Вероятность - Probability

Вероятность
Контур Каталог статей Вероятностные Глоссарий Обозначение Журналы Категория

Вероятности выпадения нескольких чисел с помощью двух кубиков.

Вероятность это филиал математика относительно численного описания того, насколько вероятно мероприятие должно произойти, или насколько вероятно, что предложение истинно. Вероятность события - это число от 0 до 1, где, грубо говоря, 0 указывает на невозможность события, а 1 указывает на достоверность.^{[примечание 1][1][2]} Чем выше вероятность события, тем больше вероятность того, что оно произойдет. Простым примером является подбрасывание справедливой (беспристрастной) монеты. Поскольку монета справедливая, оба исхода («орел» и «решка») равновероятны; вероятность выпадения орла равна вероятности выпадения решки; и поскольку другие исходы невозможны, вероятность выпадения орла или решки равна 1/2 (что также можно записать как 0,5 или 50%).

Эти концепции получили аксиоматический математическая формализация в теория вероятности, который широко используется в области обучения Такие как математика, статистика, финансы, играть в азартные игры, наука (особенно физика ), искусственный интеллект, машинное обучение, Информатика, теория игры, и философия чтобы, например, сделать выводы об ожидаемой частоте событий. Теория вероятностей также используется для описания основных механизмов и закономерностей сложные системы.^[3]

Интерпретации

При работе с эксперименты которые случайный и четко определенный в чисто теоретической обстановке (например, подбрасывание справедливой монеты) вероятности можно численно описать числом желаемых результатов, разделенным на общее количество всех результатов. Например, подбрасывание честной монеты дважды даст результаты «голова-голова», «голова-хвост», «хвост-голова» и «хвост-хвост». Вероятность получения результата «голова-голова» составляет 1 из 4 исходов, или, в числовом выражении, 1/4, 0,25 или 25%. Однако, когда дело доходит до практического применения, существуют две основные конкурирующие категории вероятностных интерпретаций, сторонники которых придерживаются разных взглядов на фундаментальную природу вероятности:

1. Объективисты присваивайте числа для описания некоторого объективного или физического состояния дел. Самая популярная версия объективной вероятности частотная вероятность, который утверждает, что вероятность случайного события обозначает относительная частота встречаемости результата эксперимента, когда эксперимент повторяется бесконечно. Эта интерпретация рассматривает вероятность как относительную частоту «в долгосрочной перспективе» результатов.^[4] Модификация этого вероятность предрасположенности, который интерпретирует вероятность как тенденцию некоторого эксперимента дать определенный результат, даже если он проводится только один раз.
2. Субъективисты присваивайте числа для субъективной вероятности, то есть степени веры.^[5] Степень уверенности была интерпретирована как «цена, по которой вы купили бы или продали ставку, которая платит 1 единицу полезности, если E, 0, если не E».^[6] Самая популярная версия субъективной вероятности - Байесовская вероятность, который включает в себя экспертные знания, а также экспериментальные данные для расчета вероятностей. Экспертные знания представлены некоторыми (субъективными) априорное распределение вероятностей. Эти данные включены в функция правдоподобия. Произведение априорной вероятности и вероятности при нормализации приводит к апостериорное распределение вероятностей который включает в себя всю известную на сегодняшний день информацию.^[7] К Теорема согласия Ауманна, Байесовские агенты, чьи предыдущие убеждения схожи, в конечном итоге будут иметь аналогичные последующие убеждения. Однако достаточно разные априорные значения могут привести к разным выводам, независимо от того, сколько информации используют агенты.^[8]

Этимология

Слово вероятность происходит от латинского probabilitas, что также может означать "честность ", мера орган власти из свидетель в судебное дело в Европа, и часто коррелирует с показаниями свидетеля благородство. В некотором смысле это сильно отличается от современного значения слова вероятность, что, напротив, является мерой веса эмпирическое доказательство, и получается из индуктивное мышление и статистические выводы.^[9]

