Порядковый номер преемника - Successor ordinal

В теория множеств, то преемник из порядковый номер α наименьшее порядковое число больше, чемα. Порядковый номер, являющийся преемником, называется порядковый номер преемника.

Свойства

Каждый ординал, отличный от 0, является либо порядковым номером-преемником, либо предельный порядковый номер.^[1]

В модели фон Неймана

С помощью порядковые числа фон Неймана (стандартная модель порядковых чисел, используемая в теории множеств), преемник S(α) порядкового номера α дается формулой^[1]

{ Displaystyle S ( альфа) = альфа чашка { альфа }.}

Поскольку порядок порядковых чисел задается формулой α <β тогда и только тогда, когда α ∈ β, сразу видно, что между α и S(α), и также ясно, что α <S(α).

Порядковое сложение

Операция-преемник может использоваться для определения порядковое сложение строго через трансфинитная рекурсия следующим образом:

{ Displaystyle альфа + 0 = альфа !}

{ Displaystyle альфа + S ( бета) = S ( альфа + бета) !}

а для предельного ординала λ

{ Displaystyle альфа + лямбда = bigcup _ { бета < лямбда} ( альфа + бета)}

Особенно, S(α) = α + 1. Умножение и возведение в степень определяются аналогично.

Топология

Следующие точки и ноль - это изолированные точки класса порядковых чисел относительно топология заказа.^[2]

Смотрите также

использованная литература

^ ^а ^б Кэмерон, Питер Дж. (1999), Наборы, логика и категории, Серия Springer по математике для бакалавров, Springer, стр. 46, ISBN 9781852330569.
^ Девлин, Кейт (1993), Радость множеств: основы современной теории множеств, Тексты для бакалавриата по математике, Springer, Упражнение 3C, стр. 100, ISBN 9780387940946.

[cameron-1] а ^б Кэмерон, Питер Дж. (1999), Наборы, логика и категории, Серия Springer по математике для бакалавров, Springer, стр. 46, ISBN 9781852330569.

[2] Девлин, Кейт (1993), Радость множеств: основы современной теории множеств, Тексты для бакалавриата по математике, Springer, Упражнение 3C, стр. 100, ISBN 9780387940946.

[1]

[2]