Сфера Римана - Riemann sphere

Сферу Римана можно представить как плоскость комплексных чисел, обернутую вокруг сферы (некоторой формой стереографическая проекция - подробности приведены ниже).

В математика, то Сфера Римана, названный в честь Бернхард Риманн,^[1] это модель из расширенная комплексная плоскость, то комплексная плоскость плюс точка в бесконечности. Эта расширенная плоскость представляет собой расширенные комплексные числа, это сложные числа плюс значение ∞ для бесконечность. В модели Римана точка «∞» находится рядом с очень большими числами, так же как точка «0» находится рядом с очень маленькими числами.

Расширенные комплексные числа полезны в комплексный анализ потому что они позволяют деление на ноль в некоторых случаях таким образом, чтобы сделать такие выражения, как ${ Displaystyle { tfrac {1} {0}} = infty}$ хорошо воспитанный. Например, любой рациональная функция на комплексной плоскости можно продолжить до голоморфная функция на сфере Римана с полюса отображения рациональной функции в бесконечность. В общем, любой мероморфная функция можно рассматривать как голоморфную функцию, codomain - сфера Римана.

В геометрия, сфера Римана является прототипом Риманова поверхность, и является одним из самых простых комплексные многообразия. В проективная геометрия, сферу можно рассматривать как сложный проективная линия п¹(C), проективное пространство из всех сложные линии в C². Как и любой компактный Риманова поверхность, сферу также можно рассматривать как проективную алгебраическая кривая, что делает его фундаментальным примером в алгебраическая геометрия. Он также находит применение в других дисциплинах, зависящих от анализа и геометрии, таких как Сфера Блоха из квантовая механика и в других разделы физики.

Расширенная комплексная плоскость также называется замкнутая комплексная плоскость.

Расширенные комплексные числа

В расширенные комплексные числа состоят из комплексных чисел C вместе с ∞. Набор расширенных комплексных чисел можно записать как C ∪ {∞}, и часто обозначается добавлением украшения к букве C, Такие как

${ displaystyle { hat { mathbb {C}}}, quad { overline { mathbb {C}}}, quad { text {или}} quad mathbb {C} _ { infty} .}$

Геометрически набор расширенных комплексных чисел называется Сфера Римана (или же расширенная комплексная плоскость).

Арифметические операции

Добавление комплексных чисел может быть расширен путем определения для z ∈ C,

${ Displaystyle г + infty = infty}$

для любого комплексного числа z, и умножение может быть определено

${ Displaystyle г раз infty = infty}$

для всех ненулевых комплексных чисел z, причем ∞ × ∞ = ∞. Обратите внимание, что ∞ - ∞ и 0 × ∞ остаются неопределенными. В отличие от комплексных чисел, расширенные комплексные числа не образуют поле, поскольку ∞ не имеет мультипликативный обратный. Тем не менее принято определять разделение на C ∪ {∞} пользователем

${ displaystyle { frac {z} {0}} = infty quad { text {and}} quad { frac {z} { infty}} = 0}$

для всех ненулевых комплексных чисел z, с ∞/0 = ∞ и 0/∞ = 0. Факторы 0/0 и ∞/∞ остаются неопределенными.

Рациональные функции

Любой рациональная функция ж(z) = грамм(z)/час(z) (другими словами, ж(z) - отношение полиномиальных функций грамм(z) и час(z) из z с комплексными коэффициентами, такими, что грамм(z) и час(z) не имеют общего множителя) можно продолжить до непрерывная функция на сфере Римана. В частности, если z₀ такое комплексное число, что знаменатель час(z₀) равно нулю, но числитель грамм(z₀) отличен от нуля, то ж(z₀) можно определить как ∞. Более того, ж(∞) можно определить как предел из ж(z) в качестве z → ∞, которые могут быть конечными или бесконечными.

Набор сложных рациональных функций, математическим символом которых является C(z) - сформировать все возможное голоморфные функции от сферы Римана к себе, когда она рассматривается как Риманова поверхность, за исключением постоянной функции, принимающей всюду значение ∞. Функции C(z) образуют алгебраическое поле, известное как поле рациональных функций на сфере.

Например, учитывая функцию

${ displaystyle f (z) = { frac {6z ^ {2} +1} {2z ^ {2} -50}}}$

мы можем определить ж(±5) = ∞, поскольку знаменатель равен нулю при z = ±5, и ж(∞) = 3 поскольку ж(z) → 3 в качестве z → ∞. Используя эти определения, ж становится непрерывной функцией от сферы Римана к самой себе.