История

Научное исследование вероятности - это современная разработка математика. Играть в азартные игры показывает, что интерес к количественной оценке идей вероятности проявлялся на протяжении тысячелетий, но точные математические описания возникли намного позже. Есть причины медленного развития математики вероятностей. В то время как азартные игры послужили толчком для математического изучения вероятностей, фундаментальные вопросы^{[требуется разъяснение ]} до сих пор скрыты суевериями игроков.^[10]

В соответствии с Ричард Джеффри, "До середины семнадцатого века термин" вероятный "(лат. вероятность) имел ввиду приемлемый, и в этом смысле однозначно применялся к мнению и к действию. Возможное действие или мнение - это то, что разумные люди предпримут или придерживаются в данных обстоятельствах ».^[11] Однако, особенно в правовом контексте, «вероятный» может также применяться к предложениям, для которых имеются веские доказательства.^[12]

Аль-Кинди с Книга криптографических сообщений содержит самое раннее известное использование статистические выводы (9 век)

Самые ранние известные формы вероятности и статистика были разработаны Математики Ближнего Востока изучение криптография между 8 и 13 веками. Аль-Халиль (717–786) написал Книга криптографических сообщений который содержит первое использование перестановки и комбинации перечислить все возможные арабский слова с гласными и без них. Аль-Кинди (801–873) самое раннее известное использование статистические выводы в своей работе над криптоанализ и частотный анализ. Важный вклад Ибн Адлан (1187–1268) был на размер образца для использования частотного анализа.^[13]

Джероламо Кардано (16-ый век)

Кристиан Гюйгенс опубликовал одну из первых книг по вероятности (17 век)

Шестнадцатый век Итальянский эрудит Джероламо Кардано продемонстрировал эффективность определения шансы как отношение благоприятных исходов к неблагоприятным (что означает, что вероятность события определяется отношением благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов).^[14]Помимо элементарной работы Кардано, доктрина вероятностей восходит к соответствию Пьер де Ферма и Блез Паскаль (1654). Кристиан Гюйгенс (1657) дал самую раннюю известную научную трактовку этого предмета.^[15] Якоб Бернулли с Ars Conjectandi (посмертно, 1713 г.) и Абрахам де Муавр с Доктрина шансов (1718) рассматривал этот предмет как раздел математики.^[16] Видеть Ян Хакинг с Возникновение вероятности^[9] и Джеймса Франклина Наука предположений^[17] для историй раннего развития самого понятия математической вероятности.

В теория ошибок может быть прослежен до Роджер Котс с Опера Разное (посмертно, 1722 г.), но мемуары подготовили Томас Симпсон в 1755 г. (напечатано 1756 г.) впервые применил теорию к обсуждению ошибок наблюдения.^[18] В переиздании (1757 г.) этого мемуара излагаются аксиомы, согласно которым положительные и отрицательные ошибки равновероятны и что определенные приписываемые пределы определяют диапазон всех ошибок. Симпсон также обсуждает непрерывные ошибки и описывает кривую вероятности.

Первые два предложенных закона ошибки возникли в Пьер-Симон Лаплас. Первый закон был опубликован в 1774 году и гласил, что частота ошибки может быть выражена как экспоненциальная функция от числовой величины ошибки - без учета знака. Второй закон ошибки был предложен в 1778 году Лапласом и заявил, что частота ошибки является экспоненциальной функцией квадрата ошибки.^[19] Второй закон ошибки называется нормальным распределением или законом Гаусса. «Исторически трудно приписать этот закон Гауссу, который, несмотря на свою хорошо известную скороспелость, вероятно, не сделал этого открытия до того, как ему исполнилось два года».^[19]

Даниэль Бернулли (1778) ввел принцип максимального произведения вероятностей системы одновременных ошибок.

