Общая теория множеств - General set theory

Общая теория множеств (GST) является Джордж Булос (1998) название фрагмента аксиоматическая теория множеств Z. GST достаточно для любой математики, не требующей бесконечные множества, и является самой слабой известной теорией множеств, теоремы включить Аксиомы Пеано.

Онтология

Онтология GST идентична онтологии ZFC, и, следовательно, полностью каноничен. GST имеет единую примитивный онтологический понятие, что из набор, и единственное онтологическое предположение, а именно, что все индивиды в вселенная дискурса (следовательно, все математические объекты ) являются множествами. Есть сингл примитивный бинарное отношение, установить членство; этот набор а является членом множества б написано a ∈ b (обычно читается "а является элемент из б").

Аксиомы

Приведенные ниже символические аксиомы взяты из Boolos (1998: 196) и регулируют поведение и взаимодействие множеств. Как и с Z, фоновая логика для GST - логика первого порядка с личность. Действительно, GST - это фрагмент Z, полученный опусканием аксиом Союз, Набор мощности, Элементарные множества (по существу Сопряжение ) и бесконечность а затем взяв за аксиому теорему Z о присоединении. Версии аксиом на естественном языке предназначены для помощи интуиции.

1) Аксиома расширенности: Наборы Икс и у являются одним и тем же набором, если у них одинаковые члены.

{displaystyle forall xforall y [forall z [zin xleftrightarrow zin y] ightarrow x = y].}

Обратное к этой аксиоме следует из подстановочного свойства равенства.

2) Схема аксиом спецификации (или же Разделение или же Ограниченное понимание): Если z это набор и ${displaystyle phi}$ это любое свойство, которым могут удовлетворять все, некоторые или никакие элементы z, то существует подмножество у из z содержащие только эти элементы Икс в z которые удовлетворяют свойству ${displaystyle phi}$ . В ограничение к z необходимо избегать Парадокс Рассела и его варианты. Более формально, пусть ${displaystyle phi (x)}$ любая формула на языке GST, в которой Икс может происходить свободно и у не. Тогда все экземпляры следующей схемы являются аксиомами:

{displaystyle forall zexists yforall x [xin yleftrightarrow (xin zland phi (x))].}

3) Аксиома присоединения: Если Икс и у являются множествами, то существует множество ш, то примыкание из Икс и у, члены которого просто у и члены Икс.^[1]

{displaystyle forall xforall yexists wforall z [zin wleftrightarrow (zin xlor z = y)].}

Пристройка относится к элементарной операции над двумя наборами и не имеет отношения к использованию этого термина где-либо еще в математике, в том числе в теория категорий.

Обсуждение

Метаматематика

Обратите внимание, что Спецификация - это схема аксиомы. Теория, данная этими аксиомами, не конечно аксиоматизируемый. Монтегю (1961) показал, что ZFC не является конечно аксиоматизируемым, и его аргументы переносятся на GST. Следовательно, любая аксиоматизация GST должна включать хотя бы один схема аксиомы. Благодаря своим простым аксиомам, GST также невосприимчив к трем великим антиномиям: наивная теория множеств: Рассела, Бурали-Форти, и Кантора.

GST можно интерпретировать в алгебра отношений потому что никакая часть аксиомы GST не входит в рамки более трех кванторы. Это необходимое и достаточное условие дано в Tarski and Givant (1987).

Арифметика Пеано

Установка φ (Икс) в Разделение к Икс≠Икс, и предполагая, что домен непусто, гарантирует существование пустой набор. Пристройка означает, что если Икс это набор, значит, тоже ${displaystyle S (x) = xcup {x}}$ . Данный Пристройка, обычное построение порядковые номера преемников от пустой набор может продолжаться, тот, в котором натуральные числа определены как ${displaystyle varnothing ,, S (varnothing) ,, S (S (varnothing)) ,, ldots,}$ . Видеть Аксиомы Пеано. GTS взаимно интерпретируется с Арифметика Пеано (таким образом, он имеет такую же теоретическую силу, что и PA);

Самый замечательный факт о ST (и, следовательно, GST) заключается в том, что эти крошечные фрагменты теории множеств дают начало столь богатой метаматематике. Хотя СТ - небольшой фрагмент известной канонической теории множеств ZFC и NBG, ST интерпретирует Арифметика Робинсона (Q), так что ST наследует нетривиальную метаматематику Q. Например, ST - это по существу неразрешимый потому что Q есть, и любая непротиворечивая теория, теоремы которой включают аксиомы ST, также по существу неразрешима.^[2] Это включает в себя GST и все аксиоматические теории множеств, о которых стоит задуматься, если они непротиворечивы. Фактически, неразрешимость ST влечет неразрешимость логика первого порядка с одним бинарный предикат письмо.^[3]

Q также неполный в смысле Теорема Гёделя о неполноте. Любая аксиоматизируемая теория, такая как ST и GST, теоремы которой включают аксиомы Q, также является неполной. Более того, последовательность GST не может быть доказан в рамках самого GST, если GST не противоречит действительности.

Бесконечные множества

Учитывая любую модель M ZFC, коллекция наследственно конечные множества в M будет удовлетворять аксиомам GST. Следовательно, GST не может доказать существование даже счетного бесконечный набор, то есть множества, мощность которого равна ℵ₀. Даже если бы GST действительно предоставлял счетно бесконечное множество, GST не смог бы доказать существование набора, мощность является ${displaystyle aleph _ {1}}$ , поскольку в GST отсутствует аксиома власти. Следовательно, GST не может заземляться анализ и геометрия, и слишком слаб, чтобы служить фундамент математики.

