Теория множеств Крипке – Платека. - Kripke–Platek set theory

В Теория множеств Крипке – Платека. (КП), произносится /ˈkрɪпkяˈплɑːтɛk/, является аксиоматическая теория множеств разработан Саул Крипке и Ричард Платек.

КП значительно слабее, чем Теория множеств Цермело – Френкеля (ZFC) и может рассматриваться как примерно предикативный часть ZFC. В постоянство прочности КП с аксиома бесконечности дается Порядковый номер Бахмана – Ховарда. В отличие от ZFC, КП не включает аксиома набора мощности, а КП включает только ограниченные формы аксиома разделения и аксиома замены от ZFC. Эти ограничения на аксиомы КП приводят к тесной связи между КП, обобщенная теория рекурсии, и теория допустимые порядковые номера.

Аксиомы КП

  • Аксиома протяженности: Два набора одинаковы тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые элементы.
  • Аксиома индукции: φ (а) быть формула, если для всех наборов Икс предположение, что φ (у) выполняется для всех элементов у из Икс следует, что φ (Икс), то φ (Икс) выполняется для всех множеств Икс.
  • Аксиома пустого множества: Существует набор без членов, который называется пустой набор и обозначается {}. (Примечание: существование члена во вселенной дискурса, то есть ∃x (x = x), подразумевается в некоторых формулировках[1] из логика первого порядка, в этом случае аксиома пустого множества следует из аксиомы Σ0-разделение и, следовательно, является избыточным.)
  • Аксиома спаривания: Если Икс, у - множества, то и {Икс, у}, набор, содержащий Икс и у как его единственные элементы.
  • Аксиома союза: Для любого набора Икс, есть набор у такие, что элементы у являются именно элементами элементов Икс.
  • Аксиома Σ0-разделение: Для любого множества и любого Σ0-формула φ (Икс), Существует подмножество исходного набора, содержащего именно эти элементы Икс для которого φ (Икс) имеет место. (Это схема аксиомы.)
  • Аксиома Σ0-коллекция: Для любого Σ0-формула φ (Икс, у), если для каждого набора Икс существует уникальный набор у такое, что φ (Икс, у) выполняется, то для всех множеств ты существует набор v так что для каждого Икс в ты Существует у в v такое, что φ (Икс, у) имеет место.

Здесь Σ0, или Π0, или Δ0 формула - это такая, все кванторы которой ограниченный. Это означает, что любая количественная оценка - это форма или же (В более общем плане мы бы сказали, что формула Σп+1 когда он получается добавлением кванторов существования перед Πп формула, и что это Πп+1 когда он получается добавлением универсальных кванторов перед Σп формула: это связано с арифметическая иерархия но в контексте теории множеств.)

  • Некоторые, но не все авторы включают аксиома бесконечности (в этом случае аксиома пустого множества не нужна, поскольку ее существование можно доказать с помощью разделения).

Эти аксиомы более слабые, чем ZFC, поскольку они исключают аксиомы мощности, выбора и иногда бесконечности. Также аксиомы разделения и сбора здесь слабее, чем соответствующие аксиомы в ZFC, потому что формулы φ, используемые в них, ограничены только ограниченными кванторами.

Аксиома индукции в контексте КП сильнее обычного аксиома регулярности, что сводится к применению индукции к дополнению набора (классу всех множеств, не входящих в данный набор). Не применяя Регулярность или Аксиома выбора, КП можно изучать как конструктивная теория множеств отбросив закон исключенного среднего, не меняя никаких аксиом.

Доказательство существования декартовых произведений

Теорема:

Если А и B являются множествами, то есть множество А×B который состоит из всех заказанные пары (а, б) элементов а из А и б из B.

Доказательство:

Набор {а} (то же самое, что и {а, а} по аксиоме протяженности) и множество {а, б} оба существуют по аксиоме спаривания. Таким образом

существует и по аксиоме спаривания.

Возможный Δ0 формула, выражающая это п означает (а, б) является:

Таким образом, надмножество А×{б} = {(а, б) | а в А} существует по аксиоме коллекции.

Обозначим формулу для п выше . Тогда следующая формула также Δ0

Таким образом А×{б} сам существует по аксиоме разделения.

Если v предназначен для обозначения А×{б}, то a Δ0 формула, выражающая это:

Таким образом, надмножество {А×{б} | б в B} существует по аксиоме коллекции.

Положив перед последней формулой, и из аксиомы разделения получаем, что множество {А×{б} | б в B} сам существует.

Ну наконец то, А×B = {А×{б} | б в B} существует по аксиоме объединения.

QED

Допустимые множества

Множество называется допустимый если это переходный и это модель теории множеств Крипке – Платека.

An порядковый номер α называется допустимый порядковый номер если Lα допустимое множество.

Порядковый α является допустимым ординалом тогда и только тогда, когда α это предельный порядковый номер и не существует γ < α для которого существует Σ1(Lα) отображение из γ на α. Если M стандартная модель КП, то множество ординалов в M допустимый ординал.

Если Lα стандартная модель теории множеств КП без аксиомы Σ0-коллекция, тогда это называется "послушный набор".

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Poizat, Бруно (2000). Курс теории моделей: введение в современную математическую логику. Springer. ISBN  0-387-98655-3.обратите внимание в конце §2.3 на стр. 27: «Те, кто не допускает отношений в пустой вселенной, рассматривают (∃x) x = x и его последствия как тезисы; мы, однако, не разделяем этого отвращения к пустоте, не имеющего логических оснований ».

Библиография