Карл Фридрих Гаусс

Адриан-Мари Лежандр (1805) разработал метод наименьших квадратов, и представил его в своем Новые методы определения орбиты комет (Новые методы определения орбит комет).^[20] Не зная о вкладе Лежандра, американского писателя ирландского происхождения, Роберт Адрейн, редактор «Аналитика» (1808), первым вывел закон возможности ошибки,

${displaystyle phi (x) = ce ^ {- h ^ {2} x ^ {2}},}$

куда ${displaystyle h}$ - константа, зависящая от точности наблюдения, а ${displaystyle c}$ является масштабным коэффициентом, гарантирующим, что площадь под кривой равна 1. Он привел два доказательства, второе по существу такое же, как Джон Гершель s (1850 г.).^{[нужна цитата ]} Гаусс дал первое доказательство, которое, кажется, было известно в Европе (третье после Адрейна) в 1809 году. Дальнейшие доказательства были даны Лапласом (1810, 1812), Гауссом (1823), Джеймс Айвори (1825, 1826), Хаген (1837), Фридрих Бессель (1838), W.F. Донкин (1844, 1856), и Морган Крофтон (1870). Другими участниками были Эллис (1844 г.), Де Морган (1864), Глейшер (1872 г.), и Джованни Скиапарелли (1875). Питерс формула (1856 г.)^{[требуется разъяснение ]} за р, то вероятная ошибка одного наблюдения, хорошо известно.

В XIX веке авторы общей теории включали Лаплас, Сильвестр Лакруа (1816), Литтроу (1833), Адольф Кетле (1853), Ричард Дедекинд (1860), Гельмерт (1872), Герман Лоран (1873), Лиагре, Дидион и Карл Пирсон. Огастес Де Морган и Джордж Буль улучшил изложение теории.

В 1906 г. Андрей Марков представил^[21] понятие Цепи Маркова, сыгравшие важную роль в случайные процессы теория и ее приложения. Современная теория вероятностей, основанная на теория меры был разработан Андрей Колмогоров в 1931 г.^[22]

С геометрической точки зрения участники Образовательные времена были влиятельными (Миллер, Крофтон, Макколл, Вольстенхолм, Ватсон и Артемас Мартин ).^[23] Видеть интегральная геометрия для получения дополнительной информации.

Теория

Как и другие теории, то теория вероятности представляет собой представление его концепций в формальных терминах, то есть в терминах, которые можно рассматривать отдельно от их значения. Эти формальные термины регулируются правилами математики и логики, и любые результаты интерпретируются или переводятся обратно в проблемную область.

Было как минимум две успешные попытки формализовать вероятность, а именно: Колмогоров формулировка и Кокс формулировка. В формулировке Колмогорова (см. Также вероятностное пространство ), наборы интерпретируются как События и вероятность как мера по классу множеств. В Теорема Кокса вероятность считается примитивной (т.е.не анализируется далее), и упор делается на построение последовательного присвоения значений вероятности предложениям. В обоих случаях законы вероятности такие же, за исключением технических деталей.

Существуют и другие методы количественной оценки неопределенности, такие как Теория Демпстера – Шафера или же теория возможностей, но они существенно отличаются и несовместимы с обычно понимаемыми законами вероятности.

Приложения

Теория вероятностей применяется в повседневной жизни в рисковать оценка и моделирование. Страховая отрасль и рынки использовать актуарная наука для определения цен и принятия торговых решений. Правительства применяют вероятностные методы в экологическое регулирование, анализ прав (теория надежности старения и долголетия ), и финансовое регулирование.

Хорошим примером использования теории вероятностей в торговле акциями является влияние предполагаемой вероятности любого широко распространенного ближневосточного конфликта на цены на нефть, что оказывает волновое воздействие на экономику в целом. Оценка трейдером сырьевых товаров о том, что война более вероятна, может привести к повышению или падению цен на этот товар и сигнализирует другим трейдерам об этом мнении. Соответственно, вероятности не оцениваются ни независимо, ни обязательно рационально. Теория поведенческие финансы возникло, чтобы описать эффект таких групповое мышление о ценах, политике, мире и конфликтах.^[24]

В дополнение к финансовой оценке вероятность может использоваться для анализа тенденций в биологии (например, распространение болезней), а также в экологии (например, биологические квадраты Пеннета). Как и в случае с финансами, оценка риска может использоваться в качестве статистического инструмента для расчета вероятности возникновения нежелательных событий и может помочь в реализации протоколов, позволяющих избежать возникновения таких обстоятельств. Вероятность используется для проектирования азартные игры так что казино могут получать гарантированную прибыль, но при этом выплачивать игрокам достаточно частые выплаты для поощрения продолжения игры.^[25]

