displaystyle a.}$

Бесконечность также может использоваться для описания бесконечная серия, следующее:

• ${displaystyle sum _ {i = 0} ^ {infty} f (i) = a}$ означает, что сумма бесконечного ряда сходится к некоторой реальной стоимости ${displaystyle a.}$
• ${displaystyle sum _ {i = 0} ^ {infty} f (i) = infty}$ означает, что сумма бесконечного ряда правильно расходится до бесконечности в том смысле, что частичные суммы неограниченно растут.^[35]

В дополнение к определению предела бесконечность также может использоваться как значение в расширенной системе действительных чисел.^[1] Маркированные точки ${displaystyle + infty}$ и ${displaystyle -infty}$ можно добавить в топологическое пространство действительных чисел, производя двухточечный компактификация реальных чисел. Добавление к этому алгебраических свойств дает нам расширенные действительные числа.^[36] Мы также можем лечить ${displaystyle + infty}$ и ${displaystyle -infty}$ то же самое, что приводит к компактификации действительных чисел по одной точке, что является реальная проективная линия.^[37] Проективная геометрия также относится к линия на бесконечности в плоской геометрии a самолет в бесконечности в трехмерном пространстве, а гиперплоскость в бесконечности для общего размеры, каждый состоящий из указывает на бесконечность.^[38]

Комплексный анализ

К стереографическая проекция комплексную плоскость можно «обернуть» на сферу, причем верхняя точка сферы соответствует бесконечности. Это называется Сфера Римана.

В комплексный анализ символ ${displaystyle infty}$, называемое "бесконечностью", означает беззнаковое бесконечное предел. ${displaystyle xightarrow infty}$ означает, что величина${displaystyle | x |}$ из${displaystyle x}$ превышает любое присвоенное значение. А точка помечена ${displaystyle infty}$ можно добавить к комплексной плоскости как топологическое пространство давая одно очко компактификация комплексной плоскости.^[39] Когда это будет сделано, результирующее пространство станет одномерным. комплексное многообразие, или же Риманова поверхность, называемая расширенной комплексной плоскостью или Сфера Римана. Также могут быть определены арифметические операции, аналогичные приведенным выше для расширенных действительных чисел, хотя в знаках нет различия (что приводит к единственному исключению: бесконечность не может быть добавлена ​​к самой себе). С другой стороны, такая бесконечность позволяет деление на ноль, а именно ${displaystyle z / 0 = infty}$ для любого ненулевого комплексного числа${displaystyle z}$. В этом контексте часто бывает полезно рассмотреть мероморфные функции как карты в сферу Римана, принимающую значение ${displaystyle infty}$ на полюсах. Область определения комплекснозначной функции также может быть расширена за счет включения бесконечно удаленной точки. Одним из важных примеров таких функций является группа Преобразования Мебиуса (видеть Преобразование Мёбиуса § Обзор ).

Нестандартный анализ

Бесконечно малые (ε) и бесконечные (ω) на гипервереальной числовой прямой (1 / ε = ω / 1)

Первоначальная формулировка исчисление бесконечно малых к Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц использовал бесконечно малый количества. В ХХ веке было показано, что это лечение может быть усилено различными способами. логические системы, включая гладкий анализ бесконечно малых и нестандартный анализ. В последнем бесконечно малые обратимы, а обратные им - бесконечные числа. Бесконечности в этом смысле являются частью гиперреальное поле; между ними нет эквивалента, как с канторовским трансфинит. Например, если H - бесконечное число в этом смысле, то H + H = 2H и H + 1 - различные бесконечные числа. Такой подход к нестандартное исчисление полностью развит в Кейслер (1986).