Как комплексное многообразие

Как одномерное комплексное многообразие, сфера Римана может быть описана двумя картами, обе с областью определения, равной плоскости комплексных чисел C. Позволять ζ быть комплексным числом в одной копии C, и разреши ξ быть комплексным числом в другой копии C. Определите каждое ненулевое комплексное число ζ из первых C с ненулевым комплексным числом 1/ξ второй C. Тогда карта

${ displaystyle f (z) = { frac {1} {z}}}$

называется карта перехода между двумя копиями C - так называемой графики - склеиваем их вместе. Поскольку карты перехода голоморфный, они определяют комплексное многообразие, называемое Сфера Римана. Как комплексное многообразие 1 комплексного измерения (т. Е. 2 ​​реальных измерений), это также называется Риманова поверхность.

Интуитивно карты переходов показывают, как склеить две плоскости вместе, чтобы сформировать сферу Римана. Плоскости склеены «наизнанку», так что они перекрываются почти везде, причем каждая плоскость вносит свой вклад только в одну точку (ее начало), отсутствующую в другой плоскости. Другими словами, (почти) каждая точка в сфере Римана имеет как ζ значение и ξ значение, и два значения связаны соотношением ζ = 1/ξ. Точка, где ξ = 0 тогда должно быть ζ-ценить "1/0"; в этом смысле происхождение ξ-карта играет роль "∞" в ζ-Диаграмма. Симметрично происхождение ζ-карта играет роль ∞ в ξ-Диаграмма.

Топологически, получившееся пространство - это одноточечная компактификация плоскости в сферу. Однако сфера Римана - это не просто топологическая сфера. Это сфера с четко определенным сложная структура, так что вокруг каждой точки на сфере есть окрестность, которая может быть биголоморфно отождествляется с C.

С другой стороны, теорема униформизации, центральный результат классификации римановых поверхностей, утверждает, что каждое односвязный Риманова поверхность биголоморфна комплексной плоскости, гиперболическая плоскость, или сфера Римана. Из них сфера Римана - единственная, которая закрытая поверхность (а компактный поверхность без граница ). Следовательно, двумерная сфера допускает уникальную сложную структуру, превращающую ее в одномерное комплексное многообразие.

Как сложная проективная линия

Сферу Римана также можно определить как сложная проективная линия. Точки комплексной проективной прямой: классы эквивалентности устанавливается следующим соотношением в точках из C² \ {(0,0)}:

Если для некоторого λ ≠ 0, ш = λты и z = λv, тогда ${ displaystyle (w, z) Thicksim (u, v).}$

В этом случае класс эквивалентности записывается [ш, г] с помощью проективные координаты. Учитывая любую точку [ш, г] в комплексной проективной прямой, один из ш и z должно быть ненулевым, скажем ш ≠ 0. Тогда по отношению эквивалентности

${ Displaystyle [ш, г] толстый левый [1, { tfrac {г} {ш}} вправо]}$ которая находится в карте многообразия сфер Римана.^[2]

Такое рассмотрение сферы Римана наиболее легко связано с проективной геометрией. Например, любая линия (или гладкая коническая) в комплексная проективная плоскость биголоморфна комплексной проективной прямой. Это также удобно для изучения сфер автоморфизмы, далее в этой статье.

Как сфера

Стереографическая проекция комплексного числа А на точку α сферы Римана

Сферу Римана можно представить как единичную сферу Икс² + у² + z² = 1 в трехмерном реальном пространстве р³. С этой целью рассмотрим стереографическая проекция из единичной сферы за вычетом точки (0, 0, 1) на плоскость z = 0, который мы отождествляем с комплексной плоскостью как ζ = Икс + иу. В Декартовы координаты (Икс, у, z) и сферические координаты (θ, φ) на сфере (с θ в зенит и φ в азимут ) проекция

${ displaystyle zeta = { frac {x + iy} {1-z}} = cot left ({ frac {1} {2}} theta right) ; e ^ {i phi} .}$

Аналогично стереографическая проекция от (0, 0, −1) на самолет z = 0, отождествляемый с другой копией комплексной плоскости ξ = Икс − иу, написано

${ displaystyle xi = { frac {x-iy} {1 + z}} = tan left ({ frac {1} {2}} theta right) ; e ^ {- i phi }.}$

Чтобы покрыть единичную сферу, нужны две стереографические проекции: первая будет покрывать всю сферу, кроме точки (0, 0, 1) а второй кроме точки(0, 0, −1). Следовательно, нужны две сложные плоскости, по одной для каждой проекции, которые можно интуитивно представить как склеенные спина к спине наz = 0. Обратите внимание, что две сложные плоскости по-разному идентифицируются с плоскостью z = 0. An ориентация -поворот необходим для сохранения согласованной ориентации на сфере, и, в частности, комплексное сопряжение делает карты перехода голоморфными.