Открытие строгих методов оценки и комбинирования оценок вероятности изменило общество.^{[26][нужна цитата ]}

Еще одно важное применение теории вероятностей в повседневной жизни: надежность. Многие потребительские товары, такие как автомобили и бытовой электроники, используйте теорию надежности при разработке продукта, чтобы снизить вероятность отказа. Вероятность отказа может повлиять на решения производителя относительно продукта. гарантия.^[27]

В модель языка кеширования и другие статистические языковые модели которые используются в обработка естественного языка также являются примерами приложений теории вероятностей.

Математическая обработка

Расчет вероятности (риска) против шансов

Рассмотрим эксперимент, который может дать ряд результатов. Набор всех возможных результатов называется пространство образца эксперимента, иногда обозначаемый как ${displaystyle Omega}$.^[28] В набор мощности пространства выборки формируется путем рассмотрения всех различных наборов возможных результатов. Например, прокатка матрицы может дать шесть возможных результатов. Один набор возможных результатов дает нечетное число на кубике. Таким образом, подмножество {1,3,5} является элементом набор мощности пробного пространства бросков костей. Эти коллекции называются «событиями». В этом случае {1,3,5} - это событие, когда кубик выпадает на нечетное число. Если результаты, которые действительно происходят, попадают в данное событие, говорят, что событие произошло.

Вероятность - это способ присвоения каждому событию присваивается значение от нуля до единицы с требованием, чтобы событию, состоящему из всех возможных результатов (в нашем примере событию {1,2,3,4,5,6}) присваивалось значение единицы. Чтобы считаться вероятным, присвоение значений должно удовлетворять требованию, согласно которому для любого набора взаимоисключающих событий (событий без общих результатов, таких как события {1,6}, {3} и {2,4}) , вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий, определяется суммой вероятностей всех отдельных событий.^[29]

Вероятность мероприятие А записывается как ${displaystyle P (A)}$,^[28][30] ${displaystyle p (A)}$, или же ${displaystyle {ext {Pr}} (A)}$.^[31] Это математическое определение вероятности может распространяться на бесконечные выборочные пространства и даже на бесчисленные выборочные пространства, используя концепцию меры.

В противоположный или же дополнять события А это событие [не А] (то есть событие А не встречается), часто обозначается как ${displaystyle A ', A ^ {c}}$,^[28] ${displaystyle {overline {A}}, A ^ {complement}, например, A}$, или же ${displaystyle {sim} A}$; его вероятность определяется выражением п(нет А) = 1 − п(А).^[32] Например, шанс не выбросить шестерку на шестигранной кости составляет 1 - (шанс выпадения шестерки) ${displaystyle = 1- {frac {1} {6}} = {frac {5} {6}}}$. Для более полного лечения см. Дополнительное мероприятие.

Если два события А и B возникают при одном выполнении эксперимента, это называется пересечением или совместная вероятность из А и B, обозначенный как ${displaystyle P (Acap B)}$.^[28]

Независимые мероприятия

Если два события, А и B находятся независимый тогда совместная вероятность равна^[30]

${displaystyle P (A {mbox {and}} B) = P (Acap B) = P (A) P (B).}$

Например, если две монеты перевернуты, то вероятность того, что обе будут орлом, равна ${displaystyle {frac {1} {2}} imes {frac {1} {2}} = {frac {1} {4}}}$.^[33]

Взаимоисключающие события

Если любое событие А или событие B могут происходить, но никогда оба одновременно, тогда они называются взаимоисключающими событиями.

