Теорема - Theorem

В теорема Пифагора имеет не менее 370 известных доказательств^[1]

В математика, а теорема не самоочевидный утверждение это было доказано быть правдой, либо на основании общепринятых утверждений, таких как аксиомы или на основе ранее установленных утверждений, таких как другие теоремы.^[2][3][4] Следовательно, теорема - это логическое следствие аксиом, с доказательство теоремы, являющейся логическим аргументом, который устанавливает свою истинность через правила вывода дедуктивная система. В результате доказательство теоремы часто интерпретируется как подтверждение истинности утверждения теоремы. В свете требования доказательства теорем понятие теоремы принципиально дедуктивный, в отличие от понятия научный закон, который экспериментальный.^[5][6]

Многие математические теоремы являются условными утверждениями, доказательство которых выводит вывод из условий, известных как гипотезы или же предпосылки. В свете интерпретации доказательства как обоснования истины заключение часто рассматривается как необходимое следствие гипотез. А именно, что вывод верен в случае, если гипотезы верны - без каких-либо дополнительных предположений. Однако в некоторых случаях условное выражение может интерпретироваться по-разному. дедуктивные системы, в зависимости от значений, присвоенных правилам вывода и условному символу (например, неклассическая логика ).

Хотя теоремы могут быть записаны в полностью символической форме (например, как предложения в пропозициональное исчисление ), они часто выражаются неформально на естественном языке, таком как английский, для лучшей читаемости. То же самое и с доказательствами, которые часто выражаются в виде логически организованных и четко сформулированных неформальных аргументов, призванных убедить читателей в истинности утверждения теоремы вне всяких сомнений и на основе которых в принципе может быть построено формальное символическое доказательство.

В дополнение к лучшей читаемости, неформальные аргументы обычно легче проверять, чем чисто символические - действительно, многие математики отдали бы предпочтение доказательству, которое не только демонстрирует справедливость теоремы, но и каким-то образом объясняет Почему это, очевидно, правда. В некоторых случаях можно даже доказать теорему, используя картинку в качестве доказательства.

Поскольку теоремы лежат в основе математики, они также занимают центральное место в ее основе. эстетика. Теоремы часто называют «тривиальными», «сложными», «глубокими» или даже «красивыми». Эти субъективные суждения меняются не только от человека к человеку, но также со временем и культурой: например, когда доказательство получено, упрощено или лучше понято, теорема, которая когда-то была трудной, может стать тривиальной.^[7] С другой стороны, глубокая теорема может быть сформулирована просто, но ее доказательство может включать удивительные и тонкие связи между разрозненными областями математики. Последняя теорема Ферма является особенно известным примером такой теоремы.^[8]

Неформальное изложение теорем

Логически, многие теоремы имеют вид ориентировочный условный: если A, то B. Такая теорема не утверждает B-только это B является необходимым следствием А. В этом случае, А называется гипотеза теоремы («гипотеза» здесь означает нечто очень отличное от догадка ), и B то вывод теоремы. В качестве альтернативы, А и B можно также назвать предшествующий и последующий, соответственно.^[9] Теорема «Если п это даже натуральное число, тогда п/ 2 - натуральное число "является типичным примером, в котором гипотеза"п является четным натуральным числом ", и вывод"п/ 2 также является натуральным числом ".

Чтобы теорема была доказана, она в принципе должна быть выражена в виде точного формального утверждения. Однако теоремы обычно выражаются на естественном языке, а не в полностью символической форме - с предположением, что формальное утверждение может быть получено из неформального.

В математике принято выбирать несколько гипотез в рамках данного языка и заявлять, что теория состоит из всех утверждений, которые можно доказать на основе этих гипотез. Эти гипотезы составляют фундамент теории и называются аксиомы или постулаты. Область математики, известная как теория доказательств изучает формальные языки, аксиомы и структуру доказательств.

А планарный карта с пятью цветами, так что не встречаются две области с одинаковым цветом. На самом деле его можно раскрасить таким образом только четырьмя цветами. В теорема четырех цветов утверждает, что такие раскраски возможны для любой плоской карты, но каждое известное доказательство включает в себя вычислительный поиск, который слишком длинный, чтобы проверить его вручную.