Карты перехода между ζ-координаты и ξ-координаты получаются путем совмещения одной проекции с другой. Они оказываются ζ = 1/ξ и ξ = 1/ζ, как описано выше. Таким образом, единичная сфера равна диффеоморфный к сфере Римана.

При этом диффеоморфизме единичная окружность в ζ-график, единичный круг в ξ-карта, и экватор единичной сферы все идентифицированы. Единичный диск |ζ| < 1 отождествляется с южным полушарием z < 0, а единичный диск |ξ| < 1 отождествляется с северным полушариемz > 0.

Метрическая

Риманова поверхность не оснащена какими-либо особыми Риманова метрика. Однако конформная структура римановой поверхности определяет класс метрик: все те, чья подчиненная конформная структура является данной. Более подробно: сложная структура римановой поверхности однозначно определяет метрику с точностью до конформная эквивалентность. (Две метрики называются конформно эквивалентными, если они отличаются умножением на положительный гладкая функция.) Наоборот, любая метрика на ориентированная поверхность однозначно определяет сложную структуру, которая зависит от метрики только с точностью до конформной эквивалентности. Таким образом, сложные структуры на ориентированной поверхности находятся во взаимно однозначном соответствии с конформными классами метрик на этой поверхности.

Внутри данного конформного класса можно использовать конформную симметрию, чтобы найти репрезентативную метрику с удобными свойствами. В частности, всегда есть полная метрика с постоянная кривизна в любом данном конформном классе.

В случае сферы Римана Теорема Гаусса – Бонне следует, что метрика постоянной кривизны должна иметь положительные кривизна K. Отсюда следует, что метрика должна быть изометрический в сферу радиуса 1/√K в р³ через стереографическую проекцию. в ζ-карта на сфере Римана, метрика с K = 1 дан кем-то

${ displaystyle ds ^ {2} = left ({ frac {2} {1+ | zeta | ^ {2}}} right) ^ {2} , | d zeta | ^ {2} = { frac {4} { left (1+ zeta { bar { zeta}} right) ^ {2}}} , d zeta , d { bar { zeta}}.}$

В реальных координатах ζ = ты + iv, формула

${ displaystyle ds ^ {2} = { frac {4} { left (1 + u ^ {2} + v ^ {2} right) ^ {2}}} left (du ^ {2} + dv ^ {2} right).}$

С точностью до постоянного множителя эта метрика соответствует стандарту. Метрика Фубини – Этюд на комплексном проективном пространстве (примером которого является сфера Римана).

До масштабирования это Только метрика на сфере, группа изометрий, сохраняющих ориентацию, трехмерна (и ни одна из них не является более чем трехмерной); эта группа называется ТАК (3). В этом смысле это самая симметричная метрика на сфере. (Группа всех изометрий, известная как О (3), также является трехмерным, но в отличие от SO (3) не является связным пространством.)

Наоборот, пусть S обозначим сферу (как абстрактное гладкий или же топологическое многообразие ). По теореме об униформизации существует единственная комплексная структура на S, с точностью до конформной эквивалентности. Отсюда следует, что любая метрика на S конформно эквивалентно круглая метрика. Все такие метрики определяют одну и ту же конформную геометрию. Таким образом, круглая метрика не свойственна сфере Римана, поскольку «округлость» не является инвариантом конформной геометрии. Сфера Римана - это всего лишь конформное многообразие, а не Риманово многообразие. Однако, если нужно создать риманову геометрию на сфере Римана, круглая метрика - естественный выбор (с любым фиксированным радиусом, хотя радиус = 1 - самый простой и наиболее распространенный выбор). Это потому, что только круглая метрика на сфере Римана имеет свою группу изометрий, являющуюся 3-мерной группой. (А именно, группа, известная как ТАК (3), непрерывная ("лиева") группа, топологически являющаяся трехмерной проективное пространство п³.)

