Изолированная точка - Википедия - Isolated point

«0» - изолированная точка на A = {0} ∪ [1, 2]

В математика, а точка Икс называется изолированная точка подмножества S (в топологическое пространство Икс) если Икс является элементом S но существует район из Икс который не содержит других пунктов S. Это эквивалентно тому, что синглтон {Икс} - открытое множество в топологическом пространстве S (считается подпространство из Икс). Если пространство Икс это Евклидово пространство (или любой другой метрическое пространство ), тогда Икс изолированная точка S если существует открытый мяч вокруг Икс который не содержит других точек S. (Введя понятие последовательностей и пределов, можно эквивалентно сказать, что элемент Икс из S изолированная точка S если и только если это не предельная точка из S.)

Дискретный набор

Набор, состоящий только из изолированных точек, называется дискретный набор (смотрите также дискретное пространство ). Любое дискретное подмножество S евклидова пространства должно быть счетный, поскольку изолированность каждой из его точек вместе с тем, что рациональные находятся плотный в реалы означает, что точки S может быть отображен в набор точек с рациональными координатами, которых счетно много. Однако не каждое счетное множество дискретно, и рациональные числа в рамках обычной евклидовой метрики являются каноническим примером.

Множество без изолированной точки называется плотный в себе (каждая окрестность точки содержит другие точки множества). А закрытый набор без изолированной точки называется идеальный набор (он имеет все свои предельные точки, и ни одна из них не изолирована от него).

Количество изолированных точек равно топологический инвариант, т.е. если два топологические пространства ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ находятся гомеоморфный, количество изолированных точек в каждой равно.

Стандартные примеры

Топологические пространства в следующих примерах рассматриваются как подпространства из реальная линия со стандартной топологией.

• Для набора ${ Displaystyle S = {0 } чашка [1,2]}$, точка 0 - изолированная точка.
• Для набора ${ Displaystyle S = {0 } чашка {1,1 / 2,1 / 3, точки }}$, каждая из точек 1 / k является изолированной точкой, но 0 не является изолированной точкой, потому что есть другие точки в S как можно ближе к 0.
• Набор ${ Displaystyle { mathbb {N}} = {0,1,2, ldots }}$ из натуральные числа дискретное множество.
• В Лемма Морса утверждает, что невырожденные критические точки некоторых функций изолированы.

Противоинтуитивный пример

Рассмотрим множество ${ displaystyle F}$ очков ${ displaystyle x}$ в реальном интервале ${ displaystyle (0,1)}$ так что каждая цифра их двоичный представление ${ displaystyle x_ {i}}$ выполняет следующие условия:

• Либо ${ displaystyle x_ {i} = 0}$ или же ${ displaystyle x_ {i} = 1}$.
• ${ displaystyle x_ {i} = 1}$ только для конечного числа индексов ${ displaystyle i}$.
• Если ${ displaystyle m}$ обозначает самый большой индекс такой, что ${ displaystyle x_ {m} = 1}$, тогда ${ displaystyle x_ {m-1} = 0}$.
• Если ${ displaystyle x_ {i} = 1}$ и ${ Displaystyle я <м}$, то выполняется ровно одно из следующих двух условий: ${ displaystyle x_ {i-1} = 1}$, ${ displaystyle x_ {я + 1} = 1}$. Неформально это условие означает, что каждая цифра двоичного представления ${ displaystyle x}$ равный 1, принадлежит паре ... 0110 ..., за исключением ... 010 ... в самом конце.

Сейчас же, ${ displaystyle F}$ явный набор, состоящий целиком из изолированных точек^[1] который обладает контр-интуитивным свойством, что его закрытие является бесчисленное множество.^[2]

Другой набор ${ displaystyle F}$ с такими же свойствами можно получить следующим образом. Позволять ${ displaystyle C}$ быть в средней трети Кантор набор, позволять ${ displaystyle I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}, ldots}$ быть компонент интервалы ${ displaystyle [0,1] -C}$, и разреши ${ displaystyle F}$ набор, состоящий из одной точки от каждого ${ displaystyle I_ {k}}$. Поскольку каждый ${ displaystyle I_ {k}}$ содержит только одну точку из ${ displaystyle F}$, каждая точка ${ displaystyle F}$ - изолированная точка. Однако если ${ displaystyle p}$ любая точка множества Кантора, то каждая окрестность ${ displaystyle p}$ содержит как минимум один ${ displaystyle I_ {k}}$, а значит, хотя бы одна точка ${ displaystyle F}$. Отсюда следует, что каждая точка канторова множества лежит в замыкании ${ displaystyle F}$, и поэтому ${ displaystyle F}$ имеет бесчисленное количество закрытий.

Смотрите также

• Acnode
• Точка прикрепления
• Предельная точка

Рекомендации

• Гомес-Рамирес, Дэнни (2007), «Явный набор изолированных точек в R с несчетным замыканием», Matemáticas: Enseñanza Universitaria, Escuela Regional de Matemáticas. Университет Дель Валле, Колумбия, 15: 145–147

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Изолированная точка». MathWorld.