Аксиоматическая система - Axiomatic system

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Март 2013 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, аксиоматическая система есть ли набор из аксиомы из которого можно использовать некоторые или все аксиомы в сочетании с логически выводить теоремы. А теория это последовательный, относительно замкнутая совокупность знаний, которая обычно содержит аксиоматическую систему и все ее производные теоремы.^[1] Полностью описанная аксиоматическая система представляет собой особый вид формальная система. Формальная теория - это аксиоматическая система (обычно формулируемая в теория моделей ), который описывает набор предложений, закрытый с точки зрения логической импликации.^[2] А формальное доказательство является полным воспроизведением математическое доказательство внутри формальной системы.

Характеристики

Аксиоматическая система называется последовательный если не хватает противоречие. То есть невозможно вывести как утверждение, так и его опровержение из аксиом системы. Непротиворечивость - ключевое требование для большинства аксиоматических систем, поскольку наличие противоречия позволит доказать любое утверждение (принцип взрыва ).

В аксиоматической системе аксиома называется независимый если это не теорема, которую можно вывести из других аксиом системы. Система называется независимой, если каждая из лежащих в ее основе аксиом независима. В отличие от согласованности, независимость не является обязательным требованием для функционирующей аксиоматической системы, хотя обычно ее стремятся минимизировать количество аксиом в системе.

Аксиоматическая система называется полный если для каждого утверждения либо само это утверждение, либо его отрицание выводятся из аксиом системы (эквивалент, каждое утверждение может быть доказано как истинное или ложное).^[3]

Относительная согласованность

Помимо согласованности, относительная согласованность также является признаком полезной системы аксиом. Это описывает сценарий, в котором неопределенные термины первой системы аксиом предоставляются определениями из второй, так что аксиомы первой системы являются теоремами второй.

Хороший пример - относительная последовательность абсолютная геометрия в отношении теории действительной системы счисления. Линии и точки являются неопределенными терминами в абсолютной геометрии, но им присваиваются значения в теории действительных чисел таким образом, который согласуется с обеими системами аксиом.^{[нужна цитата ]}

Модели

А модель для аксиоматической системы является четко определенным набор, который присваивает значение неопределенным терминам, представленным в системе, в соответствии с отношениями, определенными в системе. Существование конкретная модель доказывает последовательность системы^{[оспаривается – обсудить]}. Модель называется конкретный если присвоенные значения являются объектами и отношениями из реального мира^{[требуется разъяснение ]}, в отличие от абстрактная модель который основан на других аксиоматических системах.

Модели также можно использовать для демонстрации независимости аксиомы в системе. Построив допустимую модель подсистемы без конкретной аксиомы, мы показываем, что опущенная аксиома независима, если ее правильность не обязательно следует из подсистемы.

Говорят, что две модели изоморфный если между их элементами может быть найдено взаимно однозначное соответствие таким образом, чтобы сохранялась их связь.^[4] Аксиоматическая система, для которой каждая модель изоморфна другой, называется категориальный (иногда категоричный). Свойство категоричности (категоричность) обеспечивает полноту системы, однако обратное неверно: полнота не гарантирует категоричность (категоричность) системы, поскольку две модели могут различаться по свойствам, которые не могут быть выражены семантика системы.

пример

В качестве примера рассмотрим следующую аксиоматическую систему, основанную на логика первого порядка с дополнительной семантикой следующих счетно бесконечный добавлены аксиомы (их легко формализовать как схема аксиомы ):

${ Displaystyle существует x_ {1}: существует x_ {2}: lnot (x_ {1} = x_ {2})}$ (неформально существуют два разных предмета).

${ displaystyle exists x_ {1}: exists x_ {2}: exists x_ {3}: lnot (x_ {1} = x_ {2}) land lnot (x_ {1} = x_ {3 }) земля lnot (x_ {2} = x_ {3})}$ (неформально существует три разных предмета).

Неформально этот бесконечный набор аксиом утверждает, что существует бесконечно много различных элементов. Однако концепция бесконечный набор не могут быть определены в системе - не говоря уже о мощность таких как набор.

Система имеет по крайней мере две разные модели: одна - натуральные числа (изоморфные любому другому счетно бесконечному множеству), другая - действительные числа (изоморфные любому другому множеству с мощность континуума ). Фактически, у него есть бесконечное количество моделей, по одной на каждую мощность бесконечного множества. Однако отличительной чертой этих моделей является их мощность - свойство, которое нельзя определить в рамках системы. Таким образом, система не категориальна. Однако можно показать, что он завершен.

Аксиоматический метод

Формулирование определений и утверждений таким образом, чтобы каждый новый термин мог быть формально исключен ранее введенными терминами, требует примитивных понятий (аксиом), чтобы избежать бесконечный регресс. Такой способ заниматься математикой называется аксиоматический метод.^[5]

Общее отношение к аксиоматическому методу таково: логицизм. В их книге Principia Mathematica, Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел пытался показать, что вся математическая теория может быть сведена к некоторому набору аксиом. В более общем плане сведение совокупности предложений к определенному набору аксиом лежит в основе исследовательской программы математика. Это было очень заметно в математике двадцатого века, особенно в предметах, основанных на гомологическая алгебра.

