Квантовый канал - Quantum channel

В квантовая теория информации, а квантовый канал это канал связи, который может передавать квантовая информация, а также классическая информация. Примером квантовой информации является состояние кубит. Примером классической информации является текстовый документ, передаваемый по Интернет.

Более формально квантовые каналы полностью положительный (CP) сохраняющие след отображения между пространствами операторов. Другими словами, квантовый канал - это просто квантовая операция рассматривается не просто как пониженная динамика системы, но как конвейер, предназначенный для передачи квантовой информации. (Некоторые авторы используют термин «квантовая операция», чтобы также включать уменьшающие след карты, оставляя «квантовый канал» для строго сохраняющих след карт.^[1])

Квантовый канал без памяти

Предположим пока, что все пространства состояний рассматриваемых систем, классических или квантовых, конечномерны.

В без памяти в названии раздела имеет то же значение, что и в классическом теория информации: выход канала в данный момент времени зависит только от соответствующего входа, а не от каких-либо предыдущих.

Картина Шредингера

Рассмотрим квантовые каналы, которые передают только квантовую информацию. Это именно квантовая операция, свойства которого мы сейчас резюмируем.

Позволять ${ displaystyle H_ {A}}$ и ${ displaystyle H_ {B}}$ - пространства состояний (конечномерные Гильбертовы пространства ) передающей и принимающей сторон канала соответственно. ${ displaystyle L (H_ {A})}$ обозначим семейство операторов на ${ displaystyle H_ {A}}$. в Картина Шредингера, чисто квантовый канал представляет собой карту ${ displaystyle Phi}$ между матрицы плотности действующий на ${ displaystyle H_ {A}}$ и ${ displaystyle H_ {B}}$ со следующими свойствами:

1. Согласно постулатам квантовой механики, ${ displaystyle Phi}$ должен быть линейным.
2. Поскольку матрицы плотности положительны, ${ displaystyle Phi}$ должен сохранить конус положительных элементов. Другими словами, ${ displaystyle Phi}$ это положительная карта.
3. Если Ancilla произвольной конечной размерности п связано с системой, то индуцированное отображение ${ displaystyle I_ {n} otimes Phi}$, где я_п является тождественной картой на вспомогательной, также должно быть положительным. Следовательно, требуется, чтобы ${ displaystyle I_ {n} otimes Phi}$ положительно для всех п. Такие карты называются полностью положительный.
4. Для матриц плотности указывается трасса 1, поэтому ${ displaystyle Phi}$ должен сохранить след.

Прилагательные полностью положительный и сохраняющий след используются для описания карты, иногда сокращаются CPTP. В литературе иногда ослабляют четвертое свойство так, что ${ displaystyle Phi}$ только требуется, чтобы не увеличивать следы. В этой статье предполагается, что все каналы являются CPTP.

Картинка Гейзенберга

Матрицы плотности, действующие на ЧАС_А только составляют собственное подмножество операторов на ЧАС_А и то же самое можно сказать о системе B. Однако однажды линейная карта ${ displaystyle Phi}$ между матрицами плотности, стандартный аргумент линейности, вместе с предположением конечномерности, позволяет нам расширить ${ displaystyle Phi}$ однозначно для всего пространства операторов. Это приводит к сопряженной карте ${ displaystyle Phi}$^*, который описывает действие ${ displaystyle Phi}$ в Картинка Гейзенберга:

Пространства операторов L(ЧАС_А) и L(ЧАС_B) являются гильбертовыми пространствами с Гильберта-Шмидта внутренний продукт. Поэтому просмотр ${ Displaystyle Phi: L (H_ {A}) rightarrow L (H_ {B})}$ как отображение между гильбертовыми пространствами, мы получаем сопряженное ${ displaystyle Phi}$^* данный

${ Displaystyle langle A, Phi ( rho) rangle = langle Phi ^ {*} (A), rho rangle.}$

В то время как ${ displaystyle Phi}$ принимает государства на А тем, кто на B, ${ displaystyle Phi}$^* отображает наблюдаемые в системе B к наблюдаемым на А. Эта взаимосвязь такая же, как между описаниями динамики Шредингером и Гейзенбергом. Статистика измерений остается неизменной независимо от того, считаются ли наблюдаемые фиксированными, пока состояния подвергаются операции, или наоборот.

