Алгебра Фробениуса - Frobenius algebra

В математика, особенно в областях теория представлений и теория модулей, а Алгебра Фробениуса это конечномерный единый ассоциативная алгебра с особым видом билинейная форма что дает алгебрам особенно красивую теорию двойственности. Алгебры Фробениуса начали изучать в 1930-х гг. Ричард Брауэр и Сесил Несбитт и были названы в честь Фердинанд Фробениус. Тадаши Накаяма открыл истоки богатой теории двойственности (Накаяма 1939 ), (Накаяма 1941 ). Жан Дьедонне использовал это, чтобы охарактеризовать алгебры Фробениуса (Дьедонне 1958 ). Алгебры Фробениуса были обобщены на квазифробениусовские кольца, те Нётерские кольца чье право регулярное представительство является инъективный. В последнее время интерес к алгебрам Фробениуса возобновился благодаря связям с топологическая квантовая теория поля.

Определение

Конечномерный, унитальный, ассоциативная алгебра А определяется над поле k считается Алгебра Фробениуса если А оснащен невырожденная билинейная форма σ:А × А → k который удовлетворяет следующему уравнению: σ(а·б,c)=σ(а,б·c). Эта билинейная форма называется Форма Фробениуса алгебры.

Эквивалентно можно оборудовать А с линейный функционал λ : А → k так что ядро из λ не содержит ненулевых остатков идеальный из А.

Алгебра Фробениуса называется симметричный если σ является симметричный, или эквивалентно λ удовлетворяет λ(а·б) = λ(б·а).

Существует также другое, в основном не связанное с этим понятие симметрическая алгебра из векторное пространство.

Примеры

Любой матричная алгебра определяется над полем k является алгеброй Фробениуса с формой Фробениуса σ(а,б) = tr (а·б) где tr обозначает след.
Любая конечномерная ассоциативная алгебра с единицей А имеет естественный гомоморфизм в собственное кольцо эндоморфизмов End (А). Билинейную форму можно определить на А в смысле предыдущего примера. Если эта билинейная форма невырожденная, то она снабжает А со структурой алгебры Фробениуса.
Каждый групповое кольцо из конечная группа над полем является алгеброй Фробениуса с формой Фробениуса σ(а,б) коэффициент при единичном элементе в а·б. Это частный случай примера 2.
Для поля k, четырехмерный k-алгебра k[Икс,у]/ (Икс², у²) является алгеброй Фробениуса. Это следует из характеризации коммутативных локальных колец Фробениуса ниже, поскольку это кольцо является локальным кольцом, максимальный идеал которого порожден Икс и у, и уникальный минимальный идеал, порожденный ху.
Для поля k, трехмерный k-алгебра А=k[Икс,у]/ (Икс, у)² является нет алгебра Фробениуса. В А гомоморфизм из xA в А индуцированный Икс ↦ у не может быть продлен до А гомоморфизм из А в А, показывая, что кольцо не самоинъективно, следовательно, не Фробениус.
Любые конечномерные Алгебра Хопфа, по теореме Ларсона-Свидлера 1969 г. о модулях и интегралах Хопфа.

Характеристики

В прямой продукт и тензорное произведение алгебр Фробениуса являются алгебрами Фробениуса.
Конечномерный коммутативный местный алгебра над полем фробениусова тогда и только тогда, когда правая обычный модуль инъективен, если и только если алгебра имеет единственное минимальный идеал.
Коммутативные локальные алгебры Фробениуса - это в точности нульмерный местный Кольца Горенштейна содержащие их поле вычетов и конечномерным над ним.
Алгебры Фробениуса квазифробениусовские кольца, а в частности, они бывают левым и правым Артиниан и влево и вправо самоинъективный.
Для поля k, конечномерная, унитальная, ассоциативная алгебра является Фробениусом тогда и только тогда, когда инъективный верно А-модуль Hom_k(А,k) изоморфна правой регулярное представительство из А.
Для бесконечного поля k, конечномерная, единичная, ассоциативная k-алгебра является алгеброй Фробениуса, если она имеет лишь конечное число минимальных правильные идеалы.
Если F является конечномерным поле расширения из k, то конечномерное F-алгебра естественно конечномерна k-алгебра через ограничение скаляров, и является Фробениусом F-алгебра тогда и только тогда, когда это Фробениус k-алгебра. Другими словами, свойство Фробениуса не зависит от поля, пока алгебра остается конечномерной алгеброй.
Аналогично, если F является конечномерным полем расширения k, то каждые k-алгебра А естественным образом порождает F алгебра, F ⊗_k А, и А Фробениус k-алгебра тогда и только тогда, когда F ⊗_k А Фробениус F-алгебра.
Среди тех конечномерных ассоциативных алгебр с единицей, правое регулярное представление которых инъективно, алгебры Фробениуса А именно те, чьи простые модули M имеют тот же размер, что и их А-duals, Hom_А(M,А). Среди этих алгебр А-дваалы простых модулей всегда просты.

Теоретико-категориальное определение

В теория категорий, понятие Объект Фробениуса является абстрактным определением алгебры Фробениуса в категории. Объект Фробениуса ${ Displaystyle (А, му, эта, дельта, varepsilon)}$ в моноидальная категория ${ displaystyle (C, otimes, I)}$ состоит из объекта А из C вместе с четырьмя морфизмами

{ displaystyle mu: A otimes A to A, qquad eta: I to A, qquad delta: A to A otimes A qquad mathrm {и} qquad varepsilon: A к I}

такой, что

${ Displaystyle (А, му, эта) ,}$ это моноидный объект в C,
${ Displaystyle (А, дельта, varepsilon)}$ это комоноидный объект в C,
диаграммы

и

коммутируют (для простоты диаграммы приведены в случае, когда моноидальная категория C строго) и известны как Условия Фробениуса.^[1]

Более компактно алгебра Фробениуса в C является так называемым моноидальным функтором Фробениуса A:1 → C, куда 1 это категория, состоящая из одного объекта и одной стрелки.