Некоторые теоремы "банальный "в том смысле, что они очевидным образом вытекают из определений, аксиом и других теорем и не содержат каких-либо удивительных идей.^[10] Некоторые, с другой стороны, могут быть названы «глубокими», потому что их доказательства могут быть длинными и трудными, затрагивать области математики, внешне отличные от формулировки самой теоремы, или показывать удивительные связи между разрозненными областями математики.^[11] Теорема может быть простой и глубокой. Отличный пример - Последняя теорема Ферма,^[8] и есть много других примеров простых, но глубоких теорем в теория чисел и комбинаторика, среди других областей.

Другие теоремы имеют известное доказательство, которое нелегко записать. Наиболее яркими примерами являются теорема о четырех цветах и Гипотеза Кеплера. Обе эти теоремы становятся истинными только в результате сведения их к вычислительному поиску, который затем проверяется компьютерной программой. Первоначально многие математики не принимали эту форму доказательства, но она стала более широко распространенной. Математик Дорон Зейлбергер зашел даже так далеко, что заявил, что это, возможно, единственные нетривиальные результаты, когда-либо доказанные математиками.^[12] Многие математические теоремы можно свести к более простым вычислениям, включая полиномиальные тождества, тригонометрические тождества.^[13] и гипергеометрические тождества.^{[14][страница нужна ]}

Доказуемость и теорема

Чтобы утверждать математическое утверждение как теорему, требуется доказательство. То есть должна быть продемонстрирована правильная линия рассуждений от аксиом и других уже установленных теорем к данному утверждению. В общем, доказательство считается отделенным от самой формулировки теоремы. Отчасти это связано с тем, что хотя для одной теоремы может быть известно более одного доказательства, требуется только одно доказательство, чтобы установить статус утверждения как теоремы. В теорема Пифагора и закон квадратичная взаимность претендуют на звание теоремы с наибольшим количеством различных доказательств.^[15][16]

Связь с научными теориями

Теоремы в математике и теории в науке принципиально различаются по своему эпистемология. Научная теория не может быть доказана; его ключевой атрибут - то, что это фальсифицируемый, то есть он делает прогнозы о мире природы, которые можно проверить эксперименты. Любое несогласие между предсказанием и экспериментом демонстрирует неправильность научной теории или, по крайней мере, ограничивает ее точность или область действия. Математические теоремы, с другой стороны, представляют собой чисто абстрактные формальные утверждения: доказательство теоремы не может включать эксперименты или другие эмпирические свидетельства таким же образом, как эти свидетельства используются для поддержки научных теорий.^[5]

В Гипотеза Коллатца: один из способов проиллюстрировать его сложность - расширить итерацию от натуральных чисел до комплексных. В результате фрактал, который (в соответствии с универсальность ) напоминает Набор Мандельброта.

Тем не менее, открытие математических теорем требует некоторой степени эмпиризма и сбора данных. Создавая шаблон, иногда с использованием мощного компьютера, математики могут иметь представление о том, что доказывать, а в некоторых случаях даже план того, как приступить к доказательству. Например, Гипотеза Коллатца был проверен для начальных значений примерно до 2,88 × 10¹⁸. В Гипотеза Римана был проверен для первых 10 триллионов нулей дзета-функция. Ни одно из этих утверждений не считается доказанным.

Такие доказательства не являются доказательством. Например, Гипотеза Мертенса это утверждение о натуральных числах, которое, как теперь известно, является ложным, но нет явного контрпримера (т.е. натуральное число п для которого функция Мертенса M(п) равно квадратному корню из п) известно: все числа меньше 10¹⁴ имеют свойство Мертенса, а наименьшее число, не имеющее этого свойства, известно только как меньшее, чем экспоненциальный 1,59 × 10⁴⁰, что примерно равно 10 в степени 4,3 × 10³⁹. Поскольку количество частиц во Вселенной обычно считается меньше 10 в степени 100 ( гугол ), нет никакой надежды найти явный контрпример с помощью исчерпывающий поиск.

Слово «теория» также существует в математике для обозначения совокупности математических аксиом, определений и теорем, как, например, в теория групп (видеть математическая теория ). Существуют также «теоремы» в науке, особенно в физике, и в инженерии, но они часто содержат утверждения и доказательства, в которых важную роль играют физические предположения и интуиция; физические аксиомы, на которых основаны такие «теоремы», сами по себе опровергаются.