Непосредственно можно проверить, что если ${ displaystyle Phi}$ предполагается сохраняющим след, ${ displaystyle Phi}$^* является единый, это,${ displaystyle Phi}$^*(я) = я. С физической точки зрения это означает, что в картине Гейзенберга тривиальная наблюдаемая остается тривиальной после применения канала.

Классическая информация

Пока мы определили только квантовый канал, который передает только квантовую информацию. Как сказано во введении, вход и выход канала также могут включать классическую информацию. Чтобы описать это, данную формулировку необходимо несколько обобщить. Чисто квантовый канал в картине Гейзенберга - это линейное отображение Ψ между пространствами операторов:

${ Displaystyle пси: L (H_ {B}) rightarrow L (H_ {A})}$

что является единым и полностью положительным (CP). Пространства операторов можно рассматривать как конечномерныеC * -алгебры. Следовательно, мы можем сказать, что канал - это унитальное CP-отображение между C * -алгебрами:

${ displaystyle Psi: { mathcal {B}} rightarrow { mathcal {A}}.}$

Затем в эту формулировку можно включить классическую информацию. Наблюдаемые классической системы можно считать коммутативной C * -алгеброй, т. Е. Пространством непрерывных функций C(Икс) на некотором наборе Икс. Мы предполагаем Икс конечно, поэтому C(Икс) можно отождествить с п-мерное евклидово пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ с поэтапным умножением.

Следовательно, в картине Гейзенберга, если классическая информация является частью, скажем, входных данных, мы бы определили ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ включить соответствующие классические наблюдаемые. Примером этого может быть канал

${ displaystyle Psi: L (H_ {B}) otimes C (X) rightarrow L (H_ {A}).}$

Уведомление ${ displaystyle L (H_ {B}) otimes C (X)}$ остается C * -алгеброй. Элемент а C * -алгебры ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ называется положительным, если а = х * х для некоторых Икс. Соответственно определяется положительность карты. Эта характеристика не является общепринятой; то квантовый инструмент иногда называют обобщенной математической структурой для передачи как квантовой, так и классической информации. В аксиоматизации квантовой механики классическая информация передается в Алгебра Фробениуса или Категория Фробениуса.

Примеры

состояния

Состояние, рассматриваемое как отображение наблюдаемых значений их ожидаемых значений, является непосредственным примером канала.

Временная эволюция

Для чисто квантовой системы эволюция во времени в определенное время т, дан кем-то

${ Displaystyle rho rightarrow U rho ; U ^ {*},}$

где ${ Displaystyle U = е ^ {- iHt / hbar}}$ и ЧАС это Гамильтониан и т самое время. Ясно, что это дает карту CPTP в картине Шредингера и, следовательно, является каналом. Двойная карта на изображении Гейзенберга есть

${ displaystyle A rightarrow U ^ {*} AU.}$

Ограничение

Рассмотрим составную квантовую систему с пространством состояний ${ displaystyle H_ {A} otimes H_ {B}.}$ Для государства

${ displaystyle rho in H_ {A} otimes H_ {B},}$

уменьшенное состояние ρ в системе А, ρ^А, получается взятием частичный след из ρ с уважением к B система:

${ Displaystyle rho ^ {A} = operatorname {Tr} _ {B} ; rho.}$

Операция частичной трассировки - это карта CPTP, следовательно, квантовый канал в картине Шредингера. На картинке Гейзенберга двойная карта этого канала

${ displaystyle A rightarrow A otimes I_ {B},}$

где А является наблюдаемой системы А.

