Интерпретация (теория моделей) - Interpretation (model theory)

В теория моделей, интерпретация из структура M в другой структуре N (как правило, другого подпись ) - техническое понятие, которое приближает идею представления M внутри N. Например, каждый сокращать или дефиниционное расширение структуры N имеет интерпретацию в N.

Многие теоретико-модельные свойства сохраняются при интерпретируемости. Например, если теория N является стабильный и M интерпретируется в N, то теория M также стабильна.

Определение

An интерпретация из M в N с параметрами (или же без параметровсоответственно) - пара ${ Displaystyle (п, е)}$ кудап натуральное число и ${ displaystyle f}$ это сюръективный карта из подмножестваN^п на Mтак что ${ displaystyle f}$-прообраз (точнее ${ displaystyle f ^ {k}}$-прообраз) каждого набора Икс ⊆ M^k определяемый в M по формула первого порядка без параметров определяется (в N) по формуле первого порядка с параметрами (или без параметров соответственно). п для интерпретации ${ Displaystyle (п, е)}$ часто ясно из контекста, карта ${ displaystyle f}$ само по себе также называется интерпретацией.

Чтобы убедиться, что прообраз всех определяемых (без параметров) заданных в M можно определить в N (с параметрами или без) достаточно проверить прообразы следующих определимых множеств:

• область M;
• в диагональ из M;
• каждое отношение в подписи M;
• в график каждой функции в подписи M.

В теория моделей период, термин определяемый часто относится к определимости с параметрами; если используется это соглашение, определяемость без параметров выражается термином 0-определяемый. Точно так же интерпретация с параметрами может называться просто интерпретацией, а интерпретация без параметров - как 0-интерпретация.

Двойная интерпретируемость

Если L, M и N три структуры, L интерпретируется в М,и M интерпретируется в N, тогда можно естественным образом построить составную интерпретацию L в Н.Если две конструкции M и N интерпретируются друг в друге, то, комбинируя интерпретации двумя возможными способами, можно получить интерпретацию каждой из двух структур как таковой. Это наблюдение позволяет определить отношение эквивалентности между структурами, напоминающее гомотопическая эквивалентность среди топологических пространств.

Две структуры M и N находятся двояко интерпретируемый если существует интерпретация M в N и интерпретация N в M такие, что составные интерпретации M сам по себе и N сами по себе могут быть определены в M И в Nсоответственно (составные интерпретации рассматриваются как операции над M и дальше N).

Пример

Частичная карта ж из Z × Z на Q который отображает (Икс, у) к Икс/у если y ≠ 0 дает интерпретацию поля Q рациональных чисел в кольце Z целых чисел (точнее, интерпретация (2,ж)). На самом деле именно эта интерпретация часто используется для определять рациональные числа.Чтобы увидеть, что это интерпретация (без параметров), необходимо проверить следующие прообразы определимых множеств в Q:

• прообраз Q определяется формулой φ (Икс, у), задаваемый ¬ (у = 0);
• прообраз диагонали Q определяется формулой φ (Икс₁, у₁, Икс₂, у₂) данный Икс₁ × у₂ = Икс₂ × у₁;
• прообразы 0 и 1 определяются формулами φ (Икс, у) предоставлено Икс = 0 и Икс = у;
• прообраз графика сложения определяется формулой φ (Икс₁, у₁, Икс₂, у₂, Икс₃, у₃) данный Икс₁×у₂×у₃ + Икс₂×у₁×у₃ = Икс₃×у₁×у₂;
• прообраз графика умножения определяется формулой φ (Икс₁, у₁, Икс₂, у₂, Икс₃, у₃) данный Икс₁×Икс₂×у₃ = Икс₃×у₁×у₂.

Рекомендации

• Альбрандт, Гизела; Зиглер, Мартин (1986), "Квази конечно аксиоматизируемые полностью категоричные теории", Анналы чистой и прикладной логики, 30: 63–82, Дои:10.1016/0168-0072(86)90037-0^{[мертвая ссылка ]}
• Ходжес, Уилфрид (1997), Более короткая теория модели, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-58713-6 (Раздел 4.3)
• Поаза, Бруно (2000), Курс теории моделей, Springer, ISBN  978-0-387-98655-5 (Раздел 9.4)