Теория возможностей - Possibility theory
Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты.Февраль 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) ( |
Теория возможностей математическая теория для работы с определенными типами неуверенность и является альтернативой теория вероятности. Он использует меры возможности и необходимости от 0 до 1, от невозможного до возможного и от ненужного к необходимому, соответственно. Профессор Лотфи Заде впервые представил теорию возможностей в 1978 году как расширение своей теории нечеткие множества и нечеткая логика. Дидье Дюбуа и Анри Прад внес свой вклад в его развитие. Ранее в 1950-х годах экономист Г. Л. С. Шэкл предложил мин / макс алгебра чтобы описать степень потенциальной неожиданности.
Формализация возможности
Для простоты предположим, что вселенная дискурса Ω - конечное множество. Возможная мера - это функция из в [0, 1] такой, что:
- Аксиома 1:
- Аксиома 2:
- Аксиома 3: для любых непересекающихся подмножеств и .
Отсюда следует, что, как и вероятность, мера возможности определяется ее поведением на одиночных объектах:
при условии, что U конечна или счетно бесконечна.
Аксиому 1 можно интерпретировать как допущение, что Ω является исчерпывающим описанием будущих состояний мира, потому что это означает, что никакое значение веры не придается элементам вне Ω.
Аксиому 2 можно интерпретировать как предположение, что доказательства, из которых был построен без противоречий. Технически это означает, что в Ω есть хотя бы один элемент с возможностью 1.
Аксиома 3 соответствует аксиоме аддитивности в вероятностях. Однако есть важное практическое отличие. Теория вероятностей более удобна в вычислительном отношении, поскольку аксиомы 1–3 подразумевают, что:
- за любой подмножества и .
Поскольку о возможности объединения можно узнать из возможности каждого компонента, можно сказать, что возможность композиционный относительно оператора объединения. Обратите внимание, однако, что он не является композиционным по отношению к оператору пересечения. В общем:
Когда Ω не конечно, аксиому 3 можно заменить на:
- Для всех наборов индексов , если подмножества попарно не пересекаются,
Необходимость
В то время как теория вероятности использует одно число, вероятность, для описания вероятности того, что событие может произойти, теория возможностей использует два понятия: возможность и необходимость события. Для любого набора , мера необходимости определяется формулой
В приведенной выше формуле обозначает дополнение , то есть элементы которые не принадлежат . Несложно показать, что:
- для любого
и что:
Обратите внимание, что вопреки теории вероятностей, возможность не самодвойственна. То есть на любое мероприятие , имеем только неравенство:
Однако справедливо следующее правило двойственности:
- На любое мероприятие , либо , или же
Соответственно, представления о событии могут быть представлены числом и битом.
Интерпретация
Есть четыре случая, которые можно интерпретировать следующим образом:
Значит это необходимо. конечно верно. Это означает, что .
Значит это невозможно. конечно ложно. Это означает, что .
Значит это возможно. Я бы совсем не удивился, если происходит. Это оставляет непринужденный.
Значит это не нужно. Я бы совсем не удивился, если не происходит. Это оставляет непринужденный.
Пересечение двух последних случаев есть и Это означает, что я вообще ни во что не верю . Поскольку она допускает подобную неопределенность, теория возможностей связана с градацией многозначной логики, такой как интуиционистская логика, а не классическая двузначная логика.
Обратите внимание, что, в отличие от возможности, нечеткая логика является композиционной по отношению к оператору объединения и пересечения. Связь с нечеткой теорией можно пояснить на следующем классическом примере.
- Нечеткая логика: когда бутылка наполовину полна, можно сказать, что уровень истинности утверждения «Бутылка полна» составляет 0,5. Слово «полный» рассматривается как нечеткое предикат, описывающий количество жидкости в бутылке.
- Теория возможности: есть одна бутылка, либо полностью полная, либо полностью пустая. Утверждение «уровень вероятности того, что бутылка полна, составляет 0,5» описывает степень уверенности. Один из способов интерпретировать 0,5 в этом предложении - определить его значение следующим образом: я готов поспорить, что он пуст, пока шансы равны (1: 1) или выше, и я бы ни в коем случае не ставил, что он полон.
Теория возможностей как неточная теория вероятностей
Между теориями вероятностей и возможностей существует обширное формальное соответствие, где оператор сложения соответствует оператору максимума.
Мера возможности может рассматриваться как согласный звук. мера правдоподобия в Теория Демпстера – Шафера доказательств. Операторы теории возможностей можно рассматривать как чрезмерно осторожную версию операторов теории возможностей. переносимая модель убеждений, современное развитие теории доказательств.
Возможность можно рассматривать как верхняя вероятность: любое распределение возможностей определяет уникальный набор credal множество допустимых распределений вероятностей
Это позволяет изучать теорию возможностей с помощью инструментов неточные вероятности.
Логика необходимости
Мы называем обобщенная возможность любую функцию, удовлетворяющую аксиоме 1 и аксиоме 3. Мы называем общая необходимость двойственность обобщенной возможности. Обобщенные потребности связаны с очень простой и интересной нечеткой логикой, которую мы называем логика необходимости. В дедуктивном аппарате логики необходимости логические аксиомы являются обычными классическими аксиомами. тавтологии. Кроме того, существует только правило нечеткого вывода, расширяющее обычный Modus Ponens. Такое правило гласит, что если α и α → β доказаны на степени λ и μ соответственно, то мы можем утверждать β на степени min {λ, μ}. Легко видеть, что теории такой логики являются обобщенными потребностями и что полностью согласованные теории совпадают с потребностями (см., Например, Gerla 2001).
Смотрите также
- Логическая возможность
- Вероятностная логика
- Теория нечеткой меры
- Верхняя и нижняя вероятности
- Переносимая модель убеждений
- Случайно-нечеткая переменная
Рекомендации
- Дюбуа, Дидье и Прад, Анри "Теория возможностей, теория вероятностей и многозначная логика: пояснение ", Анналы математики и искусственного интеллекта 32:35–66, 2002.
- Герла Джиангакомо, Нечеткая логика: математические инструменты для приближенного рассуждения, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2001.
- Ладислав Дж. Когоут, "Теории возможности: метааксиоматика и семантика ", Нечеткие множества и системы 25:357-367, 1988.
- Заде, Лотфи, "Нечеткие множества как основа теории возможностей", Нечеткие множества и системы 1: 3–28, 1978. (Перепечатано в Нечеткие множества и системы 100 (Приложение): 9–34, 1999.)
- Брайан Р. Гейнс и Ладислав Дж. Когоут, «Возможные автоматы», в Трудах Международного симпозиума по многозначной логике, стр. 183-192, Блумингтон, Индиана, 13-16 мая 1975 г.