Формальная система - Formal system

А формальная система используется для вывода теорем из аксиом в соответствии с набором правил. Эти правила, которые используются для вывода теорем из аксиом, являются логическое исчисление формальной системы. Формальная система - это, по сути, "аксиоматическая система ".[1]

В 1921 г. Дэвид Гильберт предложили использовать такую ​​систему как основу знаний в математика.[2] Формальная система может представлять собой четко определенный система абстрактного мышления.

Период, термин формализм иногда является грубым синонимом формальная система, но это также относится к заданному стилю обозначение, Например, Поль Дирак с обозначение бюстгальтера.

Задний план

Каждая формальная система использует примитивные символы (которые в совокупности образуют алфавит ) для конечного построения формальный язык из набора аксиомы посредством логического вывода правила формирования.

Таким образом, система состоит из действительных формул, построенных с помощью конечных комбинаций примитивных символов - комбинаций, образованных из аксиом в соответствии с установленными правилами.[3]

Более формально это можно выразить так:

  1. Конечный набор символов, известный как алфавит, который объединяет формулы, так что формула представляет собой всего лишь конечную строку символов, взятых из алфавита.
  2. А грамматика состоящий из правил для создания формул из более простых формул. Формула называется правильно сформированный если он может быть сформирован с использованием правил формальной грамматики. Часто требуется, чтобы была процедура принятия решения о том, правильно ли составлена ​​формула.
  3. Набор аксиом, или схемы аксиом, состоящий из правильно составленных формул.
  4. Набор правила вывода. Правильно построенная формула, которая может быть выведена из аксиом, известна как теорема формальной системы.

Рекурсивный

Формальная система называется рекурсивный (т.е.эффективно) или рекурсивно перечислимым, если набор аксиом и набор правил вывода разрешимые множества или полуразрешимые множества соответственно.

Вывод и следствие

В логическое следствие системы по ее логическому основанию - вот что отличает формальную систему от других, которые могут иметь некоторую основу в абстрактной модели. Часто формальная система становится основой или даже отождествляется с более крупными теория или поле (например, Евклидова геометрия ) в соответствии с использованием в современной математике, такой как теория моделей.[требуется разъяснение ]

Формальный язык

Основные статьи: Формальный язык и формальная грамматика

А формальный язык это язык, который определяется формальной системой. Как языки в лингвистика, формальные языки обычно имеют два аспекта:

  • то синтаксис языка - это то, как язык выглядит (более формально: набор возможных выражений, которые являются действительными высказываниями на языке), изучаемые в формальная теория языка
  • то семантика языка - это то, что означают высказывания на этом языке (которые формализованы различными способами, в зависимости от типа рассматриваемого языка)

В Информатика и лингвистика обычно только синтаксис формального языка рассматривается через понятие формальная грамматика. Формальная грамматика - это точное описание синтаксиса формального языка: набор из струны. Две основные категории формальной грамматики: порождающие грамматики, которые представляют собой наборы правил того, как могут быть созданы строки на языке, и правила аналитические грамматики (или редуктивная грамматика,[4][5]), которые представляют собой наборы правил того, как строка может быть проанализирована, чтобы определить, является ли она членом языка. Короче говоря, аналитическая грамматика описывает, как признать когда строки являются членами набора, тогда как порождающая грамматика описывает, как записывать только те струны в наборе.

В математика, формальный язык обычно описывается не формальной грамматикой, а (а) естественным языком, таким как английский. Логические системы определяются как дедуктивной системой, так и естественным языком. Дедуктивные системы, в свою очередь, определяются только естественным языком (см. Ниже).

Дедуктивная система

А дедуктивная система, также называемый дедуктивный аппарат или логика, состоит из аксиомы (или схемы аксиом ) и правила вывода что можно использовать для выводить теоремы системы.[6]

Такие дедуктивные системы сохраняют дедуктивный качества в формулы которые выражаются в системе. Обычно нас беспокоит качество правда в отличие от лжи. Однако другие модальности, такие как оправдание или вера вместо этого можно сохранить.

Чтобы сохранить его дедуктивную целостность, дедуктивный аппарат должны быть определены без ссылки на какие-либо предполагаемая интерпретация языка. Цель состоит в том, чтобы каждая строка происхождение это просто синтаксическое следствие строк, предшествующих ему. Не должно быть никаких элементов интерпретация языка, который связан с дедуктивной природой системы.

Пример дедуктивной системы: логика предикатов первого порядка.

