Теория описательных множеств - Descriptive set theory

В математическая логика, описательная теория множеств (Летнее время) является изучение определенных классов "хорошо воспитанный " подмножества из реальная линия и другие Польские просторы. Помимо того, что это одна из основных областей исследований в теория множеств, у него есть приложения к другим областям математики, таким как функциональный анализ, эргодическая теория, изучение операторные алгебры и групповые действия, и математическая логика.

Польские просторы

Теория описательных множеств начинается с изучения польских пространств и их Наборы Бореля.

А Польское пространство это счетный топологическое пространство это метризуемый с полная метрика. Эвристически это полное разделимое метрическое пространство чья метрика была «забыта». Примеры включают реальная линия ${ Displaystyle mathbb {R}}$ , то Пространство Бэра ${ Displaystyle { mathcal {N}}}$ , то Канторовское пространство ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ , а Куб Гильберта ${ Displaystyle I ^ { mathbb {N}}}$ .

Свойства универсальности

Класс польских пространств обладает несколькими свойствами универсальности, которые показывают, что при рассмотрении польских пространств некоторых ограниченных форм нет потери общности.

Каждое польское пространство - это гомеоморфный к г_δ подпространство из Куб Гильберта, и каждый г_δ подпространство гильбертова куба польское.
Каждое польское пространство получается как непрерывный образ пространства Бэра; на самом деле каждое польское пространство - это образ непрерывной биекции, определенной на замкнутом подмножестве пространства Бэра. Точно так же любое компактное польское пространство является непрерывным образом канторовского пространства.

Благодаря этим свойствам универсальности и потому, что пространство Бэра ${ Displaystyle { mathcal {N}}}$ имеет то удобное свойство, что гомеоморфный к ${ displaystyle { mathcal {N}} ^ { omega}}$ , многие результаты в описательной теории множеств доказываются только в контексте пространства Бэра.

Наборы Бореля

Класс Наборы Бореля топологического пространства Икс состоит из всех наборов в наименьшем σ-алгебра содержащий открытые наборы Икс. Это означает, что борелевские множества Икс являются наименьшим набором таких наборов, что:

Каждое открытое подмножество Икс - борелевское множество.
Если А борелевское множество, ${ Displaystyle X setminus A}$ . То есть класс борелевских множеств замкнут относительно дополняемости.
Если А_п является борелевским множеством для каждого натурального числа п, то союз ${ displaystyle bigcup A_ {n}}$ - борелевское множество. То есть борелевские множества замкнуты относительно счетных объединений.

Фундаментальный результат показывает, что любые два несчетных польских пространства Икс и Y находятся Борелевский изоморфный: есть биекция от Икс к Y такой, что прообраз любого борелевского множества является борелевским, а образ любого борелевского множества - борелевским. Это дает дополнительное оправдание практике ограничения внимания пространством Бэра и пространством Кантора, поскольку эти и любые другие польские пространства изоморфны на уровне борелевских множеств.

Борелевская иерархия

Каждый борелевский набор польского пространства классифицируется в Борелевская иерархия в зависимости от того, сколько раз операции счетного объединения и дополнения должны использоваться для получения набора, начиная с открытых наборов. Классификация с точки зрения счетный порядковые номера. Для каждого ненулевого счетного ординала α есть классы ${ Displaystyle mathbf { Sigma} _ { alpha} ^ {0}}$ , ${ Displaystyle mathbf { Pi} _ { alpha} ^ {0}}$ , и ${ displaystyle mathbf { Delta} _ { alpha} ^ {0}}$ .

Каждый открытый набор объявляется ${ Displaystyle mathbf { Sigma} _ {1} ^ {0}}$ .
Набор объявлен ${ Displaystyle mathbf { Pi} _ { alpha} ^ {0}}$ тогда и только тогда, когда его дополнение ${ Displaystyle mathbf { Sigma} _ { alpha} ^ {0}}$ .
Множество А объявлен ${ Displaystyle mathbf { Sigma} _ { delta} ^ {0}}$ , δ > 1, если существует последовательность ⟨ А_я ⟩ Множеств, каждое из которых ${ Displaystyle mathbf { Pi} _ { lambda (я)} ^ {0}}$ для некоторых λ(я) < δ, так что ${ displaystyle A = bigcup A_ {i}}$ .
Набор есть ${ displaystyle mathbf { Delta} _ { alpha} ^ {0}}$ если и только если это оба ${ Displaystyle mathbf { Sigma} _ { alpha} ^ {0}}$ и ${ Displaystyle mathbf { Pi} _ { alpha} ^ {0}}$ .