Если два события взаимоисключающий, то вероятность обе происходящее обозначается как ${displaystyle P (Acap B)}$ и

${displaystyle P (A {mbox {и}} B) = P (Acap B) = 0}$

Если два события взаимоисключающий, то вероятность либо происходящее обозначается как ${displaystyle P (Acup B)}$ и

${displaystyle P (A {mbox {или}} B) = P (Acup B) = P (A) + P (B) -P (Acap B) = P (A) + P (B) -0 = P ( A) + P (B)}$

Например, шанс выпадения 1 или 2 на шестигранной умереть является ${displaystyle P (1 {mbox {or}} 2) = P (1) + P (2) = {frac {1} {6}} + {frac {1} {6}} = {frac {1} { 3}}.}$

Не исключающие друг друга события

Если события не исключают друг друга, тогда

${displaystyle Pleft (A {hbox {или}} Bight) = P (Acup B) = Pleft (Aight) + Pleft (Bight) -Pleft (A {mbox {и}} Bight).}$

Например, при случайном вытягивании одной карты из обычной колоды карт шанс получить сердечко или лицевую карту (J, Q, K) (или и то, и другое) равен ${displaystyle {frac {13} {52}} + {frac {12} {52}} - {frac {3} {52}} = {frac {11} {26}}}$, поскольку среди 52 карт в колоде 13 - это червы, 12 - лицевые карты и 3 - обе: здесь возможности, включенные в «3, которые являются обеими», включены в каждую из «13 червей» и «12». лицевые карты », но следует считать только один раз.

Условная возможность

Условная возможность это вероятность какого-то события А, учитывая наступление какого-то другого события B.Условная вероятность записывается ${displaystyle P (на фоне B)}$,^[28] и читается как "вероятность А, данный B". Он определяется^[34]

${displaystyle P (Amid B) = {гидроразрыв {P (Acap B)} {P (B)}}.,}$

Если ${displaystyle P (B) = 0}$ тогда ${displaystyle P (на фоне B)}$ формально неопределенный этим выражением. Однако можно определить условную вероятность некоторых событий с нулевой вероятностью, используя σ-алгебра таких событий (например, возникающих из непрерывная случайная величина ).^{[нужна цитата ]}

Например, в сумке из 2 красных и 2 синих мячей (всего 4 шара) вероятность взять красный мяч равна ${displaystyle 1/2}$; однако при взятии второго мяча вероятность того, что это будет красный или синий мяч, зависит от ранее взятого мяча. Например, если был взят красный шар, то вероятность снова выбрать красный шар будет равна ${displaystyle 1/3}$, так как остался бы только 1 красный и 2 синих шара.

Обратная вероятность

В теория вероятности и приложения, Правило Байеса связывает шансы события ${displaystyle A_ {1}}$ к событию ${displaystyle A_ {2}}$, до (до) и после (после) кондиционирование на другом мероприятии ${displaystyle B}$. Шансы на ${displaystyle A_ {1}}$ к событию ${displaystyle A_ {2}}$ это просто отношение вероятностей двух событий. Когда сколь угодно много событий ${displaystyle A}$ представляют интерес, а не два, правило можно перефразировать как апостериорная пропорциональна вероятности предшествующего времени, ${displaystyle P (A | B) propto P (A) P (B | A)}$ где символ пропорциональности означает, что левая часть пропорциональна (т.е. равна постоянному времени) правой части, как ${displaystyle A}$ варьируется, для фиксированных или заданных ${displaystyle B}$ (Ли, 2012; Берч МакГрейн, 2012). В таком виде он восходит к Лапласу (1774 г.) и Курно (1843 г.); см. Fienberg (2005). Видеть Обратная вероятность и Правило Байеса.

Сводка вероятностей

Сводка вероятностей

Мероприятие	Вероятность
А	${displaystyle P (A) in [0,1],}$
не А	${displaystyle P (A ^ {дополнение}) = 1-P (A),}$
А или В	${displaystyle {egin {выровнено} P (Acup B) & = P (A) + P (B) -P (Acap B) P (Acup B) & = P (A) + P (B) qquad {mbox { если A и B являются взаимоисключающими}} end {align}}}$
А и Б	${displaystyle {egin {выровнено} P (Acap B) & = P (A | B) P (B) = P (B | A) P (A) P (Acap B) & = P (A) P (B ) qquad {mbox {если A и B независимы}} end {align}}}$
Данный B	${displaystyle P (Amid B) = {гидроразрыв {P (Acap B)} {P (B)}} = {гидроразрыв {P (B | A) P (A)} {P (B)}},}$