Теория множеств

Однозначное соответствие между бесконечным множеством и его собственным подмножеством

Другой формой «бесконечности» являются порядковый и кардинал бесконечности теории множеств - система трансфинитные числа впервые разработан Георг Кантор. В этой системе первым трансфинитным кардиналом является алеф-нуль (ℵ₀) мощность множества натуральные числа. Эта современная математическая концепция количественной бесконечности, разработанная в конце 19 века из работ Кантора, Готлоб Фреге, Ричард Дедекинд и другие - используя идею коллекций или наборов.^[2]

Подход Дедекинда заключался в том, чтобы принять идею индивидуальная переписка как стандарт для сравнения размеров наборов, и чтобы отвергнуть точку зрения Галилея (полученную из Евклид ), что целое не может быть того же размера, что и часть (однако, см. Парадокс Галилея где он заключает, что положительный квадратные целые числа того же размера, что и положительные целые числа). Бесконечное множество можно просто определить как множество, имеющее тот же размер, что и хотя бы один из его правильный части; это понятие бесконечности называется Дедекинд бесконечный. На диаграмме справа показан пример: если рассматривать линии как бесконечные наборы точек, левая половина нижней синей линии может быть сопоставлена ​​один-к-одному (зеленые соответствия) с верхней синей линией, и, в свою очередь, , на всю нижнюю синюю линию (красные соответствия); следовательно, вся нижняя синяя линия и ее левая половина имеют одинаковую мощность, то есть «размер».^{[нужна цитата ]}

Кантор определил два вида бесконечных чисел: порядковые номера и Количественные числительные. Порядковые числа характеризуют хорошо организованный наборов или подсчет до любой точки остановки, включая точки после того, как бесконечное число уже было подсчитано. Обобщая конечное и (обычное) бесконечное последовательности которые являются отображениями положительных целые числа приводит к сопоставления от порядковых чисел к трансфинитным последовательностям. Кардинальные числа определяют размер наборов, то есть количество элементов, которые они содержат, и могут быть стандартизированы путем выбора первого порядкового числа определенного размера, представляющего кардинальное число этого размера. Наименьшая порядковая бесконечность - это положительные целые числа, и любой набор, который имеет мощность целых чисел, является счетно бесконечный. Если набор слишком велик для взаимно однозначного соответствия положительным целым числам, он называется бесчисленный. Взгляды Кантора возобладали, и современная математика принимает актуальную бесконечность как часть последовательной и последовательной теории.^{[40][41][страница нужна ]} Некоторые расширенные системы счисления, такие как гиперреальные числа, включают в себя обычные (конечные) числа и бесконечные числа разных размеров.^{[нужна цитата ]}

Мощность континуума

Одним из наиболее важных результатов Кантора было то, что мощность континуума ${displaystyle mathbf {c}}$ больше, чем у натуральных чисел ${displaystyle {алеф _ {0}}}$; то есть реальных чисел больше р чем натуральные числа N. А именно, Кантор показал, что ${displaystyle mathbf {c} = 2 ^ {алеф _ {0}}> {алеф _ {0}}}$ (видеть Диагональный аргумент Кантора или же Первое доказательство несчетности Кантора ).^[42]

В гипотеза континуума заявляет, что нет количественное числительное между мощностью действительных чисел и мощностью натуральных чисел, то есть ${displaystyle mathbf {c} = aleph _ {1} = eth _ {1}}$ (видеть Бет один ). Эту гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть в широко распространенных Теория множеств Цермело – Френкеля, даже если предположить Аксиома выбора.^[43]

Кардинальная арифметика может использоваться, чтобы показать не только то, что количество точек в действительная числовая линия равно количеству очков в любом сегмент этой линии, но также и то, что это равно количеству точек на плоскости и, действительно, в любом конечномерный Космос.^{[нужна цитата ]}

Первые три шага фрактальной конструкции, предел которой равен кривая заполнения пространства, показывая, что на одномерной прямой столько же точек, сколько на двумерном квадрате.