История

Булос интересовался GST только как фрагмент Z этого достаточно, чтобы интерпретировать Арифметика Пеано. Он никогда не останавливался на GST, лишь кратко упоминал его в нескольких статьях, в которых обсуждались системы Frege с Grundlagen и Grundgesetze, и как их можно изменить, чтобы исключить Парадокс Рассела. Система Aξ '[δ₀] в Tarski and Givant (1987: 223), по сути, является GST с схема аксиом индукции замена Технические характеристики, а при наличии пустой набор явно предполагается.

GST называется STZ в Burgess (2005), стр. 223.^[4] Теория Берджесса ST^[5] GST с Пустой набор замена схема аксиомы спецификации. Буквы «ST» также встречаются в «GST» - это совпадение.

Сноски

^ Пристройка редко упоминается в литературе. Исключения составляют Берджесс (2005). пассими QIII у Тарского и Гиванта (1987: 223).
^ Берджесс (2005), 2.2, стр. 91.
^ Тарский и др. (1953), стр. 34.
^ В Пустой набор аксиома в STZ избыточна, потому что существование пустого множества выводится из схемы аксиом Спецификации.
^ Называется S 'в Tarski et al. (1953: 34).

внешняя ссылка

Стэнфордская энциклопедия философии: Теория множеств - Томас Джех.

[1] Пристройка редко упоминается в литературе. Исключения составляют Берджесс (2005). пассими QIII у Тарского и Гиванта (1987: 223).

[2] Берджесс (2005), 2.2, стр. 91.

[3] Тарский и др. (1953), стр. 34.

[4] В Пустой набор аксиома в STZ избыточна, потому что существование пустого множества выводится из схемы аксиом Спецификации.

[5] Называется S 'в Tarski et al. (1953: 34).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Теория множеств
Обзор	Набор (математика)
Аксиомы	Пристройка Выбор счетный зависимый Глобальный Конструктивность (V = L) Решительность Расширяемость бесконечность Ограничение размера Сопряжение Набор мощности Регулярность Союз Аксиома мартина Схема аксиомы замена Технические характеристики
Операции	Декартово произведение Дополнение Законы де Моргана Несвязный союз Пересечение Набор мощности Установить разницу Симметричная разница Союз
Концепции Методы	Мощность количественное числительное (большой ) Учебный класс Конструируемая вселенная Гипотеза континуума Диагональный аргумент Элемент упорядоченная пара кортеж Семья Принуждение Индивидуальная переписка Порядковый номер Трансфинитная индукция Диаграмма Венна
Набор типы	Счетный Пустой Конечный (по наследству ) Нечеткое Бесконечный (Дедекинд-бесконечный ) Рекурсивный Подмножество· Суперсет Переходный Бесчисленное множество Универсальный
Теории	Альтернатива Аксиоматика Наивный Теорема кантора Цермело Общий Principia Mathematica Новые основы Цермело – Френкель фон Нейман – Бернейс – Гёдель Морс – Келли Крипке – Платек Тарский – Гротендик
Парадоксы Проблемы	Парадокс Рассела Проблема суслина Парадокс Бурали-Форти
Теоретики множеств	Авраам Френкель Бертран Рассел Эрнст Цермело Георг Кантор Джон фон Нейман Курт Гёдель Пол Бернейс Пол Коэн Ричард Дедекинд Томас Джеч Торальф Сколем Уиллард Куайн

Математическая логика
Общий	Формальный язык Правило формирования Формальное доказательство Формальная семантика Правильная формула Набор Элемент Учебный класс Классическая логика Аксиома Правило вывода Связь Теорема Логическое следствие Теория типов Символ Синтаксис Теория
Системы	Формальная система Дедуктивная система Аксиоматическая система Системы гильбертовского стиля Естественный вычет Последовательное исчисление
Традиционная логика	Предложение Вывод Аргумент Срок действия Силлогизм Площадь оппозиции Диаграмма Венна
Исчисление высказываний и Логическая логика	Логические функции Исчисление высказываний Пропозициональная формула Логические связки Таблицы истинности Многозначная логика
Логика предикатов	Первый заказ Квантификаторы Предикат Второго порядка Монадическое исчисление предикатов
Наивная теория множеств	Набор Пустой набор Элемент Перечисление Расширяемость Конечный набор Бесконечный набор Подмножество Набор мощности Счетный набор Бесчисленное множество Рекурсивный набор Домен Codomain Изображение карта Функция Связь Упорядоченная пара
Теория множеств	Основы математики Теория множеств Цермело – Френкеля Аксиома выбора Общая теория множеств Теория множеств Крипке – Платека. Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя. Теория множеств Морса – Келли Теория множеств Тарского – Гротендика
Теория моделей	Модель Интерпретация Нестандартная модель Теория конечных моделей Ценность правды Срок действия
Теория доказательств	Формальное доказательство Дедуктивная система Формальная система Теорема Логическое следствие Правило вывода Синтаксис
Вычислимость теория	Рекурсия Рекурсивный набор Рекурсивно перечислимый набор Проблема решения Тезис Черча – Тьюринга Вычислимая функция Примитивная рекурсивная функция