Теорема показывает, что любое множество ${ Displaystyle mathbf { Sigma} _ { alpha} ^ {0}}$ или ${ Displaystyle mathbf { Pi} _ { alpha} ^ {0}}$ является ${ displaystyle mathbf { Delta} _ { alpha +1} ^ {0}}$ , и любые ${ displaystyle mathbf { Delta} _ { beta} ^ {0}}$ набор оба ${ Displaystyle mathbf { Sigma} _ { alpha} ^ {0}}$ и ${ Displaystyle mathbf { Pi} _ { alpha} ^ {0}}$ для всех α > β. Таким образом, иерархия имеет следующую структуру, где стрелки указывают включение.

${ displaystyle { begin {matrix} && mathbf { Sigma} _ {1} ^ {0} &&&& mathbf { Sigma} _ {2} ^ {0} && cdots & nearrow && searchrow && nearrow mathbf { Delta} _ {1} ^ {0} &&&& mathbf { Delta} _ {2} ^ {0} &&&& cdots & searchrow && nearrow && searchrow && mathbf { Pi} _ {1} ^ {0} &&&& mathbf { Pi} _ {2} ^ {0} && cdots end {matrix}} { begin {matrix} && mathbf { Sigma} _ { alpha} ^ {0} &&& cdots & nearrow && searchrow quad mathbf { Delta} _ { alpha} ^ {0} &&&& mathbf { Delta} _ { alpha +1} ^ {0} & cdots & searchrow && nearrow && mathbf { Pi} _ { alpha} ^ {0} &&& cdots end {matrix}}}$

Свойства регулярности борелевских множеств

Классическая описательная теория множеств включает изучение свойств регулярности борелевских множеств. Например, все борелевские множества польского пространства имеют собственность Бэра и идеальный набор собственности. Современная дескриптивная теория множеств включает в себя изучение способов, которыми эти результаты обобщают или не могут обобщить другие классы подмножеств польских пространств.

Аналитические и коаналитические наборы

Сразу за борелевскими множествами по сложности находятся аналитические наборы и коаналитические множества. Подмножество польского пространства Икс является аналитический если это непрерывный образ борелевского подмножества какого-то другого польского пространства. Хотя любой непрерывный прообраз борелевского множества является борелевским, не все аналитические множества являются борелевскими. Набор есть коаналитический если его дополнение аналитическое.

Проективные множества и степени Вэджа

Многие вопросы в описательной теории множеств в конечном итоге зависят от теоретико-множественный соображения и свойства порядковый и Количественные числительные. Это явление особенно заметно в проективные множества. Они определяются через проективная иерархия на польском пространстве Икс:

Набор объявлен ${ Displaystyle mathbf { Sigma} _ {1} ^ {1}}$ если он аналитический.
Набор есть ${ Displaystyle mathbf { Pi} _ {1} ^ {1}}$ если он коаналитический.
Множество А является ${ Displaystyle mathbf { Sigma} _ {п + 1} ^ {1}}$ если есть ${ Displaystyle mathbf { Pi} _ {п} ^ {1}}$ подмножество B из ${ Displaystyle X раз X}$ такой, что А это проекция B к первой координате.
Множество А является ${ Displaystyle mathbf { Pi} _ {п + 1} ^ {1}}$ если есть ${ Displaystyle mathbf { Sigma} _ {п} ^ {1}}$ подмножество B из ${ Displaystyle X раз X}$ такой, что А это проекция B к первой координате.
Набор есть ${ Displaystyle mathbf { Delta} _ {п} ^ {1}}$ если это оба ${ Displaystyle mathbf { Pi} _ {п} ^ {1}}$ и ${ Displaystyle mathbf { Sigma} _ {п} ^ {1}}$ .

Как и в случае с иерархией Бореля, для каждого п, Любые ${ Displaystyle mathbf { Delta} _ {п} ^ {1}}$ набор оба ${ Displaystyle mathbf { Sigma} _ {п + 1} ^ {1}}$ и ${ displaystyle mathbf { Pi} _ {n + 1} ^ {1}.}$

Свойства проективных множеств полностью не определяются ZFC. При предположении V = L, не все проективные множества обладают свойством совершенного множества или свойством Бэра. Однако в предположении проективная детерминированность, все проективные множества обладают как свойством совершенного множества, так и свойством Бэра. Это связано с тем, что ZFC доказывает Борелевская определенность, но не проективная детерминированность.

