Переходный набор - Transitive set

В теория множеств, филиал математика, а набор А называется переходный если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

  • всякий раз, когда Икс ∈ А, и у ∈ Икс, тогда у ∈ А.
  • всякий раз, когда Икс ∈ А, и Икс не является урэлемент, тогда Икс это подмножество из А.

Аналогично класс M транзитивен, если каждый элемент M это подмножество M.

Примеры

Используя определение порядковые номера предложено Джон фон Нейман, порядковые номера определяются как по наследству транзитивные множества: порядковый номер - это транзитивный набор, члены которого также транзитивны (и, следовательно, порядковые номера). Класс всех ординалов - это транзитивный класс.

Любой из этапов Vα и Lα что привело к строительству Вселенная фон Неймана V и Конструируемая вселенная Гёделя L являются транзитивными множествами. В вселенные L и V сами являются переходными классами.

Это полный список всех конечных транзитивных множеств, содержащий до 20 скобок:[1]

Характеристики

Множество Икс транзитивен тогда и только тогда, когда , где это союз всех элементов Икс это наборы, .

Если Икс транзитивно, то транзитивен. Если Икс и Y транзитивны, то Икс∪Y∪{Икс,Y} транзитивен. В общем, если Икс класс, все элементы которого являются транзитивными множествами, то транзитивен.

Множество Икс который не содержит урэлементов, является транзитивным тогда и только тогда, когда он является подмножеством собственного набор мощности, Силовой набор переходного набора без мочевых элементов является переходным.

Переходное закрытие

В переходное закрытие набора Икс - наименьшее (по включению) транзитивное множество, содержащее Икс. Предположим, дан набор Икс, то транзитивное замыкание Икс является

Доказательство. Обозначить и . Затем мы утверждаем, что множество

транзитивен, и всякий раз, когда транзитивное множество, содержащее тогда .

Предполагать . потом для некоторых и так . С , . Таким образом транзитивен.

Теперь позвольте быть как указано выше. Докажем по индукции, что для всех , тем самым доказывая, что : Базовый случай имеет место, поскольку . Теперь предположим . потом . Но транзитивен, поэтому откуда . Это завершает доказательство.

Обратите внимание, что это набор всех объектов, связанных с Икс посредством переходное закрытие отношения принадлежности, так как объединение множества может быть выражено через относительный продукт отношения членства к самому себе.

Транзитивные модели теории множеств

Транзитивные классы часто используются для построения интерпретации теории множеств самой по себе, обычно называемой внутренние модели. Причина в том, что свойства, определяемые ограниченные формулы находятся абсолютный для переходных классов.

Транзитивный набор (или класс), являющийся моделью формальная система теории множеств называется переходная модель системы (при условии, что отношение элементов модели является ограничением истинного отношения элементов к универсуму модели). Транзитивность - важный фактор, определяющий абсолютность формул.

В надстройке подход к нестандартный анализ, нестандартные вселенные обладают сильной транзитивностью.[требуется разъяснение ][2]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ «Количество корневых деревьев идентичности с n узлами (корневые деревья, группа автоморфизмов которых является группой идентичностей)». OEIS.
  2. ^ Голдблатт (1998) стр.161

внешняя ссылка