Неточная вероятность - Imprecise probability

Неточная вероятность обобщает теория вероятности чтобы учесть частичные характеристики вероятности, и применимо, когда информация недостаточна, расплывчата или противоречит, и в этом случае уникальная распределение вероятностей может быть трудно идентифицировать. Таким образом, теория стремится более точно представить имеющиеся знания. Неточность полезна при работе с экспертное заключение, потому что:

  • Люди имеют ограниченную способность определять свои собственные субъективные вероятности и могут обнаружить, что могут предоставить только интервал.
  • Поскольку интервал совместим с множеством мнений, анализ должен быть более убедительным для множества разных людей.

Введение

Неопределенность традиционно моделируется вероятность распространение, разработанное Колмогоров,[1] Лаплас, де Финетти,[2] Рэмси, Кокс, Линдли, и многие другие. Однако это не было единодушно принято учеными, статистиками и специалистами по теории вероятностей: утверждалось, что требуется некоторая модификация или расширение теории вероятностей, потому что не всегда можно обеспечить вероятность для каждого события, особенно когда это мало информация или данные доступны - одним из первых примеров такой критики является Логический критика[3] из Лаплас или когда мы хотим смоделировать вероятности, с которыми согласна группа, а не вероятность одного человека.

Возможно, наиболее распространенным обобщением является замена одной спецификации вероятности спецификацией интервала. Нижняя и верхняя вероятности, обозначаемый и или, в более общем смысле, нижние и верхние ожидания (предвидения),[4][5][6][7] стремятся восполнить этот пробел. Функция более низкой вероятности супераддитив но не обязательно аддитивно, тогда как верхняя вероятность субаддитивна. Чтобы получить общее представление о теории, рассмотрите:

  • особый случай с на все мероприятия эквивалентно точной вероятности
  • и для всех нетривиальных событий не представляет никаких ограничений на спецификацию

Тогда у нас есть гибкий континуум более или менее точных промежуточных моделей.

Некоторые подходы, обобщенные под названием неаддитивные вероятности,[8] напрямую использовать один из этих набор функций, предполагая, что другой естественно определен так, что , с участием дополнение . Другие связанные понятия понимают соответствующие интервалы для всех событий в качестве основного объекта.[9][10]

История

Идея использовать неточную вероятность имеет давнюю историю. Первое официальное обращение датируется по крайней мере серединой девятнадцатого века. Джордж Буль,[3] кто стремился примирить теории логики (которые могут выражать полное незнание) и теории вероятности. В 1920-е гг. В Трактат о вероятности, Кейнс[11] сформулировал и применил явный подход интервальной оценки к вероятности. Работа над неточными вероятностными моделями продолжалась в течение всего ХХ века, с важным вкладом Бернард Купман, ТАКСИ. Смит, I.J. Хорошо, Артур Демпстер, Гленн Шафер, П.М. Уильямс, Генри Кибург, Исаак Леви и Тедди Зайденфельд.[12]В начале 90-х эта область начала набирать обороты с публикацией основополагающей книги Питера Уолли «Статистическое мышление с неточными вероятностями».[7](отсюда и термин «неточная вероятность»). В 1990-е годы также были отмечены важные работы Кузнецова,[13] и Weichselberger,[9][10] кто оба используют термин интервальная вероятность. Теория Уолли расширяет традиционную теорию субъективной вероятности с помощью цен покупки и продажи для азартных игр, тогда как подход Вайхзельбергера обобщает Колмогоров аксиомы без навязывания интерпретации.

Стандартные условия согласованности связывают назначения верхней и нижней вероятности с непустыми замкнутыми выпуклыми наборами распределений вероятностей. Таким образом, в качестве желанного побочного продукта теория также обеспечивает формальную основу для моделей, используемых в надежная статистика[14] и непараметрическая статистика.[15] Включены также концепции, основанные на Интеграция Шоке,[16] и так называемые двухмонотонные и полностью монотонные возможности,[17] которые стали очень популярными в искусственный интеллект под именем (Демпстер-Шафер) функции убеждений.[18][19] Более того, есть сильная связь[20] к Шафер и представление Вовка о теоретико-игровая вероятность.[21]

Математические модели

Термин «неточная вероятность» несколько вводит в заблуждение, поскольку точность часто ошибочно принимают за точность, тогда как неточное представление может быть более точным, чем ложно точное представление. В любом случае этот термин, похоже, утвердился в 1990-х годах и охватывает широкий спектр расширений теории вероятность, в том числе:

Интерпретация неточных вероятностей

Уолли предложил объединение многих из упомянутых выше неточных теорий вероятностей:[7] хотя это никоим образом не первая попытка формализовать неточные вероятности. С точки зрения вероятностные интерпретации, Формулировка Уолли неточных вероятностей основана на субъективный вариант байесовской интерпретации вероятности. Уолли определяет верхнюю и нижнюю вероятности как частные случаи верхних и нижних предвидений, а также систему азартных игр, разработанную Бруно де Финетти. Проще говоря, нижнее предвидение лица, принимающего решения, - это самая высокая цена, по которой лицо, принимающее решение, уверено, что он или она купит азартную игру, а верхнее предвидение - это самая низкая цена, по которой лицо, принимающее решение, уверен, что он или она купит противоположное. игры (что эквивалентно продаже исходной игры). Если верхнее и нижнее предвидения равны, то они вместе представляют Справедливая цена для игры - цена, по которой лицо, принимающее решение, готово принять любую сторону игры. Наличие справедливой цены ведет к точным вероятностям.