Первый из этих результатов становится очевидным, если рассмотреть, например, касательная функция, которая обеспечивает индивидуальная переписка между интервал (−π / 2, π / 2) ир (смотрите также Парадокс Гильберта в Гранд Отеле ). Второй результат был доказан Кантором в 1878 году, но интуитивно он стал очевиден только в 1890 году, когда Джузеппе Пеано представил кривые, заполняющие пространство, изогнутые линии, которые изгибаются и поворачиваются достаточно, чтобы заполнить весь любой квадрат, или куб, или же гиперкуб, или конечномерное пространство. Эти кривые можно использовать для определения взаимно однозначного соответствия между точками на одной стороне квадрата и точками в квадрате.^[44]

Геометрия и топология

Бесконечныйразмерный пространства широко используются в геометрия и топология, особенно как классификация пространств, Такие как Пространства Эйленберга-Маклейна. Общие примеры - бесконечномерные сложное проективное пространство К (Z, 2) и бесконечномерный реальное проективное пространство К (Z / 2Z, 1).^{[нужна цитата ]}

Фракталы

Структура фрактал объект повторяется в его увеличениях. Фракталы можно увеличивать до бесконечности, не теряя своей структуры и не становясь «гладкими»; они имеют бесконечный периметр - одни с бесконечными, а другие с конечными площадями поверхности. Один такой фрактальная кривая с бесконечным периметром и конечной площадью поверхности является Коха снежинка.^{[нужна цитата ]}

Математика без бесконечности

Леопольд Кронекер скептически относился к понятию бесконечности и к тому, как его коллеги-математики использовали его в 1870-х и 1880-х годах. Этот скептицизм развился в философия математики называется финитизм, крайняя форма математической философии в общих философских и математических школах конструктивизм и интуиционизм.^[45]

Физика

В физика, приближения действительные числа используются для непрерывный измерения и натуральные числа используются для дискретный измерения (т.е. подсчет). Концепции бесконечных вещей, таких как бесконечное плоская волна существуют, но нет экспериментальных средств их создания.^[46]

Космология

Первое опубликованное предположение о бесконечности Вселенной было сделано Томасом Диггесом в 1576 году.^[47] Восемь лет спустя, в 1584 году, итальянский философ и астроном Джордано Бруно предложил неограниченную вселенную в О бесконечной вселенной и мирах: «Бесчисленные солнца существуют; бесчисленные земли вращаются вокруг этих солнц, подобно тому, как семь планет вращаются вокруг нашего солнца. Живые существа населяют эти миры».^[48]

Космологи давно пытались выяснить, существует ли бесконечность в нашем физическом вселенная: Есть ли бесконечное количество звезд? Есть ли у Вселенной бесконечный объем? Имеет ли место "продолжай вечно" ? Это открытый вопрос космология. Вопрос о бесконечности логически отделен от вопроса о границах. Двумерная поверхность Земли, например, конечна, но не имеет края. Путешествуя по прямой относительно кривизны Земли, человек в конечном итоге вернется в то место, откуда он начал. Вселенная, по крайней мере в принципе, могла бы иметь похожее топология. Если это так, то в конце концов можно вернуться в исходную точку после достаточно долгого путешествия по прямой через вселенную.^[49]

Кривизну Вселенной можно измерить через мультипольные моменты в спектре космический фон. К настоящему времени проведен анализ диаграмм направленности, зарегистрированных WMAP космический корабль намекает, что Вселенная имеет плоскую топологию. Это согласуется с бесконечной физической вселенной.^[50][51][52]

Однако Вселенная может быть конечной, даже если ее кривизна плоская. Легкий способ понять это - рассмотреть двумерные примеры, такие как видеоигры, где элементы, выходящие за один край экрана, снова появляются на другом. Топология таких игр тороидальная, а геометрия плоская. Для трехмерного пространства также существует множество возможных ограниченных плоских возможностей.^[53]

