Теория возможностей - Possibility theory

Теория возможностей математическая теория для работы с определенными типами неуверенность и является альтернативой теория вероятности. Он использует меры возможности и необходимости от 0 до 1, от невозможного до возможного и от ненужного к необходимому, соответственно. Профессор Лотфи Заде впервые представил теорию возможностей в 1978 году как расширение своей теории нечеткие множества и нечеткая логика. Дидье Дюбуа и Анри Прад внес свой вклад в его развитие. Ранее в 1950-х годах экономист Г. Л. С. Шэкл предложил мин / макс алгебра чтобы описать степень потенциальной неожиданности.

Формализация возможности

Для простоты предположим, что вселенная дискурса Ω - конечное множество. Возможная мера - это функция из в [0, 1] такой, что:

Аксиома 1:
Аксиома 2:
Аксиома 3: для любых непересекающихся подмножеств и .

Отсюда следует, что, как и вероятность, мера возможности определяется ее поведением на одиночных объектах:

при условии, что U конечна или счетно бесконечна.

Аксиому 1 можно интерпретировать как допущение, что Ω является исчерпывающим описанием будущих состояний мира, потому что это означает, что никакое значение веры не придается элементам вне Ω.

Аксиому 2 можно интерпретировать как предположение, что доказательства, из которых был построен без противоречий. Технически это означает, что в Ω есть хотя бы один элемент с возможностью 1.

Аксиома 3 соответствует аксиоме аддитивности в вероятностях. Однако есть важное практическое отличие. Теория вероятностей более удобна в вычислительном отношении, поскольку аксиомы 1–3 подразумевают, что:

за любой подмножества и .

Поскольку о возможности объединения можно узнать из возможности каждого компонента, можно сказать, что возможность композиционный относительно оператора объединения. Обратите внимание, однако, что он не является композиционным по отношению к оператору пересечения. В общем:

Когда Ω не конечно, аксиому 3 можно заменить на:

Для всех наборов индексов , если подмножества попарно не пересекаются,

Необходимость

В то время как теория вероятности использует одно число, вероятность, для описания вероятности того, что событие может произойти, теория возможностей использует два понятия: возможность и необходимость события. Для любого набора , мера необходимости определяется формулой

В приведенной выше формуле обозначает дополнение , то есть элементы которые не принадлежат . Несложно показать, что:

для любого

и что:

Обратите внимание, что вопреки теории вероятностей, возможность не самодвойственна. То есть на любое мероприятие , имеем только неравенство:

Однако справедливо следующее правило двойственности:

На любое мероприятие , либо , или же

Соответственно, представления о событии могут быть представлены числом и битом.

Интерпретация

Есть четыре случая, которые можно интерпретировать следующим образом:

Значит это необходимо. конечно верно. Это означает, что .

Значит это невозможно. конечно ложно. Это означает, что .

Значит это возможно. Я бы совсем не удивился, если происходит. Это оставляет непринужденный.

Значит это не нужно. Я бы совсем не удивился, если не происходит. Это оставляет непринужденный.

Пересечение двух последних случаев есть и Это означает, что я вообще ни во что не верю . Поскольку она допускает подобную неопределенность, теория возможностей связана с градацией многозначной логики, такой как интуиционистская логика, а не классическая двузначная логика.

Обратите внимание, что, в отличие от возможности, нечеткая логика является композиционной по отношению к оператору объединения и пересечения. Связь с нечеткой теорией можно пояснить на следующем классическом примере.

  • Нечеткая логика: когда бутылка наполовину полна, можно сказать, что уровень истинности утверждения «Бутылка полна» составляет 0,5. Слово «полный» рассматривается как нечеткое предикат, описывающий количество жидкости в бутылке.
  • Теория возможности: есть одна бутылка, либо полностью полная, либо полностью пустая. Утверждение «уровень вероятности того, что бутылка полна, составляет 0,5» описывает степень уверенности. Один из способов интерпретировать 0,5 в этом предложении - определить его значение следующим образом: я готов поспорить, что он пуст, пока шансы равны (1: 1) или выше, и я бы ни в коем случае не ставил, что он полон.

Теория возможностей как неточная теория вероятностей

Между теориями вероятностей и возможностей существует обширное формальное соответствие, где оператор сложения соответствует оператору максимума.

Мера возможности может рассматриваться как согласный звук. мера правдоподобия в Теория Демпстера – Шафера доказательств. Операторы теории возможностей можно рассматривать как чрезмерно осторожную версию операторов теории возможностей. переносимая модель убеждений, современное развитие теории доказательств.

Возможность можно рассматривать как верхняя вероятность: любое распределение возможностей определяет уникальный набор credal множество допустимых распределений вероятностей

Это позволяет изучать теорию возможностей с помощью инструментов неточные вероятности.

Логика необходимости

Мы называем обобщенная возможность любую функцию, удовлетворяющую аксиоме 1 и аксиоме 3. Мы называем общая необходимость двойственность обобщенной возможности. Обобщенные потребности связаны с очень простой и интересной нечеткой логикой, которую мы называем логика необходимости. В дедуктивном аппарате логики необходимости логические аксиомы являются обычными классическими аксиомами. тавтологии. Кроме того, существует только правило нечеткого вывода, расширяющее обычный Modus Ponens. Такое правило гласит, что если α и α → β доказаны на степени λ и μ соответственно, то мы можем утверждать β на степени min {λ, μ}. Легко видеть, что теории такой логики являются обобщенными потребностями и что полностью согласованные теории совпадают с потребностями (см., Например, Gerla 2001).

Смотрите также

Рекомендации