Аксиомы вероятности - Probability axioms

Часть серии по статистика
Теория вероятности
Аксиомы вероятности
Пространство вероятностей Образец пространства Элементарное событие Мероприятие Случайная переменная Вероятностная мера
Дополнительное мероприятие Совместная вероятность Предельная вероятность Условная возможность
Независимость Условная независимость Закон полной вероятности Закон больших чисел Теорема Байеса Неравенство Буля
Диаграмма Венна Древовидная диаграмма

В Аксиомы Колмогорова основы теория вероятности представлен Андрей Колмогоров в 1933 г.^[1] Эти аксиомы остаются центральными и вносят прямой вклад в математику, физические науки и реальные вероятностные случаи.^[2] Альтернативный подход к формализации вероятности, одобренный некоторыми Байесовцы, дан кем-то Теорема Кокса.^[3]

Аксиомы

Предположения относительно установки аксиом можно резюмировать следующим образом: Пусть (Ω,F, п) быть измерить пространство с ${displaystyle P (E)}$ будучи вероятность некоторых мероприятие E, и ${displaystyle P (Omega)}$ = 1. Тогда (Ω,F, п) это вероятностное пространство, с пространством отсчетов Ω, пространство событий F и вероятностная мерап.^[1]

Первая аксиома

Вероятность события - неотрицательное действительное число:

${displaystyle P (E) в mathbb {R}, P (E) geq 0qquad forall Ein F}$

куда ${displaystyle F}$ пространство событий. Следует, что ${displaystyle P (E)}$ всегда конечно, в отличие от более общих теория меры. Теории, которые приписывают отрицательная вероятность ослабьте первую аксиому.

Вторая аксиома

Это предположение единица измерения: вероятность того, что хотя бы один из элементарные события во всем пространстве образца произойдет 1

${displaystyle P (Omega) = 1.}$

Третья аксиома

Это предположение σ-аддитивность:

Любой счетный Последовательность из непересекающиеся множества (синоним взаимоисключающий События) ${displaystyle E_ {1}, E_ {2}, ldots}$ удовлетворяет

${displaystyle Pleft (igcup _ {i = 1} ^ {infty} E_ {i} ight) = sum _ {i = 1} ^ {infty} P (E_ {i}).}$

Некоторые авторы считают просто конечно аддитивный вероятностные пространства, и в этом случае просто нужно алгебра множеств, а не σ-алгебра.^[4] Распределения квазивероятностей в общем расслабься с третьей аксиомой.

Последствия

От Колмогоров аксиомы, можно вывести другие полезные правила для изучения вероятностей. Доказательства^[5][6][7] Из этих правил - очень проницательная процедура, которая иллюстрирует силу третьей аксиомы и ее взаимодействие с остальными двумя аксиомами. Ниже показаны четыре непосредственных следствия и их доказательства:

Монотонность

${displaystyle quad {ext {if}} quad Asubseteq Bquad {ext {then}} quad P (A) leq P (B).}$

Если A является подмножеством B или равно ему, то вероятность A меньше или равна вероятности B.

Доказательство монотонности^[5]

Для проверки свойства монотонности положим ${displaystyle E_ {1} = A}$ и ${displaystyle E_ {2} = Bsetminus A}$, куда ${displaystyle Asubseteq B}$ и ${displaystyle E_ {i} = varnothing}$ за ${displaystyle igeq 3}$. Легко видеть, что множества ${displaystyle E_ {i}}$ попарно не пересекаются и ${displaystyle E_ {1} чашка E_ {2} чашка cdots = B}$. Следовательно, из третьей аксиомы получаем, что

${displaystyle P (A) + P (Bsetminus A) + sum _ {i = 3} ^ {infty} P (E_ {i}) = P (B).}$

Поскольку по первой аксиоме левая часть этого уравнения представляет собой серию неотрицательных чисел, и поскольку она сходится к ${displaystyle P (B)}$ что конечно, мы получаем как ${displaystyle P (A) leq P (B)}$ и ${displaystyle P (varnothing) = 0}$.

Вероятность пустого множества

${displaystyle P (varnothing) = 0.}$

В некоторых случаях, ${displaystyle varnothing}$ это не единственное событие с вероятностью 0.