Допуск на неточность или разрыв между верхним и нижним предположениями лица, принимающего решения, является основным различием между точными и неточными теориями вероятности. Такие пробелы естественно возникают в рынки ставок которые оказались финансово неликвидный из-за ассиметричная информация. Этот пробел также определяется выражением Генри Кибург неоднократно для его интервальных вероятностей, хотя он и Исаак Леви также укажите другие причины интервалов или наборов распределений, представляющих состояния убеждений.

Проблемы с неточными вероятностями

Одна проблема с неточными вероятностями заключается в том, что часто существует независимая степень осторожности или смелости, присущая использованию одного интервала, а не более широкого или узкого. Это может быть степень уверенности, степень нечеткого членства или порог принятия. Это не такая большая проблема для интервалов, которые являются нижними и верхними границами, полученными из набора распределений вероятностей, например, набора априорных значений с последующей условностью для каждого члена набора. Однако это может привести к вопросу, почему некоторые дистрибутивы включены в набор априорных значений, а некоторые нет.

Другая проблема заключается в том, почему можно быть точным в отношении двух чисел, нижней и верхней границы, а не одного числа, то есть вероятности точки. Этот вопрос может быть чисто риторическим, поскольку надежность модели с интервалами по своей сути выше, чем у модели с точечными вероятностями. Это вызывает опасения по поводу несоответствующих заявлений о точности в конечных точках, а также в отношении значений точек.

Более практический вопрос заключается в том, какая теория принятия решений может использовать неточные вероятности.[31] Для нечетких мер есть работа Ягера.[32] Для выпуклых множеств распределений поучительны работы Леви.[33] Другой подход спрашивает, имеет ли значение пороговое значение, контролирующее смелость интервала, для принятия решения больше, чем просто взятие среднего значения или использование Hurwicz правило принятия решения.[34] В литературе появляются и другие подходы.[35][36][37][38]