Логическая система

А логическая система или язык (не путать с рассмотренным выше типом "формального языка", который описывается формальной грамматикой), это дедуктивная система (см. раздел выше; чаще всего логика предикатов первого порядка ) вместе с дополнительными (нелогическими) аксиомами и семантика[оспаривается – обсудить]. Согласно с теоретико-модельный интерпретация, семантика логической системы описывает, удовлетворяется ли правильно сформированная формула заданной структурой. Структура, удовлетворяющая всем аксиомам формальной системы, известна как модель логической системы. Логическая система звук если каждая правильно построенная формула, которая может быть выведена из аксиом, удовлетворяется каждой моделью логической системы. И наоборот, логическая система полный если каждая правильно сформированная формула, которой удовлетворяет каждая модель логической системы, может быть выведена из аксиом.

Пример логической системы: Арифметика Пеано.

История

Ранние логические системы включают индийскую логику Панини, силлогистическая логика Аристотеля, пропозициональная логика стоицизма и китайская логика Gongsun Long (ок. 325–250 гг. до н. э.). В последнее время участники включают Джордж Буль, Огастес Де Морган, и Готтлоб Фреге. Математическая логика был разработан в 19 веке Европа.

Формализм

Основная статья: Формальные логические системы

Программа Гильберта

Основная статья: Программа Гильберта

Дэвид Гильберт спровоцировал формалистическое движение, которое в конечном итоге было сдержано Теоремы Гёделя о неполноте.

Манифест QED

Основная статья: Манифест QED

Манифест QED представляет собой последующую, пока еще безуспешную попытку формализации известной математики.

Примеры

Основная статья: Список формальных систем

Примеры формальных систем включают:

Варианты

Следующие системы являются вариациями формальных систем[требуется разъяснение ].

Система доказательств

Основные статьи: Система доказательств и Формальное доказательство

Формальные доказательства - это последовательности правильные формулы (или сокращенно wff). Для того, чтобы wff квалифицировался как часть доказательства, это может быть либо аксиома или быть продуктом применения правила вывода к предыдущим wff в последовательности доказательства. Последний wff в последовательности распознается как теорема.

Точку зрения, согласно которой создание формальных доказательств - это все, что нужно для математики, часто называют формализм. Дэвид Гильберт основанный метаматематика как дисциплина для обсуждения формальных систем. Любой язык, на котором говорят о формальной системе, называется метаязык. Метаязык может быть естественным языком или может быть частично формализован сам по себе, но, как правило, он формализован менее полно, чем формальный языковой компонент рассматриваемой формальной системы, который в таком случае называется объектный язык, то есть предмет рассматриваемого обсуждения.

Как только формальная система задана, можно определить набор теорем, которые могут быть доказаны внутри формальной системы. Этот набор состоит из всех wffs, для которых есть доказательство. Таким образом, все аксиомы считаются теоремами. В отличие от грамматики для wffs, нет никакой гарантии, что будет процедура принятия решения для определения того, является ли данный wff теоремой или нет. Понятие теорема только что определенное не следует путать с теоремы о формальной системе, которые во избежание путаницы обычно называют метатеоремы.

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ «Формальная система, ENCYCLOPDIA BRITANNICA».
  2. ^ "Программа Гильберта, Стэнфордская энциклопедия философии".
  3. ^ Британская энциклопедия, Формальная система определение, 2007.
  4. ^ Редуктивная грамматика: (Информатика) Набор синтаксических правил для анализа строк, чтобы определить, существуют ли строки на языке. «Научно-технический словарь МакГроу-Хилл, Словарь научных и технических терминов» (6-е изд.). Макгроу-Хилл.[ненадежный источник? ] Об авторе Составлено редакторами Энциклопедии науки и технологий McGraw-Hill (Нью-Йорк, штат Нью-Йорк), штатным сотрудником, который представляет передовые навыки, знания и инновации в научных публикациях. [1]
  5. ^ "Существует два класса схем написания компиляторов определений на формальном языке. грамматика подход самый распространенный. Продуктивная грамматика состоит в первую очередь из набора правил, описывающих метод генерации всех возможных строк языка. Редуктивное или аналитическая грамматика метод устанавливает набор правил, которые описывают метод анализа любой строки символов и принятия решения о том, находится ли эта строка на языке "."Компилятор-компилятор TREE-META: мета-компилятор для Univac 1108 и General Electric 645, Технический отчет Университета Юты RADC-TR-69-83. К. Стивен Карр, Дэвид А. Лютер, Шериан Эрдманн " (PDF). Получено 5 января 2015.
  6. ^ Хантер, Джеффри, Metalogic: Введение в метатеорию стандартной логики первого порядка, Калифорнийский университет Pres, 1971

дальнейшее чтение

внешняя ссылка