Наблюдаемый

Наблюдаемое связывает числовое значение ${ displaystyle f_ {i} in mathbb {C}}$ к квантовой механике эффект ${ displaystyle F_ {i}}$. ${ displaystyle F_ {i}}$считаются положительными операторами, действующими в соответствующем пространстве состояний и ${ displaystyle sum F_ {i} = I}$. (Такая коллекция называется POVM.) На картине Гейзенберга соответствующая наблюдаемая карта ${ displaystyle Psi}$ отображает классическую наблюдаемую

${ displaystyle f = { begin {bmatrix} f_ {1} vdots f_ {n} end {bmatrix}} in C (X)}$

к квантово-механическому

${ displaystyle ; Psi (f) = sum _ {i} f_ {i} F_ {i}.}$

Другими словами, один интегрировать ж против POVM чтобы получить квантово-механическую наблюдаемую. Легко проверить, что ${ displaystyle Psi}$ является CP и унитальным.

Соответствующее отображение Шредингера ${ displaystyle Psi}$^* переводит матрицы плотности в классические состояния:

${ Displaystyle Psi ( rho) = { begin {bmatrix} langle F_ {1}, rho rangle vdots langle F_ {n}, rho rangle end {bmatrix}} ,}$

где скалярное произведение - это скалярное произведение Гильберта – Шмидта. Кроме того, просмотр состояний как нормализованных функционалы, и вызывая Теорема Рисса о представлении, мы можем положить

${ displaystyle Psi ( rho) = { begin {bmatrix} rho (F_ {1}) vdots rho (F_ {n}) end {bmatrix}}.}$

Инструмент

Наблюдаемое отображение в картине Шредингера имеет чисто классическую выходную алгебру и поэтому описывает только статистику измерений. Чтобы также учесть изменение состояния, мы определяем то, что называется квантовый инструмент. Позволять ${ Displaystyle {F_ {1}, cdots, F_ {n} }}$ быть эффектами (POVM), связанными с наблюдаемым. На картине Шредингера инструмент - это карта. ${ displaystyle Phi}$ с чистым квантовым входом ${ displaystyle rho in L (H)}$ и с выходным пространством ${ Displaystyle C (X) otimes L (H)}$:

${ Displaystyle Phi ( rho) = { begin {bmatrix} rho (F_ {1}) cdot F_ {1} vdots rho (F_ {n}) cdot F_ {n} end {bmatrix}}.}$

Позволять

${ displaystyle f = { begin {bmatrix} f_ {1} vdots f_ {n} end {bmatrix}} in C (X).}$

Двойная карта на изображении Гейзенберга есть

${ Displaystyle Psi (е otimes A) = { begin {bmatrix} f_ {1} Psi _ {1} (A) vdots f_ {n} Psi _ {n} (A) end {bmatrix}}}$

где ${ displaystyle Psi _ {i}}$ определяется следующим образом: Фактор ${ displaystyle F_ {i} = M_ {i} ^ {2}}$ (это всегда можно сделать, поскольку элементы POVM положительны), то ${ Displaystyle ; Пси _ {я} (А) = М_ {я} AM_ {я}}$.Мы видим, что ${ displaystyle Psi}$ является CP и унитальным.

Заметить, что ${ displaystyle Psi (f otimes I)}$ дает точно наблюдаемую карту. Карта

${ displaystyle { tilde { Psi}} (A) = sum _ {i} Psi _ {i} (A) = sum _ {i} M_ {i} AM_ {i}}$

описывает общее изменение состояния.

Канал измерения и подготовки

Предположим, две партии А и B желаете общаться следующим образом: А выполняет измерение наблюдаемого и сообщает результат измерения B классически. Согласно полученному сообщению, B подготавливает свою (квантовую) систему в определенное состояние. На снимке Шредингера первая часть канала ${ displaystyle Phi}$₁ просто состоит из А выполнение измерения, т.е. это наблюдаемая карта:

${ Displaystyle ; Phi _ {1} ( rho) = { begin {bmatrix} rho (F_ {1}) vdots rho (F_ {n}) end {bmatrix}} .}$

Если в случае я-й результат измерения, B готовит свою систему в состоянии р_я, вторая часть канала ${ displaystyle Phi}$₂ переводит указанное выше классическое состояние в матрицу плотности

${ Displaystyle Phi _ {2} left ({ begin {bmatrix} rho (F_ {1}) vdots rho (F_ {n}) end {bmatrix}} right) = sum _ {i} rho (F_ {i}) R_ {i}.}$

Общая операция - это состав

${ Displaystyle Phi ( rho) = Phi _ {2} circ Phi _ {1} ( rho) = sum _ {i} rho (F_ {i}) R_ {i}.}$

Каналы такой формы называются измерять и готовить или в Холево форма.

