Унитарность (физика) - Unitarity (physics)

В квантовая физика, унитарность является условием того, что эволюция во времени квантовое состояние согласно Уравнение Шредингера математически представлена унитарный оператор. Обычно это воспринимается как аксиома или основной постулат квантовой механики, в то время как обобщения или отклонения от унитарности являются частью рассуждений о теориях, которые могут выходить за рамки квантовой механики.^[1] А граница унитарности - любое неравенство, вытекающее из унитарности оператор эволюции, т.е. из утверждения, что временная эволюция сохраняет внутренние продукты в Гильбертово пространство.

Гамильтонова эволюция

Временная эволюция описывается не зависящим от времени Гамильтониан представлен однопараметрическим семейством унитарные операторы, для которой гамильтониан является генератором: ${displaystyle U (t) = e ^ {- i {hat {H}} t / hbar}}$ . в Картина Шредингера, предполагается, что унитарные операторы действуют на квантовое состояние системы, тогда как в Картинка Гейзенберга, временная зависимость включается в наблюдаемые вместо.^[2]

Влияние унитарности на результаты измерений

В картине Гейзенберга унитарность оператора временной эволюции означает, что норма состояния инвариантна во времени. Поскольку по Родившееся правило норма определяет вероятность получить конкретный результат в измерении, унитарность вместе с правилом Борна подразумевает, что операторы измерения в Картинка Гейзенберга действительно описывают, как ожидается, что результаты измерений будут развиваться во времени. Этот момент дополнительно подчеркивается гипотетическим контрпримером: рассмотрим случай неунитарности, когда можно получить другую вероятность путем измерения некоторого оператора ${displaystyle {cal {{O} (t_ {1})}}}$ (на изображении Гейзенберга) в момент времени t₁, по сравнению с тем же измерением, с учетом эволюции во времени, в момент времени t₂, так что в это время ${displaystyle {cal {{O} (t_ {2})}}}$ измеряется. Посредством нескольких таких измерений можно затем построить эксперимент, в котором вероятность одного результата R₁ было бы произвольно близко к 100%, если бы взято в момент времени t₁, но вероятность другого результата R₂ было бы произвольно близко к 100%, если бы взято в момент времени t₂. Это приводит к противоречию, по крайней мере, в некоторых интерпретациях квантовой механики.

Например, скажем, Алиса и Боб проводят измерения в одной и той же системе в разное время. Алиса измеряет в момент времени t₁ и Боб в момент t₂. согласно многомировая интерпретация, Боб почти наверняка окажется в мире, где результатом было R₂. Но затем, когда Боб встречает Алису, Алиса, должно быть, также измерила R₂. Таким образом, Алиса скажет Бобу, что она измерила очень нереальный результат с вероятностью, произвольно близкой к 0%. Таким образом, при таком сценарии физики сообщают, что они получили очень нереалистичные результаты, и понятие вероятности не работает.

Кроме того, унитарность вместе с правилом Борна гарантирует, что сумма вероятностей всегда равна единице.

Влияние на форму гамильтониана

Унитарность оператора временной эволюции эквивалентна тому, что гамильтониан Эрмитский. Эквивалентно это означает, что возможные измеренные энергии, которые являются собственные значения гамильтониана всегда являются действительными числами.

Амплитуда рассеяния и оптическая теорема

В S-матрица используется для описания изменений физической системы в процессе рассеяния. Фактически, он равен оператору временной эволюции в течение очень длительного времени (приближающемуся к бесконечности), действующему на состояния импульса частиц (или связанного комплекса частиц) на бесконечности. Таким образом, это тоже должен быть унитарный оператор; расчет, дающий неунитарную S-матрицу, часто подразумевает, что связанное состояние было упущено.

Оптическая теорема

Унитарность S-матрицы подразумевает, среди прочего, оптическая теорема. Это можно сделать следующим образом^[3]:

S-матрицу можно записать как:

{displaystyle S = 1 + iT}

где ${displaystyle T}$ часть S-матрицы, обусловленная взаимодействиями; например ${displaystyle T = 0}$ просто означает, что S-матрица равна 1, никакого взаимодействия не происходит и все состояния остаются неизменными.

Унитарность S-матрицы:

{displaystyle S ^ {dagger} S = 1}

тогда эквивалентно:

{displaystyle -i (T-T ^ {кинжал}) = T ^ {кинжал} T}

Левая часть - это удвоенная мнимая часть S-матрицы. Чтобы увидеть, что такое правая часть, давайте посмотрим на любой конкретный элемент этой матрицы, например между некоторым начальным состоянием ${displaystyle Iangle}$ и конечное состояние ${displaystyle langle F}$ , каждая из которых может включать множество частиц. Тогда матричный элемент будет:

{displaystyle langle F | T ^ {dagger} T | Iangle = sum _ {i} langle F | T ^ {dagger} A_ {i} | angle langle A_ {i} | T | Iangle}

где_я} - это набор возможных состояний на оболочке, то есть состояния импульса частиц (или связанного комплекса частиц) на бесконечности.

Таким образом, удвоенная мнимая часть S-матрицы равна сумме, представляющей произведения вкладов от всех разбросов начального состояния S-матрицы в другое физическое состояние на бесконечности, с разбросами последнего до конечного состояние S-матрицы. Поскольку мнимая часть S-матрицы может быть вычислена как виртуальные частицы появляясь в промежуточных состояниях Диаграммы Фейнмана из этого следует, что эти виртуальные частицы должны состоять только из реальных частиц, которые также могут выступать в качестве конечных состояний. Математический аппарат, который используется для этого, включает калибровочная симметрия а иногда также Призраки Фаддеева – Попова.

Границы унитарности

Согласно оптической теореме амплитуда вероятности M для любого процесса рассеивания должен подчиняться

{displaystyle | M | ^ {2} = 2 {mbox {Im}} (M)}

Подобные границы унитарности означают, что амплитуды и сечение не могут слишком сильно увеличиваться с энергией или должны уменьшаться так же быстро, как определенная формула^{[который? ]} диктует.