Внутренняя модель - Inner model

В теория множеств, филиал математическая логика, внутренняя модель для теория Т это основание из модель M из теория множеств это как модель для Т и содержит все ординалы M.

Определение

Позволять ${ Displaystyle L = langle in rangle}$ быть языком теории множеств. Позволять S быть конкретной теорией множеств, например ZFC аксиомы и пусть Т (возможно, так же, как S) также быть теорией в ${ displaystyle L}$.

Если M модель для S, и N является ${ displaystyle L}$-структура такая, что

1. N является подструктурой M, т.е. интерпретация ${ displaystyle in _ {N}}$ из ${ displaystyle in}$ в N является ${ displaystyle { in _ {M}} cap N ^ {2}}$
2. N модель для Т
3. область N это переходный класс из M
4. N содержит все порядковые из M

тогда мы говорим, что N является внутренняя модель из Т (в M).^[1] Обычно Т будет равняться (или включать) S, так что N модель для S 'внутри' модели M из S.

Если выполняются только условия 1 и 2, N называется стандартная модель из Т (в M), а стандартная подмодель из Т если S = Т. Модель N из Т в M называется переходный когда он стандартный и выполняется условие 3. Если аксиома основания не предполагается (то есть не входит в S) всем трем этим понятиям дается дополнительное условие, что N быть обоснованный. Следовательно, внутренние модели транзитивны, транзитивные модели стандартны, а стандартные модели хорошо обоснованы.

Предположение о существовании стандартной подмодели модели ZFC (в данной вселенной) сильнее, чем предположение о существовании модели. Фактически, если существует стандартная подмодель, то существует наименьшая стандартная подмодель, называемая минимальная модель содержится во всех стандартных подмоделях. Минимальная подмодель не содержит стандартной подмодели (поскольку она минимальна), но (при условии, что последовательность ZFC) он содержит некоторую модель ZFC от Теорема Гёделя о полноте. Эта модель обязательно необоснованна, иначе ее Мостовский крах будет стандартной подмоделью. (Это не является хорошо обоснованным отношением во Вселенной, хотя и удовлетворяет аксиома основания так что "внутренне" хорошо обосновано. Быть хорошо обоснованным - не абсолютное свойство.^[2]) В частности, в минимальной подмодели есть модель ZFC, но нет стандартной подмодели ZFC.

Использовать

Обычно, когда говорят о внутренних моделях теории, обсуждаемая теория выглядит так: ZFC или какое-то расширение ZFC (например, ZFC +${ Displaystyle существует}$ а измеримый кардинал ). Когда теория не упоминается, обычно предполагается, что обсуждаемая модель является внутренней моделью ZFC. Однако нередко говорят о внутренних моделях подтеории ZFC (как ZF или же КП ) также.

Связанные идеи

Это было доказано Курт Гёдель что любая модель ZF имеет наименьшую внутреннюю модель ZF (которая также является внутренней моделью ZFC +GCH ), называется конструируемая вселенная, или жеL.

Существует раздел теории множеств, называемый теория внутренней модели который изучает способы построения наименее внутренних моделей теорий, расширяющих ZF. Теория внутренней модели привела к открытию точного постоянство прочности многих важных теоретических свойств набора.

Смотрите также

• Счетные транзитивные модели и общие фильтры

Рекомендации