На картине Гейзенберга двойная карта ${ Displaystyle Phi ^ {*} = Phi _ {1} ^ {*} circ Phi _ {2} ^ {*}}$ определяется

${ displaystyle ; Phi ^ {*} (A) = sum _ {i} R_ {i} (A) F_ {i}.}$

Канал измерения и подготовки не может быть картой идентичности. Это именно заявление нет теоремы о телепортации, что говорит о классической телепортации (не путать с телепортация с помощью запутывания ) невозможно. Другими словами, квантовое состояние нельзя надежно измерить.

в дуальность каналов и состояний, канал является измеряемым и подготовленным тогда и только тогда, когда соответствующее состояние отделяемый. Фактически, все состояния, возникающие в результате частичного действия канала измерения и подготовки, разделимы, и по этой причине каналы измерения и подготовки также известны как каналы, разрушающие сцепленность.

Чистый канал

Рассмотрим случай чисто квантового канала ${ displaystyle Psi}$ на картине Гейзенберга. В предположении, что все конечномерно, ${ displaystyle Psi}$ унитальное CP-отображение между пространствами матриц

${ displaystyle Psi: mathbb {C} ^ {n times n} rightarrow mathbb {C} ^ {m times m}.}$

От Теорема Чоя о вполне положительных отображениях, ${ displaystyle Psi}$ должен принять форму

${ displaystyle Psi (A) = sum _ {i = 1} ^ {N} K_ {i} AK_ {i} ^ {*}}$

где N ≤ нм. Матрицы K_я называются Операторы Крауса из ${ Displaystyle Psi}$ (после немецкого физика Карл Краус, кто их представил). Минимальное количество операторов Крауса называется рангом Крауса ${ displaystyle Psi}$. Канал с рангом Крауса 1 называется чистый. Временная эволюция - один из примеров чистого канала. Эта терминология снова исходит из дуальности состояния канала. Канал чист тогда и только тогда, когда его дуальное состояние является чистым.

Телепортация

В квантовая телепортация, отправитель желает передать произвольное квантовое состояние частицы возможно удаленному получателю. Следовательно, процесс телепортации - это квантовый канал. Само устройство для процесса требует квантового канала для передачи одной частицы запутанного состояния к приемнику. Телепортация происходит путем совместного измерения отправленной частицы и оставшейся запутанной частицы. Результатом этого измерения является классическая информация, которая должна быть отправлена ​​получателю для завершения телепортации. Важно отметить, что классическая информация может быть отправлена ​​после того, как квантовый канал перестанет существовать.

В экспериментальных условиях

Экспериментально простая реализация квантового канала оптоволокно (или свободное пространство в этом отношении) передача одиночного фотоны. Одиночные фотоны могут передаваться на расстояние до 100 км по стандартной волоконной оптике, прежде чем потери станут преобладающими. Время прибытия фотона (запутанность временных интервалов) или поляризация используются в качестве основы для кодирования квантовой информации для таких целей, как квантовая криптография. Канал может передавать не только базовые состояния (например, | 0>, | 1>), но также их суперпозиции (например, | 0> + | 1>). В согласованность состояния сохраняется во время передачи по каналу. Сравните это с передачей электрических импульсов по проводам (классический канал), по которому может быть отправлена ​​только классическая информация (например, нули и единицы).