Список используемой литературы

  1. ^ Колмогоров, А. Н. (1950). Основы теории вероятностей. Нью-Йорк: издательство Chelsea Publishing Company.
  2. ^ а б де Финетти, Бруно (1974). Теория вероятности. Нью-Йорк: Вили.
  3. ^ а б c Буль, Джордж (1854). Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей.. Лондон: Уолтон и Маберли.
  4. ^ Смит, Седрик А. Б. (1961). «Последовательность статистических выводов и решений». Журнал Королевского статистического общества. B (23): 1–37.
  5. ^ а б c Уильямс, Питер М. (1975). Примечания к условным предвидениям. Школа математики. и Phys. Наук, Univ. Сассекса.
  6. ^ а б c Уильямс, Питер М. (2007). «Примечания к условным предвидениям». Международный журнал приблизительных рассуждений. 44 (3): 366–383. Дои:10.1016 / j.ijar.2006.07.019.
  7. ^ а б c d е Уолли, Питер (1991). Статистические рассуждения с неточными вероятностями. Лондон: Чепмен и Холл. ISBN  978-0-412-28660-5.
  8. ^ Деннеберг, Дитер (1994). Неаддитивная мера и интеграл. Дордрехт: Клувер.
  9. ^ а б c Вайхзельбергер, Курт (2000). «Теория интервальной вероятности как объединяющее понятие неопределенности». Международный журнал приблизительных рассуждений. 24 (2–3): 149–170. Дои:10.1016 / S0888-613X (00) 00032-3.
  10. ^ а б Вайхзельбергер, К. (2001). Elementare Grundbegriffe einer allgemeineren Wahrscheinlichkeitsrechnung I - Intervallwahrscheinlichkeit als umfassendes Konzept. Гейдельберг: Physica.
  11. ^ а б c Кейнс, Джон Мейнард (1921). Трактат о вероятности. Лондон: Macmillan And Co.
  12. ^ https://plato.stanford.edu/entries/imprecise-probabilities/supplement-historical.html
  13. ^ Кузнецов, Владимир П. (1991). Интервальные статистические модели. Москва: Радио и связь.
  14. ^ Руджери, Фабрицио (2000). Надежный байесовский анализ. Д. Риос Инсуа. Нью-Йорк: Спрингер.
  15. ^ Августин, Т .; Кулен, Ф. П. А. (2004). «Непараметрический прогнозный вывод и интервальная вероятность» (PDF). Журнал статистического планирования и вывода. 124 (2): 251–272. Дои:10.1016 / j.jspi.2003.07.003.
  16. ^ de Cooman, G .; Troffaes, M.C.M .; Миранда, Э. (2008). «n-Монотонные точные функционалы». Журнал математического анализа и приложений. 347 (1): 143–156. arXiv:0801.1962. Bibcode:2008JMAA..347..143D. Дои:10.1016 / j.jmaa.2008.05.071.
  17. ^ Huber, P.J .; В. Штрассен (1973). «Минимаксные тесты и лемма Неймана-Пирсона для емкостей». Анналы статистики. 1 (2): 251–263. Дои:10.1214 / aos / 1176342363.
  18. ^ а б Демпстер, А. П. (1967). «Верхняя и нижняя вероятности, индуцированные многозначным отображением». Анналы математической статистики. 38 (2): 325–339. Дои:10.1214 / aoms / 1177698950. JSTOR  2239146.
  19. ^ а б Шафер, Гленн (1976). Математическая теория доказательств. Издательство Принстонского университета.
  20. ^ de Cooman, G .; Германс, Ф. (2008). «Неточные деревья вероятностей: мост между двумя теориями неточной вероятности». Искусственный интеллект. 172 (11): 1400–1427. arXiv:0801.1196. Дои:10.1016 / j.artint.2008.03.001.
  21. ^ Шафер, Гленн; Владимир Вовк (2001). Вероятность и финансы: это всего лишь игра!. Вайли.
  22. ^ Заде, Л. А. (1978). «Нечеткие множества как основа теории возможностей». Нечеткие множества и системы. 1: 3–28. Дои:10.1016/0165-0114(78)90029-5. HDL:10338.dmlcz / 135193.
  23. ^ Дюбуа, Дидье; Анри Прад (1985). Теория возможностей. Париж: Массон.
  24. ^ Дюбуа, Дидье; Анри Прад (1988). Теория возможностей - подход к компьютерной обработке неопределенности. Нью-Йорк: Пленум Пресс.
  25. ^ Troffaes, Matthias C.M .; де Куман, Герт (2014). Нижнее предвидение. Вайли. Дои:10.1002/9781118762622. ISBN  9780470723777.
  26. ^ де Финетти, Бруно (1931). "Sulignato soggettivo della probabilità". Fundamenta Mathematicae. 17: 298–329. Дои:10.4064 / fm-17-1-298-329.
  27. ^ Прекрасно, Терренс Л. (1973). Теории вероятности. Нью-Йорк: Academic Press.
  28. ^ Фишберн, П. С. (1986). «Аксиомы субъективной вероятности». Статистическая наука. 1 (3): 335–358. Дои:10.1214 / сс / 1177013611.
  29. ^ Ферсон, Скотт; Владик Крейнович; Лев Гинзбург; Дэвид С. Майерс; Кари Сенц (2003). "Построение ящиков вероятностей и структур Демпстера-Шейфера". SAND2002-4015. Сандийские национальные лаборатории. Архивировано из оригинал на 2011-07-22. Получено 2009-09-23.
  30. ^ Бергер, Джеймс О. (1984). «Надежная байесовская точка зрения». В Кадане, Дж. Б. (ред.). Устойчивость байесовского анализа. Elsevier Science. стр.63 –144.
  31. ^ Зайденфельд, Тедди. «Решения с неопределенными вероятностями». Поведенческие науки и науки о мозге 6, вып. 2 (1983): 259-261.
  32. ^ Ягер Р. Р., 1978. Нечеткое принятие решений, включая неравные цели. Нечеткие множества и системы, 1 (2), стр.87-95.
  33. ^ Леви, И., 1990. Трудный выбор: принятие решений в условиях неразрешенного конфликта. Издательство Кембриджского университета.
  34. ^ Луи, Р.П., 1986. Решения с неопределенными вероятностями. Теория и решение, 21 (3), стр.283-309.
  35. ^ Го П. и Танака Х., 2010. Принятие решений с интервальными вероятностями. Европейский журнал операционных исследований, 203 (2), стр. 444-454.
  36. ^ Каселтон, В.Ф. и Луо, В., 1992. Принятие решений с неточными вероятностями: теория Демпстера-Шейфера и ее применение. Исследование водных ресурсов, 28 (12), стр 3071-3083.
  37. ^ Бриз, Дж. и Фертиг, К.В., 2013. Принятие решений с помощью интервальных диаграмм влияния. Препринт arXiv arXiv: 1304.1096.
  38. ^ Гарденфорс П. и Сахлин Н.Э., 1982. Ненадежные вероятности, принятие риска и принятие решений. Synthese, 53 (3), стр. 361-386.

Смотрите также

внешние ссылки