Терминология

Существует ряд различных терминов для математических утверждений; эти термины указывают на роль, которую утверждения играют в конкретном предмете. Иногда различие между разными терминами бывает довольно произвольным, и использование некоторых терминов со временем эволюционировало.

• An аксиома или же постулат утверждение, которое принимается без доказательств и считается основополагающим для предмета. Исторически они рассматривались как «самоочевидные», но в последнее время они стали рассматриваться как предположения, характеризующие предмет исследования. В классической геометрии аксиомы - это общие утверждения, а постулаты - утверждения о геометрических объектах.^[17] А определение это еще одна форма утверждения, которая также принимается без доказательств, поскольку она просто дает значение слова или фразы в терминах известных концепций.

• Недоказанное утверждение, которое считается истинным, называется догадка (или иногда гипотеза, но с другим значением, нежели рассмотренное выше). Чтобы считаться гипотезой, утверждение обычно должно быть предложено публично, после чего к гипотезе может быть добавлено имя сторонника, как в случае с Гипотеза Гольдбаха. Другие известные гипотезы включают Гипотеза Коллатца и Гипотеза Римана. С другой стороны, Последняя теорема Ферма всегда был известен под этим именем, даже до того, как оно было доказано; она никогда не была известна как «гипотеза Ферма».
• А предложение это теорема меньшей важности. Этот термин иногда означает утверждение с простым доказательством, в то время как термин теорема обычно зарезервировано для наиболее важных результатов или результатов с длинными или трудными доказательствами. Некоторые авторы никогда не используют «предложение», в то время как другие используют «теорему» только для фундаментальных результатов. В классической геометрии этот термин использовался иначе: в Элементы Евклида (ок. 300 г. до н. э.) все теоремы и геометрические конструкции назывались «предложениями» независимо от их важности.
• А лемма это «вспомогательная теорема», предложение с небольшой применимостью, за исключением того, что оно составляет часть доказательства более крупной теоремы. В некоторых случаях, когда относительная важность различных теорем становится более ясной, то, что когда-то считалось леммой, теперь считается теоремой, хотя слово «лемма» остается в названии. Примеры включают Лемма Гаусса, Лемма Цорна, а основная лемма.
• А следствие предложение, которое с небольшим доказательством следует из другой теоремы или определения.^[18] Также следствием может быть теорема, переформулированная для более ограниченного особый случай. Например, теорема о том, что все углы в прямоугольник находятся прямые углы как следствие, все углы в квадрат (а особый случай прямоугольника) являются прямые углы.
• А разговаривать теоремы - это утверждение, образованное перестановкой того, что дано в теореме, и того, что должно быть доказано. Например, теорема о равнобедренном треугольнике утверждает, что если две стороны треугольника равны, то два угла равны. И наоборот, данное (что две стороны равны) и то, что должно быть доказано (что два угла равны) меняются местами, так что обратное утверждение - это утверждение, что если два угла треугольника равны, то две стороны равны. В этом примере обратное можно доказать как еще одну теорему, но часто это не так. Например, обратное к теореме о том, что два прямых угла равны углам, является утверждением, что два равных угла должны быть прямыми углами, и это явно не всегда так.^[19]
• А обобщение это теорема, которая включает в себя ранее доказанную теорему как особый случай и, следовательно, как следствие.

Существуют и другие термины, которые используются реже, которые обычно присоединяются к доказанным утверждениям, так что некоторые теоремы упоминаются под историческими или обычными именами. Например:

• An личность - это содержащееся в теореме равенство между двумя математическими выражениями, которое выполняется независимо от значений, используемых для любых переменные или же параметры появляющиеся в выражениях (если они находятся в пределах допустимого диапазона).^[20] Примеры включают Формула Эйлера и Личность Вандермонда.
• А правило это теорема, например Правило Байеса и Правило Крамера, что устанавливает полезную формулу.
• А закон или принцип это теорема, которая применима в широком диапазоне обстоятельств. Примеры включают закон больших чисел, то закон косинусов, Закон нуля или единицы Колмогорова, Принцип Гарнака, то принцип наименьшей верхней границы, а принцип голубятни.^[21]

Некоторые известные теоремы имеют еще более своеобразные названия. В алгоритм деления (видеть Евклидово деление ) - теорема, выражающая результат деления на натуральные числа и более общие кольца. Личность Безу это теорема, утверждающая, что наибольший общий делитель двух чисел может быть записан как линейная комбинация этих чисел. В Парадокс Банаха – Тарского это теорема в теория меры то есть парадоксальный в том смысле, что это противоречит общепринятым представлениям об объеме в трехмерном пространстве.