Емкость канала

CB-норма канала

Прежде чем дать определение пропускной способности канала, предварительное понятие норма полной ограниченности, или cb-norm канала необходимо обсудить. При рассмотрении пропускной способности канала ${ displaystyle Phi}$, нам нужно сравнить его с "идеальным каналом" ${ displaystyle Lambda}$ . Например, когда алгебры ввода и вывода идентичны, мы можем выбрать ${ displaystyle Lambda}$ быть картой идентичности. Такое сравнение требует метрика между каналами. Поскольку канал можно рассматривать как линейный оператор, возникает соблазн использовать естественный норма оператора. Другими словами, близость ${ displaystyle Phi}$ к идеальному каналу ${ displaystyle Lambda}$ можно определить как

${ Displaystyle | Phi - Lambda | = sup { | ( Phi - Lambda) (A) | ; | ; | A | leq 1 }.}$

Однако норма оператора может возрасти, если мы тензор ${ displaystyle Phi}$ с картой идентичности на какой-то вспомогательной.

Чтобы сделать оператора Norm еще более нежелательным кандидатом, количество

${ displaystyle | Phi otimes I_ {n} |}$

может неограниченно увеличиваться как ${ displaystyle n rightarrow infty.}$ Решение состоит в том, чтобы ввести для любой линейной карты ${ displaystyle Phi}$ между C * -алгебрами cb-норма

${ Displaystyle | Phi | _ {cb} = sup _ {n} | Phi otimes I_ {n} |.}$

Определение пропускной способности канала

Используемая здесь математическая модель канала такая же, как и классический.

Позволять ${ displaystyle Psi: { mathcal {B}} _ {1} rightarrow { mathcal {A}} _ {1}}$ быть каналом в картине Гейзенберга и ${ displaystyle Psi _ {id}: { mathcal {B}} _ {2} rightarrow { mathcal {A}} _ {2}}$ быть выбранным идеальным каналом. Чтобы сравнение стало возможным, необходимо кодировать и декодировать Φ с помощью соответствующих устройств, т.е. мы рассматриваем композицию

${ displaystyle { hat { Psi}} = D circ Phi circ E: { mathcal {B}} _ {2} rightarrow { mathcal {A}} _ {2}}$

где E кодировщик и D это декодер. В контексте, E и D - унитальные CP-карты с соответствующими доменами. Интересующая величина - это лучший сценарий:

${ displaystyle Delta ({ hat { Psi}}, Psi _ {id}) = inf _ {E, D} | { hat { Psi}} - Psi _ {id} | _ {cb}}$

причем нижняя грань берется по всем возможным кодировщикам и декодерам.

Для передачи слов длины п, идеальный канал должен быть использован п раз, поэтому мы рассматриваем тензорную степень

${ displaystyle Psi _ {id} ^ { otimes n} = Psi _ {id} otimes cdots otimes Psi _ {id}.}$

В ${ displaystyle otimes}$ операция описывает п вводы, подвергающиеся операции ${ displaystyle Psi _ {id}}$ независимо и является квантово-механическим аналогом конкатенация. Так же, m вызовов канала соответствует ${ displaystyle { hat { Psi}} ^ { otimes m}}$.

Количество

${ Displaystyle Delta ({ шляпа { Psi}} ^ { otimes m}, Psi _ {id} ^ { otimes n})}$

поэтому является мерой способности канала передавать слова длины п честно, будучи призванным м раз.

Это приводит к следующему определению:

Неотрицательное действительное число р является достижимая скорость ${ displaystyle Psi}$ относительно ${ displaystyle Psi _ {id}}$ если

Для всех последовательностей ${ Displaystyle {п _ { альфа} }, {м _ { альфа} } подмножество mathbb {N}}$ где ${ Displaystyle м _ { альфа} rightarrow infty}$ и ${ Displaystyle lim sup _ { альфа} (п _ { альфа} / м _ { альфа}) <г}$, у нас есть

${ displaystyle lim _ { alpha} Delta ({ hat { Psi}} ^ { otimes m _ { alpha}}, Psi _ {id} ^ { otimes n _ { alpha}}) = 0.}$

Последовательность ${ Displaystyle {п _ { альфа} }}$ можно рассматривать как представление сообщения, состоящего, возможно, из бесконечного числа слов. Условие предельного супремума в определении гласит, что в пределе точная передача может быть достигнута путем вызова канала не более чем р умноженное на длину слова. Можно также сказать, что р это количество писем за один вызов канала, которое может быть отправлено без ошибок.

