Идеальный набор - Perfect set

В общая топология, подмножество топологическое пространство является идеально если это закрыто и не имеет изолированные точки. Эквивалентно: набор ${displaystyle S}$ идеально, если ${displaystyle S = S '}$, куда ${displaystyle S '}$ обозначает множество всех предельные точки из ${displaystyle S}$, также известный как производный набор из ${displaystyle S}$.

В идеальном наборе каждую точку можно сколь угодно хорошо аппроксимировать другими точками из набора: для любой точки ${displaystyle S}$ и любой район из точки, есть еще одна точка ${displaystyle S}$ что находится по соседству. Более того, любая точка пространства, которую можно так аппроксимировать точками ${displaystyle S}$ принадлежит ${displaystyle S}$.

Обратите внимание, что термин идеальное пространство также несовместимо используется для обозначения других свойств топологического пространства, таких как грамм_δ Космос.

Примеры

Примеры совершенных подмножеств реальная линия ${displaystyle mathbb {R}}$ являются: пустой набор, все закрытые интервалы, сама реальная линия и Кантор набор. Последний примечателен тем, что он полностью отключен.

Связь с другими топологическими свойствами

Каждое топологическое пространство может быть записано уникальным образом как несвязное объединение совершенного множества и разбросанный набор.^[1][2]

Кантор доказал, что каждое замкнутое подмножество вещественной прямой можно однозначно записать как несвязное объединение совершенного множества и счетный набор. Это также верно в более общем случае для всех закрытых подмножеств Польские просторы, в этом случае теорема известна как Теорема Кантора – Бендиксона.

Кантор также показал, что каждое непустое совершенное подмножество действительной прямой имеет мощность ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}}}$, то мощность континуума. Эти результаты расширены в описательная теория множеств следующее:

• Если Икс это полное метрическое пространство без изолированных точек, то Канторовское пространство 2^ω возможно непрерывно встроен в Икс. Таким образом Икс имеет мощность не менее ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}}}$. Если Икс это отделяемый, полное метрическое пространство без изолированных точек, мощность Икс точно ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}}}$.
• Если Икс это локально компактный Пространство Хаусдорфа без изолированных точек существует инъективная функция (не обязательно непрерывный) из пространства Кантора в Икс, и так Икс имеет мощность не менее ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}}}$.

Смотрите также

• Плотный в себе
• Свойство конечного пересечения
• Топология подпространства

Примечания

Рекомендации

• Энгелькинг, Рышард, Общая топология, Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN  3-88538-006-4
• Кехрис, А.С. (1995), Классическая описательная теория множеств, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  3540943749
• Леви, А. (1979), Основная теория множеств, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• отредактированный Эллиоттом Перлом. (2007), Перл, Эллиот (ред.), Открытые проблемы в топологии. II, Эльзевир, ISBN  978-0-444-52208-5, МИСТЕР  2367385CS1 maint: дополнительный текст: список авторов (связь)