Финитарное отношение - Finitary relation

В математика, а финитарное отношение над наборами Икс1, …, Иксп является подмножеством Декартово произведение Икс1 × … × Иксп; то есть это набор п- пары (Икс1, …, Иксп) состоящий из элементов Икся в Икся.[1][2][3][4] Обычно отношение описывает возможную связь между элементами п-пара. Например, отношение "Икс делится на у и z"состоит из набора из трех кортежей, при замене на Икс, у и z, соответственно, сделайте предложение истинным.

Неотрицательное целое число п указание количества "мест" в отношении называется арность, привязанность или же степень отношения. Отношения с п "места" по-разному называют п-арное отношение, п-адическое отношение или отношение степени п. Отношения с конечным числом мест называются финансовые отношения (или просто связи если контекст понятен). Также можно обобщить концепцию на бесконечные отношения с бесконечные последовательности.[5]

An п-арное отношение над множествами Икс1, …, Иксп является элементом набор мощности из Икс1 × … × Иксп.

Нулевые отношения учитывают только два члена: тот, который всегда выполняется, и тот, который никогда не выполняется. Это потому, что есть только один 0-кортеж, пустой кортеж (). Иногда они полезны для построения базового случая индукция аргумент.

Унарные отношения можно рассматривать как набор членов (например, набор Нобелевские лауреаты ) обладание некоторой собственностью (например, обладание Нобелевская премия ).

Бинарные отношения являются наиболее часто изучаемой формой финансовых отношений. Когда Икс1 = Икс2 это называется однородное отношение, Например:

  • Равенство и неравенство, обозначается такими знаками, как = и <в таких утверждениях, как "5 < 12", или же
  • Делимость, обозначаемый знаком | в таких выражениях, как "13 | 143".

В противном случае это гетерогенное отношение, Например:

Пример

Рассмотрим тернарное отношение р "Икс считает, что у нравится z"над множеством людей п = {Алиса, Боб, Чарльз, Дениз}, определяется:

р = {(Алиса, Боб, Дениз), (Чарльз, Алиса, Боб), (Чарльз, Чарльз, Алиса), (Дениз, Дениз, Дениз)}.

р может быть представлено эквивалентно следующей таблицей:

Связь р "Икс считает, что у нравится z"
ппп
АлисаБобДениз
ЧарльзАлисаБоб
ЧарльзЧарльзАлиса
ДенизДенизДениз

Здесь каждая строка представляет собой тройку р, то есть делает заявление в форме "Икс считает, что у нравится z". Например, в первой строке указано, что« Алиса думает, что Боб любит Дениз ». Все строки различны. Порядок строк не важен, но порядок столбцов имеет значение.[1]

Приведенная выше таблица также является простым примером реляционная база данных, область с теорией, уходящей корнями в реляционная алгебра и приложения в управлении данными.[6] Однако компьютерные ученые, логики и математики склонны придерживаться разных представлений о том, что такое общее отношение и из чего оно состоит. Например, базы данных предназначены для работы с эмпирическими данными, которые по определению являются конечными, тогда как в математике также рассматриваются отношения с бесконечной арностью (то есть бесконечные отношения).

Определения

Когда два объекта, качества, класса или атрибута, рассматриваемые умом вместе, видятся в некоторой связи, эта связь называется отношением.

— Огастес Де Морган[7]

Первое определение отношений, встречающееся в математике:

Определение 1. - An п-ари связь р над наборами Икс1, …, Иксп является подмножеством декартова произведения Икс1 × … × Иксп.[1]

Во втором определении отношений используется идиома, распространенная в математике, где говорится, что «такой-то и такой-то есть п-набор ", чтобы гарантировать, что такой-то математический объект определяется спецификацией математических объектов с п элементы. В случае отношения р над п наборы, есть п + 1 необходимо указать, а именно п множества плюс подмножество их декартова произведения. На идиоме это выражается следующим образом: р это (п + 1) -комплект.

Определение 2. - An п-ари связь р над наборами Икс1, …, Иксп является (п + 1) -часть (Икс1, …, Иксп, грамм) куда грамм является подмножеством декартова произведения Икс1 × … × Иксп называется график из р.

Как правило, для этой цели будет выбрано любое определение, наиболее подходящее для данного приложения, и если когда-либо возникнет необходимость различать два определения, то объект, удовлетворяющий второму определению, можно назвать встроенный или же включено отношение.