Концепция бесконечности распространяется также на мультивселенная гипотеза, которая, когда ее объясняют астрофизики, такие как Мичио Каку, утверждает, что существует бесконечное количество и разнообразие вселенных.^[54]

Логика

В логика ан бесконечный регресс Аргумент является «чисто философским аргументом, целью которого является показать, что тезис дефектен, поскольку он порождает бесконечную серию, когда либо (форма A) такой серии не существует, либо (форма B), если бы она существовала, тезису не хватало бы роли ( например, оправдания), что он должен играть ».^[55]

Вычисление

В IEEE с плавающей точкой стандарт (IEEE 754) определяет положительное и отрицательное значение бесконечности (а также неопределенный значения). Они определяются как результат арифметическое переполнение, деление на ноль, и другие исключительные операции.^{[нужна цитата ]}

Немного языки программирования, Такие как Ява^[56] и J,^[57] разрешить программисту явный доступ к значениям положительной и отрицательной бесконечности в качестве языковых констант. Их можно использовать как наибольшие и наименьшие элементы, поскольку они сравнивают (соответственно) больше или меньше всех других значений. Они используются как дозорные ценности в алгоритмы с участием сортировка, поиск, или же окна.^{[нужна цитата ]}

В языках, которые не имеют наибольших и наименьших элементов, но позволяют перегрузка из реляционные операторы, программист может Создайте наибольшие и наименьшие элементы. В языках, которые не предоставляют явный доступ к таким значениям из начального состояния программы, но реализуют плавающую точку тип данных, бесконечные значения могут оставаться доступными и использоваться в результате определенных операций.^{[нужна цитата ]}

В программировании бесконечный цикл это петля чье условие выхода никогда не выполняется, поэтому теоретически выполняется бесконечно.

Искусство, игры и когнитивные науки

Перспектива произведение искусства использует концепцию точки схода, примерно соответствующий математической указывает на бесконечность, находящиеся на бесконечном расстоянии от наблюдателя. Это позволяет художникам создавать картины, которые реалистично передают пространство, расстояния и формы.^[58] Художник M.C. Эшер особенно известен тем, что использовал концепцию бесконечности в своих работах этим и другими способами.^{[нужна цитата ]}

Вариации шахматы играемые на неограниченной доске называются бесконечные шахматы.^[59][60]

Когнитивный ученый Джордж Лакофф рассматривает понятие бесконечности в математике и естественных науках как метафору. Эта перспектива основана на базовой метафоре бесконечности (ИМТ), определяемой как постоянно увеличивающаяся последовательность <1,2,3, ...>.^{[нужна цитата ]}

Этот символ часто используется в романтических целях для обозначения вечной любви. Для этого в форме бесконечности вылеплены несколько видов украшений.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

Рекомендации

Библиография

Источники

внешняя ссылка

• "Бесконечное". Интернет-энциклопедия философии.
• бесконечность на В наше время на BBC
• Ускоренный курс математики бесконечных множеств, автор Питер Субер. Из журнала St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59. Автономное приложение к Бесконечные размышления, ниже. Краткое введение в канторовскую математику бесконечных множеств.
• Бесконечные размышления, автор Питер Субер. Как канторовская математика бесконечности решает горстку древних философских проблем бесконечности. Из журнала St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59.
• Грайм, Джеймс. «Бесконечность больше, чем вы думаете». Numberphile. Брэди Харан. Архивировано из оригинал на 2017-10-22. Получено 2013-04-06.
• Отель Инфинити
• Джон Дж. О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон (1998). 'Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор', Архив истории математики MacTutor.
• Джон Дж. О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон (2000). "Джайнская математика", Архив истории математики MacTutor.
• Ян Пирс (2002). 'Джайнизм', Архив истории математики MacTutor.
• Исходная страница средневекового и современного письма о Бесконечности
• Тайна Алеф: математика, каббала и поиск бесконечности
• Словарь бесконечности (сборник статей о бесконечности по физике, математике и философии)