В пропускная способность канала ${ displaystyle Psi}$ относительно ${ displaystyle Psi _ {id}}$, обозначаемый ${ Displaystyle ; С ( Psi, Psi _ {id})}$ это верхняя грань всех достижимых ставок.

Из определения совершенно очевидно, что 0 - это достижимая скорость для любого канала.

Важные примеры

Как было сказано ранее, для системы с наблюдаемой алгеброй ${ displaystyle { mathcal {B}}}$, идеальный канал ${ displaystyle Psi _ {id}}$ по определению тождественная карта ${ displaystyle I _ { mathcal {B}}}$. Таким образом, для чисто п размерной квантовой системы, идеальный канал - это тождественное отображение на пространстве п × п матрицы ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {п раз п}}$. В порядке небольшого злоупотребления обозначениями этот идеальный квантовый канал также будет обозначаться ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {п раз п}}$. Аналогично классическая система с выходной алгеброй ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {m}}$ будет иметь идеальный канал, обозначенный тем же символом. Теперь мы можем указать некоторые основные возможности канала.

Пропускная способность классического идеального канала ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {m}}$ относительно квантового идеального канала ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {п раз п}}$ является

${ Displaystyle C ( mathbb {C} ^ {m}, mathbb {C} ^ {n times n}) = 0.}$

Это эквивалентно теореме о запрете телепортации: невозможно передать квантовую информацию по классическому каналу.

Кроме того, имеют место следующие равенства:

${ Displaystyle С ( mathbb {C} ^ {m}, mathbb {C} ^ {n}) = C ( mathbb {C} ^ {m times m}, mathbb {C} ^ {п times n}) == C ( mathbb {C} ^ {m times m}, mathbb {C} ^ {n}) == { frac { log n} { log m}}.}.$

Вышесказанное говорит, например, что идеальный квантовый канал не более эффективен при передаче классической информации, чем идеальный классический канал. Когда п = м, лучшее, что можно достичь, это один бит на кубит.

Здесь уместно отметить, что обе указанные выше границы емкости могут быть нарушены с помощью запутанность. В схема телепортации с помощью запутывания позволяет передавать квантовую информацию по классическому каналу. Сверхплотное кодирование. достигает два бита на кубит. Эти результаты указывают на важную роль запутанности в квантовой коммуникации.

Классические и квантовые пропускные способности каналов

Используя те же обозначения, что и в предыдущем пункте, классическая емкость канала Ψ

${ Displaystyle С ( Psi, mathbb {C} ^ {2}),}$

то есть это пропускная способность по отношению к идеальному каналу в классической однобитовой системе. ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$.

Аналогичным образом квантовая емкость из Ψ

${ Displaystyle C ( Psi, mathbb {C} ^ {2 times 2}),}$

где системой отсчета теперь является система с одним кубитом ${ displaystyle mathbb {C} ^ {2 times 2}}$.

Верность канала

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Июнь 2008 г.)

Еще один показатель того, насколько хорошо квантовый канал сохраняет информацию, называется верность канала, и возникает из верность квантовых состояний.

Бистохастический квантовый канал

Бистохастический квантовый канал - это квантовый канал ${ displaystyle Phi ( rho)}$ который единый,^[2] т.е. ${ Displaystyle Phi (I) = I}$.

Смотрите также

• Теорема об отсутствии связи
• Канал демпфирования амплитуды

использованная литература

• М. Кейл и Р. Ф. Вернер, Как исправить небольшие квантовые ошибки, Lecture Notes in Physics Volume 611, Springer, 2002.
• Уайльд, Марк М. (2017), Квантовая теория информации, Издательство Кембриджского университета, arXiv:1106.1445, Bibcode:2011arXiv1106.1445W, Дои:10.1017/9781316809976.001.