Автоморфизмы

А Преобразование Мёбиуса действуя на сфере, а на плоскости - стереографическая проекция

Изучению любого математического объекта помогает понимание его группа автоморфизмов, имея в виду отображения объекта в себя, которые сохраняют существенную структуру объекта. В случае сферы Римана автоморфизм - это обратимое биголоморфное отображение сферы Римана в себя. Оказывается, единственными такими картами являются Преобразования Мебиуса. Это функции вида

${ Displaystyle е ( дзета) = { гидроразрыва {а дзета + Ь} {с дзета + д}},}$

куда а, б, c, и d такие комплексные числа, что объявление − до н.э ≠ 0. Примеры преобразований Мёбиуса включают расширение, вращения, переводы, и комплексная инверсия. Фактически, любое преобразование Мёбиуса может быть записано как их композиция.

Преобразования Мёбиуса: омографии на комплексной проективной прямой. В проективные координаты, преобразование ж можно написать

${ displaystyle [ zeta, 1] { begin {pmatrix} a & c b & d end {pmatrix}} = [a zeta + b, c zeta + d] = left [{ tfrac {a zeta + b} {c zeta + d}}, 1 right] = [f ( zeta), 1].}$

Таким образом, преобразования Мёбиуса можно описать как 2 × 2 комплексные матрицы с ненулевыми детерминант. Поскольку они действуют на проективные координаты, две матрицы дают одно и то же преобразование Мёбиуса тогда и только тогда, когда они отличаются ненулевым множителем. В группа преобразований Мёбиуса является проективная линейная группа PGL (2, C).

Если снабдить сферу Римана Метрика Фубини – Этюд, то не все преобразования Мёбиуса являются изометриями; например, расширений и переводов нет. Изометрии образуют собственную подгруппу в PGL (2, C), а именно БП (2). Эта подгруппа изоморфна группе группа вращения SO (3), которая представляет собой группу симметрий единичной сферы в р³ (которые, будучи ограничены сферой, становятся изометриями сферы).

Приложения

В комплексном анализе мероморфная функция на комплексной плоскости (или на любой римановой поверхности, если на то пошло) является отношением ж/грамм двух голоморфных функций ж и грамм. Как карта комплексных чисел, она не определена везде грамм равно нулю. Однако он индуцирует голоморфное отображение (ж, грамм) к сложной проективной прямой, которая хорошо определена даже там, где грамм = 0. Эта конструкция полезна при изучении голоморфных и мероморфных функций. Например, на компактной римановой поверхности нет непостоянных голоморфных отображений на комплексные числа, но голоморфных отображений на комплексную проективную прямую много.

Сфера Римана имеет множество применений в физике. В квантовой механике точки на комплексной проективной прямой являются естественными значениями для фотон поляризация состояния, вращение состояния массивный частицы спина 1/2, и частицы с двумя состояниями в целом (см. также Квантовый бит и Сфера Блоха ). Сфера Римана была предложена в качестве релятивистский модель для небесная сфера.^[3] В теория струн, то мировые таблицы струн являются римановыми поверхностями, и риманова сфера, будучи простейшей римановой поверхностью, играет важную роль. Это также важно в твисторная теория.

Смотрите также

• Конформная геометрия
• Перекрестное соотношение
• Dessin d'enfant
• Направленная бесконечность
• Набор хопфа
• Самолет Мебиуса
• Проективно расширенная действительная линия

Рекомендации

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Август 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В этой статье цитируется источники но не предоставляет ссылки на страницы. Вы можете помогите улучшить это путем введения более точных цитат. (Сентябрь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

• Браун, Джеймс и Черчилль, Руэль (1989). Комплексные переменные и приложения. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN  0-07-010905-2.
• Гриффитс, Филлип и Харрис, Джозеф (1978). Принципы алгебраической геометрии. Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-32792-1.
• Пенроуз, Роджер (2005). Дорога к реальности. Нью-Йорк: Кнопф. ISBN  0-679-45443-8.
• Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ. Нью-Йорк: Макгроу – Хилл. ISBN  0-07-100276-6.

внешняя ссылка

• "Сфера Римана", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Обнаружены преобразования Мебиуса, к Дуглас Н. Арнольд и Джонатан Рогнесс (видео двух профессоров Миннесотского университета, объясняющих и иллюстрирующих преобразования Мёбиуса с использованием стереографической проекции из сферы)