Связь со случайностью и вероятностью в квантовой механике

В детерминированный Вселенная, основанная на Ньютоновский концепции, не было бы вероятности, если бы все условия были известны (Демон лапласа ), (но бывают ситуации, в которых чувствительность к начальным условиям превышает нашу способность их измерить, т.е. знать их). В случае рулетка колеса, если сила руки и период действия этой силы известны, число, на котором шарик остановится, будет определенным (хотя с практической точки зрения это, вероятно, верно только для колеса рулетки, которое не было ровно выровнен - ​​как Томас А. Басс » Ньютонское казино раскрытый). Это также предполагает знание инерции и трения колеса, веса, гладкости и округлости мяча, изменений скорости руки во время поворота и так далее. Таким образом, вероятностное описание может быть более полезным, чем механика Ньютона, для анализа закономерностей результатов повторных бросков колеса рулетки. Физики сталкиваются с такой же ситуацией в кинетическая теория газов, где система, в то время как детерминированная в принципе, настолько сложен (количество молекул обычно порядка величины Константа Авогадро 6.02×10²³), что возможно только статистическое описание его свойств.

Теория вероятности требуется для описания квантовых явлений.^[35] Революционное открытие начала 20 века физика был случайным характером всех физических процессов, которые происходят на субатомных масштабах и подчиняются законам квантовая механика. Цель волновая функция развивается детерминированно, но, согласно Копенгагенская интерпретация, он имеет дело с вероятностями наблюдения, результат объясняется коллапс волновой функции когда сделано наблюдение. Однако потеря детерминизм во имя инструментализм не встретил всеобщего одобрения. Альберт Эйнштейн лихо заметил в письме к Макс Борн: «Я убежден, что Бог не играет в кости».^[36] Как Эйнштейн, Эрвин Шредингер, ВОЗ обнаруженный волновая функция, как считала квантовая механика, статистический приближение основного детерминированного реальность.^[37] В некоторых современных интерпретациях статистической механики измерения квантовая декогеренция используется для объяснения появления субъективно вероятностных экспериментальных результатов.

Смотрите также

• Шанс (значения)
• Вероятности членства в классе
• Непредвиденные обстоятельства
• Равновероятность
• Эвристика в суждении и принятии решений
• Теория вероятности
• Случайность
• Статистика
• Оценщики
• Теория оценок
• Функция плотности вероятности
• Попарная независимость

В Закон

• Баланс вероятностей

Примечания

Рекомендации

Библиография

• Калленберг, О. (2005) Вероятностные симметрии и принципы инвариантности. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. 510 стр.ISBN  0-387-25115-4
• Калленберг, О. (2002) Основы современной вероятности, 2-е изд. Серия Спрингера в статистике. 650 стр.ISBN  0-387-95313-2
• Олофссон, Питер (2005) Вероятность, статистика и случайные процессы, Wiley-Interscience. 504 стр. ISBN  0-471-67969-0.

внешняя ссылка

• Виртуальные лаборатории теории вероятностей и статистики (Университет Ала-Хантсвилл)
• Вероятность на В наше время на BBC
• Электронная книга вероятностей и статистики
• Эдвин Томпсон Джейнс. Теория вероятностей: логика науки. Препринт: Вашингтонский университет, (1996). - HTML-индекс со ссылками на файлы PostScript и PDF (первые три главы)
• Люди из истории вероятности и статистики (Саутгемптонский университет)
• Вероятность и статистика самых ранних использований страниц (Саутгемптонский университет)
• Самые ранние случаи использования символов в теории вероятностей и статистике на Самые ранние случаи использования различных математических символов
• Учебное пособие по вероятности и теореме Байеса для студентов первого курса Оксфордского университета
• [1] pdf файл Антология случайных операций (1963) в UbuWeb
• Введение в вероятность - электронная книга, Чарльз Гринстед, Лори Снелл Источник (Лицензия свободной документации GNU )
• (на английском и итальянском языках) Бруно де Финетти, Probabilità e индукция, Болонья, CLUEB, 1993. ISBN  88-8091-176-7 (цифровая версия)
• Лекция Ричарда П. Фейнмана о вероятности.