Оба заявления (Икс1, …, Иксп) в р (по первому определению) и (Икс1, …, Иксп) в грамм (под вторым определением) читать "Икс1, …, Иксп находятся р-связанные "и обозначаются с помощью префиксная запись к Rx1…Иксп и используя постфиксная запись к Икс1…Икспр. В случае, когда р является бинарным отношением, эти операторы также обозначаются с помощью инфиксная запись к Икс1Rx2.

Следующие соображения применимы к любому определению:

  • Набор Икся называется яth домен из р.[1] Согласно первому определению, отношение не определяет однозначно заданную последовательность доменов. В случае, когда р это бинарное отношение, Икс1 также называется просто домен или же набор отправления из р, и Икс2 также называется codomain или же набор пунктов назначения из р.
  • Когда элементы Икся отношения, Икся называется непростой домен из р.[1]
  • Набор всех Икся в Икся для которого существует (Икс1, …, Икся − 1, Икся + 1, …, Иксп) в Икс1 × … × Икся − 1 × Икся + 1 × … × Иксп такой, что Rx1…Икся − 1ИксяИкся + 1…Иксп называется яth область определения или же активный домен из р.[1] В случае, когда р является бинарным отношением, его первая область определения также называется просто область определения или же активный домен из р, и его вторая область определения также называется кодомен определения или же активный кодомен из р.
  • Когда яй домен определения р равно Икся, р как говорят общий на Икся. В случае, когда р является бинарным отношением, когда р всего на Икс1, также говорят, что это левый итог или же серийный, и когда р всего на Икс2, также говорят, что это правильный итог или же сюръективный.
  • Когда для всех Икс и у в πя ∈ я Икся и для всех z в πя ∈ J Икся куда {я, J} это раздел из {1, …, п}, если компоненты Икс и z находятся р-связанные и компоненты у и z находятся рсвязаны тогда Икс = у, р как говорят уникальный на {Икся}я ∈ я, и {Икся}я ∈ J называется а первичный ключ[1] из р. В случае, когда р является бинарным отношением, когда р уникален на {Икс1}, также говорят, что это лево-уникальный или же инъективный, и когда р уникален на {Икс2}, также говорят, что это право-уникальный или же функциональный.
  • Когда все Икся тот же набор Икс, проще обратиться к р как п-арное отношение над Икс, называется однородное отношение. Иначе р называется гетерогенное отношение.
  • Когда любой из Икся пусто, определяющее декартово произведение пусто, и единственное отношение в такой последовательности областей - это пустое отношение р = ∅. Поэтому обычно оговаривается, что все области должны быть непустыми.

Пусть Логический домен B быть двухэлементным множеством, скажем, B = {0, 1}, элементы которого можно интерпретировать как логические значения, обычно 0 = ложь и 1 = верно. В характеристическая функция из р, обозначаемый χр, это Булевозначная функция χр: Икс1 × … × Иксп → B, определяется χр((Икс1, …, Иксп)) = 1 если Rx1…Иксп и χр((Икс1, …, Иксп)) = 0 иначе.

В прикладной математике Информатика и статистики, обычно называют булевозначную функцию п-ари предикат. С более абстрактной точки зрения формальная логика и теория моделей, Соотношение р представляет собой логическая модель или реляционная структура, который служит одним из многих возможных интерпретации некоторых п-арный предикатный символ.

Потому что отношения возникают во многих научных дисциплинах, а также во многих отраслях науки. математика и логика, терминология сильно различается. Помимо теоретико-множественный расширение реляционного концепта или термина, термин «отношение» также может использоваться для обозначения соответствующей логической сущности, либо логическое понимание, который представляет собой совокупность намерения или абстрактные свойства, общие для всех элементов в отношении, или же символы, обозначающие эти элементы и интенсионалы. Кроме того, некоторые авторы последнего убеждения вводят термины с более конкретными коннотациями (например, «реляционная структура» для теоретико-множественного расширения данного реляционного понятия).

История

Смотрите также: Алгебраическая логика # История

Логик Огастес Де Морган в работе, опубликованной около 1860 г., был первым, кто сформулировал понятие отношения в каком-либо смысле, подобном его нынешнему. Он также изложил первые формальные результаты в теории отношений (о Де Моргане и отношениях см. Merrill 1990).