Доказательство вероятности пустого множества

Как показано в предыдущем доказательстве, ${displaystyle P (varnothing) = 0}$. Однако это утверждение воспринимается от противного: если ${displaystyle P (varnothing) = a}$ затем левая сторона ${displaystyle [P (A) + P (Bsetminus A) + sum _ {i = 3} ^ {infty} P (E_ {i})]}$ не меньше бесконечности; ${displaystyle sum _ {i = 3} ^ {infty} P (E_ {i}) = sum _ {i = 3} ^ {infty} P (varnothing) = sum _ {i = 3} ^ {infty} a = {egin {case} 0 & {ext {if}} a = 0, infty & {ext {if}} a> 0.end {cases}}}$

Если ${displaystyle a> 0}$ то получаем противоречие, так как сумма не превосходит ${displaystyle P (B)}$ что конечно. Таким образом, ${displaystyle a = 0}$. В качестве побочного продукта доказательства монотонности мы показали, что ${displaystyle P (varnothing) = 0}$.

Правило дополнения

${displaystyle Pleft (A ^ {c} ight) = P (Omega set минус A) = 1-P (A)}$

Доказательство правила дополнения

Данный ${displaystyle A}$ и ${displaystyle A ^ {c}}$являются взаимоисключающими и что ${displaystyle Acup A ^ {c} = Omega}$:

${displaystyle P (Acup A ^ {c}) = P (A) + P (A ^ {c})}$ ... (по аксиоме 3)

и, ${displaystyle P (Acup A ^ {c}) = P (Омега) = 1}$ ... (по аксиоме 2)

${displaystyle Rightarrow P (A) + P (A ^ {c}) = 1}$

${displaystyle здесь P (A ^ {c}) = 1-P (A)}$

Числовая граница

Из свойства монотонности сразу следует, что

${displaystyle 0leq P (E) leq 1qquad forall Ein F.}$

Доказательство числовой границы

Учитывая правило дополнения ${displaystyle P (E ^ {c}) = 1-P (E)}$ и аксиома 1 ${displaystyle P (E ^ {c}) geq 0}$:

${displaystyle 1-P (E) geq 0}$

${displaystyle Rightarrow 1geq P (E)}$

${displaystyle herefore 0leq P (E) leq 1}$

Дальнейшие последствия

Еще одно важное свойство:

${displaystyle P (Acup B) = P (A) + P (B) -P (Acap B).}$

Это называется законом сложения вероятностей или правилом сумм. А или же B произойдет - это сумма вероятностей того, что А произойдет и это B произойдет, минус вероятность того, что оба А и B случится. Доказательство этого заключается в следующем:

Во-первых,

${displaystyle P (Acup B) = P (A) + P (Bsetminus A)}$ ... (по Аксиоме 3)

Так,

${displaystyle P (Acup B) = P (A) + P (Bsetminus (Acap B))}$ (к ${displaystyle Bsetminus A = Bsetminus (Acap B)}$).

Также,

${displaystyle P (B) = P (Bsetminus (Acap B)) + P (Acap B)}$

и устранение ${displaystyle P (Bsetminus (Acap B))}$ из обоих уравнений дает нам желаемый результат.

Распространением закона сложения на любое количество множеств является принцип включения-исключения.

Параметр B в дополнение А^c из А в законе сложения дает

${displaystyle Pleft (A ^ {c} ight) = P (Omega set минус A) = 1-P (A)}$

То есть вероятность того, что какое-либо событие будет нет случиться (или событие дополнять ) равно 1 минус вероятность того, что это произойдет.

Простой пример: подбрасывание монеты

Рассмотрим один бросок монеты и предположим, что монета выпадет орлом (H) или решкой (T) (но не обоими сразу). Не делается никаких предположений относительно того, честная ли монета.

Мы можем определить:

${displaystyle Omega = {H, T}}$

${displaystyle F = {varnothing, {H}, {T}, {H, T}}}$

Из аксиом Колмогорова следует, что:

${displaystyle P (varnothing) = 0}$

Вероятность ни один головы ни хвосты, равно 0.

${displaystyle P ({H, T} ^ {c}) = 0}$

Вероятность либо головы или же хвосты, равно 1.

${displaystyle P ({H}) + P ({T}) = 1}$

Сумма вероятности выпадения решки и вероятности выпадения решки равна 1.

Смотрите также

• Борелевская алгебра
• σ-алгебра
• Теория множеств
• Условная возможность
• Квазивероятность
• Полностью вероятностный дизайн

Рекомендации

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Ноябрь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

дальнейшее чтение

• ДеГрут, Моррис Х. (1975). вероятность и статистика. Читает: Эддисон-Уэсли. стр.12–16. ISBN  0-201-01503-X.
• МакКорд, Джеймс Р .; Морони, Ричард М. (1964). «Аксиоматическая вероятность». Введение в теорию вероятностей. Нью-Йорк: Макмиллан. стр.13–28.
• Формальное определение вероятности в Система Мицар, а список теорем формально доказано об этом.