В более общем смысле, вся коллекция наборов элементов польского пространства Икс можно сгруппировать в классы эквивалентности, известные как Wadge степени, обобщающие проективную иерархию. Эти степени заказываются в Иерархия Wadge. В аксиома детерминированности подразумевает, что иерархия Wadge на любом польском пространстве является хорошо обоснованной и длительной Θ, со структурой, расширяющей проективную иерархию.

Борелевские отношения эквивалентности

Современное направление исследований в области описательной теории множеств Борелевские отношения эквивалентности. А Борелевское отношение эквивалентности на польском пространстве Икс является борелевским подмножеством ${ Displaystyle X раз X}$ это отношение эквивалентности на Икс.

Эффективная дескриптивная теория множеств

Площадь эффективная дескриптивная теория множеств сочетает в себе методы дескриптивной теории множеств с методами обобщенная теория рекурсии (особенно гиперарифметическая теория ). В частности, основное внимание уделяется Lightface аналоги иерархий классической дескриптивной теории множеств. Таким образом гиперарифметическая иерархия исследуется вместо иерархии Бореля, а аналитическая иерархия вместо проективной иерархии. Это исследование связано с более слабыми версиями теории множеств, такими как Теория множеств Крипке – Платека. и арифметика второго порядка.

Таблица

Lightface		Жирный шрифт
Σ⁰ ₀ = Π⁰ ₀ = Δ⁰ ₀ (иногда то же самое, что Δ⁰ ₁)		Σ⁰ ₀ = Π⁰ ₀ = Δ⁰ ₀ (если определено)
Δ⁰ ₁ = рекурсивный		Δ⁰ ₁ = прищемить
Σ⁰ ₁ = рекурсивно перечислимый	Π⁰ ₁ = ко-рекурсивно перечислимый	Σ⁰ ₁ = г = открыто	Π⁰ ₁ = F = закрыто
Δ⁰ ₂		Δ⁰ ₂
Σ⁰ ₂	Π⁰ ₂	Σ⁰ ₂ = F_σ	Π⁰ ₂ = г_δ
Δ⁰ ₃		Δ⁰ ₃
Σ⁰ ₃	Π⁰ ₃	Σ⁰ ₃ = г_δσ	Π⁰ ₃ = F_σδ
⋮		⋮
Σ⁰ _<ω = Π⁰ _<ω = Δ⁰ _<ω = Σ¹ ₀ = Π¹ ₀ = Δ¹ ₀ = арифметический		Σ⁰ _<ω = Π⁰ _<ω = Δ⁰ _<ω = Σ¹ ₀ = Π¹ ₀ = Δ¹ ₀ = жирный арифметический
⋮		⋮
Δ⁰ _α (α рекурсивный )		Δ⁰ _α (α счетный )
Σ⁰ _α	Π⁰ _α	Σ⁰ _α	Π⁰ _α
⋮		⋮
Σ⁰ _ω^СК ₁ = Π⁰ _ω^СК ₁ = Δ⁰ _ω^СК ₁ = Δ¹ ₁ = гиперарифметический		Σ⁰ _ω₁ = Π⁰ _ω₁ = Δ⁰ _ω₁ = Δ¹ ₁ = B = Борель
Σ¹ ₁ = лайтфейс аналитический	Π¹ ₁ = световой коаналитический	Σ¹ ₁ = А = аналитический	Π¹ ₁ = CA = коаналитический
Δ¹ ₂		Δ¹ ₂
Σ¹ ₂	Π¹ ₂	Σ¹ ₂ = PCA	Π¹ ₂ = CPCA
Δ¹ ₃		Δ¹ ₃
Σ¹ ₃	Π¹ ₃	Σ¹ ₃ = PCPCA	Π¹ ₃ = CPCPCA
⋮		⋮
Σ¹ _<ω = Π¹ _<ω = Δ¹ _<ω = Σ² ₀ = Π² ₀ = Δ² ₀ = аналитический		Σ¹ _<ω = Π¹ _<ω = Δ¹ _<ω = Σ² ₀ = Π² ₀ = Δ² ₀ = п = проективный
⋮		⋮

Смотрите также

использованная литература

Кечрис, Александр С. (1994). Классическая описательная теория множеств. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94374-9.
Мощовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств. Северная Голландия. п. 2. ISBN 0-444-70199-0.

внешняя ссылка

Теория описательных множеств, Дэвид Маркер, 2002. Конспект лекций.