Макет

Теорема и ее доказательство обычно излагаются следующим образом:

Теорема (имя лица, доказавшего это, с указанием года открытия или публикации доказательства).

Утверждение теоремы (иногда называемое предложение).

Доказательство.

Описание доказательства.

Конец

Об окончании доказательства могут свидетельствовать буквы Q.E.D. (quod erat manifestrandum) или одним из надгробие знаки, такие как «□» или «∎», означающие «Конец доказательства», введенные Пол Халмос после их использования в журналах для обозначения конца статьи.^[22]

Точный стиль зависит от автора или публикации. Многие публикации содержат инструкции или макросы для набора в домашний стиль.

Обычно теореме предшествует определения описывая точное значение терминов, используемых в теореме. Также обычно теореме предшествует ряд предложений или лемм, которые затем используются в доказательстве. Однако иногда леммы включаются в доказательство теоремы либо с вложенными доказательствами, либо с их доказательствами, представленными после доказательства теоремы.

Следствия теоремы приводятся либо между теоремой и доказательством, либо сразу после доказательства. Иногда следствия имеют собственные доказательства, объясняющие, почему они следуют из теоремы.

Лор

Было подсчитано, что ежегодно доказывается более четверти миллиона теорем.^[23]

Известный афоризм, «Математик - это устройство для превращения кофе в теоремы», вероятно, из-за Альфред Реньи, хотя его часто приписывают коллеге Реньи Пол Эрдёш (и Реньи, возможно, думал об Эрдёше), который был известен своими многочисленными теоремами, номер о его сотрудничестве и о его питье кофе.^[24]

В классификация конечных простых групп некоторые считают самым длинным доказательством теоремы. Он включает десятки тысяч страниц в 500 журнальных статьях около 100 авторов. Считается, что вместе эти статьи дают полное доказательство, и несколько текущих проектов надеются сократить и упростить это доказательство.^[25] Другой теоремой этого типа является теорема четырех цветов доказательство, созданное компьютером, слишком длинное, чтобы его мог прочитать человек. Это одно из самых длинных известных доказательств теоремы, утверждение которой может легко понять неспециалист.^{[нужна цитата ]}

Теоремы в логике

Эта секция нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. (Октябрь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Логика, особенно в области теория доказательств, рассматривает теоремы как утверждения (называемые формулы или же хорошо сформированные формулы) формального языка. Формулировки языка представляют собой цепочки символов и могут быть в широком смысле разделены на ерунда и правильно составленные формулы. Набор правила вычета, также называемый правила трансформации или же правила вывода, должно быть предоставлено. Эти правила вывода точно указывают, когда формула может быть получена из набора предпосылок. Набор правильно составленных формул можно в общих чертах разделить на теоремы и нетеоремы. Однако, по мнению Hofstadter, формальная система часто просто определяет все свои правильно сформированные формулы как теоремы.^{[26][страница нужна ]}

Различные наборы правил вывода порождают разные интерпретации того, что означает выражение, которое является теоремой. Некоторые правила вывода и формальные языки предназначены для улавливания математических рассуждений; наиболее распространенные примеры использования логика первого порядка. Другие дедуктивные системы описывают переписывание терминов, такие как правила сокращения для λ исчисление.

Определение теорем как элементов формального языка позволяет получать результаты в теории доказательств, изучающие структуру формальных доказательств и структуру доказываемых формул. Самый известный результат Теоремы Гёделя о неполноте; Представляя теоремы об основной теории чисел в виде выражений на формальном языке, а затем представляя этот язык внутри самой теории чисел, Гёдель построил примеры утверждений, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью аксиоматизаций теории чисел.

Эта диаграмма показывает синтаксические объекты который может быть построен из формальные языки. В символы и строки символов можно в общих чертах разделить на ерунда и правильные формулы. Формальный язык можно рассматривать как идентичный набору его хорошо сформированных формул. Набор правильно составленных формул можно в общих чертах разделить на теоремы и нетеоремы.

