Мероморфная функция - Meromorphic function

В математической области комплексный анализ, а мероморфная функция на открытое подмножество D из комплексная плоскость это функция то есть голоморфный на всех D Кроме для набора изолированные точки, которые полюса функции.^[1] Термин происходит от Древнегреческий мерос (μέρος ), что означает «часть».^[а]

Каждая мероморфная функция на D можно выразить как отношение двух голоморфные функции (знаменатель не постоянный 0), определенный на D: любой полюс должен совпадать с нулем знаменателя.

В гамма-функция мероморфен во всей комплексной плоскости.

Эвристическое описание

Интуитивно мероморфная функция - это соотношение двух (голоморфных) функций с хорошим поведением. Такая функция по-прежнему будет вести себя хорошо, за исключением, возможно, точек, где знаменатель дроби равен нулю. Если знаменатель имеет ноль при z а числитель - нет, то значение функции будет стремиться к бесконечности; если обе части имеют ноль в z, то нужно сравнить множественность этих нулей.

С алгебраической точки зрения, если область определения функции связаны, то набор мероморфных функций есть поле дробей из область целостности множества голоморфных функций. Это аналогично соотношению между рациональное число и целые числа.

Предыдущее, альтернативное использование

И область исследования, в которой используется этот термин, и точное значение термина изменились в 20 веке. В 1930-е гг. В теория групп, а мероморфная функция (или же мероморф) была функцией из группы грамм в себя, что сохранило продукт в группе. Образ этой функции был назван автоморфизм из грамм.^[2] Аналогично гомоморфная функция (или же гомоморф) была функцией между группами, которые сохранили продукт, в то время как гомоморфизм был образом гомоморфа. Эта форма термина теперь устарела, и связанный с ней термин мероморф больше не используется в теории групп.

Период, термин эндоморфизм теперь используется для самой функции, без специального имени, присвоенного изображению функции.

Характеристики

Поскольку полюсы мероморфной функции изолированы, имеется не более счетно много.^[3] Набор полюсов может быть бесконечным, что иллюстрируется функцией

${ displaystyle f (z) = csc z = { frac {1} { sin z}}.}$

Используя аналитическое продолжение устранить устраняемые особенности, мероморфные функции можно складывать, вычитать, умножать, а частное ${ displaystyle f / g}$ может быть сформирован, если ${ displaystyle g (z) = 0}$ на связный компонент из D. Таким образом, если D связно, мероморфные функции образуют поле, на самом деле расширение поля из сложные числа.

Высшие измерения

В несколько сложных переменных, мероморфная функция определяется как локальное частное двух голоморфных функций. Например, ${ displaystyle f (z_ {1}, z_ {2}) = z_ {1} / z_ {2}}$ является мероморфной функцией на двумерном комплексном аффинном пространстве. Здесь уже неверно, что всякую мероморфную функцию можно рассматривать как голоморфную функцию со значениями в Сфера Римана: Есть набор "неопределенности" коразмерность два (в данном примере это множество состоит из исходных ${ displaystyle (0,0)}$).

В отличие от первого измерения, в более высоких измерениях действительно существуют компактные комплексные многообразия на которых нет непостоянных мероморфных функций, например, большинство комплексные торы.

Примеры

• Все рациональные функции,^[3] Например

${ displaystyle f (z) = { frac {z ^ {3} -2z + 10} {z ^ {5} + 3z-1}},}$

мероморфны на всей комплексной плоскости.

• Функции

${ displaystyle f (z) = { frac {e ^ {z}} {z}} quad { text {and}} quad f (z) = { frac { sin {z}} {( г-1) ^ {2}}}}$

так же хорошо как гамма-функция и Дзета-функция Римана мероморфны на всей комплексной плоскости.^[3]

• Функция

${ displaystyle f (z) = e ^ { frac {1} {z}}}$

определен во всей комплексной плоскости, за исключением начала координат 0. Однако 0 не является полюсом этой функции, а скорее существенная особенность. Таким образом, эта функция не является мероморфной во всей комплексной плоскости. Однако он мероморфен (даже голоморфен) на ${ Displaystyle mathbb {C} setminus {0 }}$.

• В комплексный логарифм функция

${ Displaystyle е (г) = пер (г)}$

не является мероморфным на всей комплексной плоскости, так как его нельзя определить на всей комплексной плоскости, исключая только набор изолированных точек.^[3]

• Функция

${ displaystyle f (z) = csc { frac {1} {z}} = { frac {1} { sin left ({ frac {1} {z}} right)}}}$

не мероморфна на всей плоскости, так как точка ${ displaystyle z = 0}$ является точка накопления полюсов и, следовательно, не является изолированной сингулярностью.^[3]

• Функция

${ displaystyle f (z) = sin { frac {1} {z}}}$

также не является мероморфным, так как имеет существенную особенность в 0.

На римановых поверхностях

На Риманова поверхность, каждая точка допускает открытую окрестность, которая биголоморфный к открытому подмножеству комплексной плоскости. Таким образом, понятие мероморфной функции может быть определено для любой римановой поверхности.

Когда D это весь Сфера Римана поле мероморфных функций - это просто поле рациональных функций от одной переменной над комплексным полем, поскольку можно доказать, что любая мероморфная функция на сфере рациональна. (Это частный случай так называемого ГАГА принцип.)

Для каждого Риманова поверхность, мероморфная функция - это то же самое, что и голоморфная функция, которая отображается в сферу Римана и не является постоянной ∞. Полюса соответствуют тем комплексным числам, которые отображаются в ∞.

На некомпактном Риманова поверхность, каждая мероморфная функция может быть реализована как частное двух (глобально определенных) голоморфных функций. Напротив, на компактной римановой поверхности каждая голоморфная функция постоянна, в то время как всегда существуют непостоянные мероморфные функции.

Мероморфные функции на эллиптическая кривая также известны как эллиптические функции.

Сноски

Рекомендации