Объяснение конкретных аксиом, используемых в теории, может помочь прояснить подходящий уровень абстракции, с которым математик хотел бы работать. Например, математики решили, что кольца не должно быть коммутативный, который отличался от Эмми Нётер оригинальная формулировка. Математики решили рассмотреть топологические пространства в целом без аксиома разделения который Феликс Хаусдорф изначально сформулирован.

В Аксиомы Цермело-Френкеля, результат применения аксиоматического метода к теории множеств, позволил «правильную» формулировку проблем теории множеств и помог избежать парадоксов теории множеств. наивная теория множеств. Одной из таких проблем была Гипотеза континуума. Теория множеств Цермело – Френкеля с исторически противоречивой аксиома выбора включен, обычно сокращается ZFC, где C означает выбор. Многие авторы используют ZF сослаться на аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля с исключенной аксиомой выбора.^[6] Сегодня ZFC - это стандартная форма аксиоматическая теория множеств и как таковой является наиболее распространенным основа математики.

История

Математические методы до некоторой степени развились в Древнем Египте, Вавилоне, Индии и Китае, по-видимому, без применения аксиоматического метода.

Евклид из Александрия является автором самого раннего из сохранившихся аксиоматических представлений о Евклидова геометрия и теория чисел.^[7] Многие аксиоматические системы были разработаны в девятнадцатом веке, в том числе неевклидова геометрия, основы реальный анализ, Кантор с теория множеств, Фреге работа над фондами, и Гильберта «Новое» использование аксиоматического метода как инструмента исследования. Например, теория групп была впервые поставлена ​​на аксиоматическую основу в конце того же века. Как только аксиомы были прояснены (что обратные элементы необходимо, например), субъект может действовать автономно, без ссылки на группа трансформации истоки этих исследований.

вопросы

Не каждый непротиворечивый корпус предложений может быть описан набором аксиом. В теории рекурсии набор аксиом называется рекурсивный если компьютерная программа может распознать, является ли данное предложение на языке теоремой. Первая теорема Гёделя о неполноте затем говорит нам, что существуют определенные непротиворечивые тела предложений без рекурсивной аксиоматизации. Обычно компьютер может распознать аксиомы и логические правила для вывода теорем, и компьютер может распознать, действительно ли доказательство, но определить, существует ли доказательство для утверждения, разрешимо, только «ожидая» доказательства или опровержения. генерируется. В результате вы не будете знать, какие утверждения являются теоремами, и аксиоматический метод сломается. Примером такой совокупности предложений является теория натуральные числа, который лишь частично аксиоматизируется аксиомами Пеано (описанными ниже).

На практике не все доказательства восходят к аксиомам. Иногда даже неясно, к какому набору аксиом обращается доказательство. Например, теоретико-числовое утверждение может быть выражено на языке арифметики (то есть на языке аксиом Пеано), и может быть дано доказательство, которое обращается к топология или комплексный анализ. Возможно, не сразу станет ясно, можно ли найти другое доказательство, основанное исключительно на аксиомах Пеано.

Любая более или менее произвольно выбранная система аксиом является основой некоторой математической теории, но такая произвольная аксиоматическая система не обязательно будет свободна от противоречий, и даже если это так, она вряд ли прольет свет на что-либо. Философы математики иногда утверждают, что математики выбирают аксиомы «произвольно», но не исключено, что, хотя они могут показаться произвольными, если рассматривать их только с точки зрения канонов дедуктивной логики, такое появление связано с ограничением целей, которые дедуктивная логика логика служит.

Пример: аксиоматизация натуральных чисел Пеано

Математическая система натуральные числа 0, 1, 2, 3, 4, ... основан на аксиоматической системе, впервые изобретенной математиком Джузеппе Пеано в 1889 году. Он выбрал аксиомы на языке единственного унарного функционального символа S (Короче для "преемник "), чтобы набор натуральных чисел был:

• Есть натуральное число 0.
• Каждое натуральное число а имеет преемника, обозначенного Сб.
• Не существует натурального числа, следующий за 0.
• У различных натуральных чисел есть разные последователи: если а ≠ б, тогда Сб ≠ Sb.
• Если свойством обладает 0, а также наследник каждого натурального числа, которым он обладает, то им обладают все натуральные числа ("Аксиома индукции ").

Аксиоматизация

В математика, аксиоматизация это процесс взятия совокупности знаний и работы в обратном направлении к его аксиомам.^[8] Это формулировка системы утверждений (т.е. аксиомы ), которые связаны с рядом примитивных терминов - для того, чтобы последовательный тело предложения может быть получен дедуктивно из этих заявлений. После этого доказательство В принципе, любое суждение должно восходить к этим аксиомам.

Смотрите также

• Список логических систем
• Схема аксиомы
• Формализм
• Теорема Гёделя о неполноте
• Система дедукции в стиле Гильберта
• Логика
• Теория множеств Цермело – Френкеля, аксиоматическая система теории множеств и самая распространенная на сегодняшний день основа математики.

Рекомендации

• «Аксиоматический метод», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Эрик В. Вайсштейн, Аксиоматическая система, Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. Mathworld.wolfram.com & Answers.com