Чарльз Пирс, Готтлоб Фреге, Георг Кантор, Ричард Дедекинд и другие выдвинули теорию отношений. Многие их идеи, особенно об отношениях, назывались заказы, были резюмированы в Принципы математики (1903) где Бертран Рассел бесплатно использовали эти результаты.

В 1970 г. Эдгар Кодд предложил реляционная модель за базы данных, тем самым предвосхищая развитие системы управления базами данных.[1]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж грамм час Кодд, Эдгар Франк (июнь 1970). «Реляционная модель данных для больших общих банков данных» (PDF). Коммуникации ACM. 13 (6): 377–387. Дои:10.1145/362384.362685. Получено 2020-04-29.
  2. ^ "Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - отношения". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-12-12.
  3. ^ «Отношение - математическая энциклопедия». www.encyclopediaofmath.org. Получено 2019-12-12.
  4. ^ "Определение н-арного отношения". cs.odu.edu. Получено 2019-12-12.
  5. ^ Ниват, Морис (1981). Астезиано, Эджидио; Бём, Коррадо (ред.). «Бесконечные отношения». CAAP '81. Конспект лекций по информатике. Springer Berlin Heidelberg: 46–75. Дои:10.1007/3-540-10828-9_54. ISBN  978-3-540-38716-9.
  6. ^ «Отношения - CS441» (PDF). www.pitt.edu. Получено 2019-12-11.
  7. ^ Де Морган, A. (1858) «О силлогизме, часть 3» в Heath, P., ed. (1966) О силлогизме и других логических сочинениях. Рутледж. С. 119,

Библиография

  • Кодд, Эдгар Франк (1990). Реляционная модель для управления базами данных: версия 2 (PDF). Бостон: Эддисон-Уэсли. ISBN  978-0201141924.
  • Бурбаки, Н. (1994) Элементы истории математики, Джон Мелдрам, пер. Springer-Verlag.
  • Карнап, Рудольф (1958) Введение в символическую логику с приложениями. Dover Publications.
  • Халмос, П. (1960) Наивная теория множеств. Принстон, штат Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранд.
  • Лавер, Ф., и Р. Розбру (2003) Наборы для математики, Cambridge Univ. Нажмите.
  • Льюис, К. (1918) Обзор символической логики, Глава 3: Приложения алгебры Буля - Шредера, через Интернет-архив
  • Лукас, Дж. Р. (1999) Концептуальные корни математики. Рутледж.
  • Мэддукс, Р. (2006) Алгебры отношений, т. 150 в «Исследования по логике и основам математики». Elsevier Science.
  • Меррилл, Дэн Д. (1990) Огастес Де Морган и логика отношений. Kluwer.
  • Пирс, К. (1870), "Описание обозначения логики родственников, полученное в результате расширения концепций логического исчисления Буля", Мемуары Американской академии искусств и наук 9, 317–78, 1870. Перепечатано, Сборник статей CP 3.45–149, Хронологическое издание CE 2, 359–429.
  • Пирс, К. (1984) Сочинения Чарльза С. Пирса: хронологическое издание, том 2, 1867–1871 гг.. Проект Peirce Edition, ред. Издательство Индианского университета.
  • Рассел, Бертран (1903/1938) Основы математики, 2-е изд. Cambridge Univ. Нажмите.
  • Суппес, Патрик (1960/1972) Аксиоматическая теория множеств. Dover Publications.
  • Тарский, А. (1956/1983) Логика, семантика, метаматематика, Работы с 1923 по 1938 год, Дж. Вудгер, пер. 1-е издание, Oxford University Press. 2-е издание, J. Corcoran, ed. Индианаполис IN: Hackett Publishing.
  • Улам, С. и Беднарек, А. (1990), "Теория реляционных структур и схем для параллельных вычислений", стр. 477–508 в A.R. Беднарек и Франсуаза Улам (ред.), Аналогии между аналогиями: Математические отчеты С.М. Улам и его сотрудники в Лос-Аламосе, Калифорнийский университет Press, Беркли, Калифорния.
  • Улам, С. (1990) Аналогии между аналогиями: Математические отчеты С.М. Улам и его сотрудники в Лос-Аламосе в A.R. Беднарек и Франсуаза Улам, редакторы, Калифорнийский университет Press.
  • Роланд Фраиссе (2000) [1986] Теория отношений, Северная Голландия