Теорема может быть выражена в виде формальный язык (или «формализованный»). Формальная теорема - это чисто формальный аналог теоремы. В общем, формальная теорема - это разновидность правильно сформированная формула который удовлетворяет определенным логическим и синтаксическим условиям. Обозначение ${displaystyle vdash}$ ${displaystyle S}$ часто используется, чтобы указать, что ${displaystyle S}$ это теорема.

Формальные теоремы состоят из формулы формального языка и правила трансформации формальной системы. В частности, формальная теорема всегда является последней формулой происхождение в некоторой формальной системе, каждая формула которой является логическое следствие формул, которые предшествовали этому при выводе. Первоначально принятые формулы при выводе называются его аксиомы, и являются основой вывода теоремы. А набор теорем называется теория.

Что делает формальные теоремы полезными и интересными, так это то, что они могут быть интерпретированный как правда предложения и их выводы могут быть истолкованы как доказательство правда полученного выражения. Набор формальных теорем можно назвать формальная теория. Теорема, интерпретация которой является истинным утверждением о формальная система (в отличие от из формальная система) называется метатеорема.

Синтаксис и семантика

Концепция формальной теоремы в основе своей синтаксична, в отличие от понятия верное предложение, который вводит семантика. Различные дедуктивные системы могут давать другие интерпретации в зависимости от допущений правил вывода (т. Е. вера, оправдание или другой модальности ). В прочность формальной системы зависит от того, все ли ее теоремы также действительность. Валидность - это формула, которая истинна при любой возможной интерпретации (например, в классической логике высказываний валидность тавтологии ). Формальная система считается семантически полный когда все его теоремы тоже тавтологии.

Вывод теоремы.

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: "Теорема"  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Февраль 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Понятие теоремы очень тесно связано с ее формальным доказательством (также называемым «выводом»). В качестве иллюстрации рассмотрим очень упрощенную формальную систему ${displaystyle {mathcal {FS}}}$ алфавит которого состоит всего из двух символов { А, B }, и чье правило формирования формул:

Любая строка символов ${displaystyle {mathcal {FS}}}$ длиной не менее трех символов и не бесконечно долго, является формулой. Ничто иное не формула.

Единственная аксиома ${displaystyle {mathcal {FS}}}$ является:

ABBA.

Единственный правило вывода (правило преобразования) для ${displaystyle {mathcal {FS}}}$ является:

Любое появление "А"в теореме может быть заменено вхождением строки"AB"и результат - теорема.

Теоремы в ${displaystyle {mathcal {FS}}}$ определяются как те формулы, на которых заканчивается производная. Например,

1. ABBA (Считается аксиомой)
2. ABBBA (применяя правило преобразования)
3. ABBBAB (применяя правило преобразования)

является производным. Следовательно, "ABBBAB"это теорема ${displaystyle {mathcal {FS}} ,.}$ Понятие истины (или ложности) не может быть применено к формуле "ABBBAB«до тех пор, пока ее символам не будет дана интерпретация. Таким образом, в этом примере формула еще не представляет предложение, а является просто пустой абстракцией.

Две метатеоремы ${displaystyle {mathcal {FS}}}$ находятся:

Каждая теорема начинается с "А".

В каждой теореме ровно два "А"с.

Интерпретация формальной теоремы

Теоремы и теории

Смотрите также

• Список теорем
• Основная теорема
• Формула
• Вывод
• Теорема игрушки

Примечания

Рекомендации

• Хит, сэр Томас Литтл (1897). Произведения архимеда. Дувр. Получено 2009-11-15.
• Хоффман, П. (1998). Человек, любивший только числа: История Пола Эрдёша и поиски математической истины. Гиперион, Нью-Йорк. ISBN  1-85702-829-5.
• Хофштадтер, Дуглас (1979). Гедель, Эшер, Бах: Вечная золотая коса. Основные книги.
• Хантер, Джеффри (1996) [1973]. Металогика: введение в метатеорию стандартной логики первого порядка. Калифорнийский университет Press. ISBN  0-520-02356-0.
• Товарищи, Бенсон (1972). Элементарная логика. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-501491-X.
• Петковсек, Марко; Уилф, Герберт; Зейлбергер, Дорон (1996). А = В. А.К. Питерс, Уэлсли, Массачусетс. ISBN  1-56881-063-6. Архивировано из оригинал 29 января 2006 г.

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Теоремы в Wikimedia Commons
• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема". MathWorld.
• Теорема дня