Алгебра Фробениуса называется изометрический или же специальный если ${ displaystyle mu circ delta = mathrm {Id} _ {A}}$ .

Приложения

Алгебры Фробениуса первоначально изучались в рамках исследования теория представлений конечных групп, и внесли свой вклад в изучение теория чисел, алгебраическая геометрия, и комбинаторика. Их использовали для изучения Алгебры Хопфа, теория кодирования, и кольца когомологий из компактный ориентированный коллекторы.

Топологические квантовые теории поля

Произведение и копроизведение на алгебре Фробениуса можно интерпретировать как функтор (1 + 1) -мерной топологическая квантовая теория поля, применительно к пара штанов.

Недавно было замечено, что они играют важную роль в алгебраической трактовке и аксиоматическом обосновании топологическая квантовая теория поля. Коммутативная алгебра Фробениуса однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет (1 + 1) -мерную ТКПФ. Точнее, категория коммутативного Фробениуса K-алгебры эквивалент в категорию симметричные сильные моноидальные функторы от 2-Початок (категория 2-мерных кобордизмы между одномерными многообразиями) на Vect_K (категория векторные пространства над K).

Соответствие между ТКТП и алгебрами Фробениуса дается следующим образом:

Одномерные многообразия представляют собой непересекающиеся объединения окружностей: TQFT связывает векторное пространство с окружностью, а тензорное произведение векторных пространств - с несвязным объединением окружностей,
TQFT сопоставляет (функториально) каждому кобордизму между многообразиями отображение между векторными пространствами,
карта, связанная с пара штанов (кобордизм между 1 кругом и 2 кругами) дает карту продукта V ⊗ V → V или карта сопродуктов V → V ⊗ V, в зависимости от того, как сгруппированы граничные компоненты - коммутативно или кокоммутативно, и
карта, связанная с диском, дает счетчик (след) или единицу (скаляры), в зависимости от группировки границы.

Это соотношение между алгебрами Фробениуса и (1 + 1) -мерными ТКТП можно использовать для объяснения Категоризация Хованова из Многочлен Джонса.^[2]^[3]

Обобщение: расширение Фробениуса

Позволять B быть подкольцом, разделяющим единичный элемент ассоциативного кольца с единицей А. Это также известно как расширение кольца. А | B. Такое расширение кольца называется Фробениус если

Есть линейное отображение E: А → B удовлетворяющий условию бимодуля E (бак) = bE (a) c для всех до н.э ∈ B и а ∈ А.
Есть элементы в А обозначенный ${ Displaystyle {х_ {я} } _ {я = 1} ^ {п}}$ и ${ Displaystyle {у_ {я} } _ {я = 1} ^ {п}}$ такой, что для всех а ∈ А у нас есть:

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} E (ax_ {i}) y_ {i} = a = sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} E (y_ {i } а)}

Карта E иногда называют гомоморфизмом Фробениуса, а элементы ${ displaystyle x_ {i}, y_ {i}}$ как двойные базы. (В качестве упражнения можно дать эквивалентное определение расширения Фробениуса как объекта алгебры-коалгебры Фробениуса в категории B-B-бимодули, в которых только что приведенные уравнения становятся уравнениями счетчика E.)

Например, алгебра Фробениуса А над коммутативным кольцом K, с ассоциативной невырожденной билинейной формой (-, -) и проективными K-базисами ${ displaystyle x_ {i}, y_ {i}}$ является расширением Фробениуса А | K с E (а) = (а, 1). Другими примерами расширений Фробениуса являются пары групповых алгебр, связанных с подгруппой конечного индекса, подалгебры Хопфа полупростой алгебры Хопфа, расширения Галуа и некоторые подфакторы алгебры фон Неймана конечного индекса. Другой источник примеров расширений Фробениуса (и скрученных версий) - это некоторые пары подалгебр алгебр Фробениуса, где подалгебра стабилизируется симметризующим автоморфизмом надалгебры.

Детали групповое кольцо Примером могут служить следующие приложения элементарных понятий в теория групп. Позволять грамм быть группой и ЧАС подгруппа конечного индекса п в грамм; позволять грамм₁, ..., грамм_п. быть левыми представителями смежных классов, так что грамм является несвязным объединением смежных классов грамм₁ЧАС, ..., грамм_пЧАС. Над любым коммутативным базовым кольцом k определим групповые алгебры А = кг] и B = k [H], так B является подалгеброй А. Определите гомоморфизм Фробениуса E: А → B позволяя E (ч) = час для всех час в ЧАС, и Например) = 0 для грамм не в ЧАС : распространить это линейно от элементов базовой группы на все А, поэтому получаем B-B-бимодульная проекция

{ displaystyle E left ( sum _ {g in G} n_ {g} g right) = sum _ {h in H} n_ {h} h { text {for}} n_ {g} in k}

(Условие ортонормированности ${ displaystyle E (g_ {i} ^ {- 1} g_ {j}) = delta _ {ij} 1}$ следует.) Двойственная база задается формулой ${ displaystyle x_ {i} = g_ {i}, y_ {i} = g_ {i} ^ {- 1}}$ , поскольку

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} E (g_ {i} ^ {- 1} sum _ {g in G} n_ {g} g) = sum _ { i} sum _ {h in H} n_ {g_ {i} h} g_ {i} h = sum _ {g in G} n_ {g} g}

Другое двойственное базовое уравнение может быть получено из наблюдения, что G также является несвязным объединением правых смежных классов ${ Displaystyle Hg_ {1} ^ {- 1}, ldots, Hg_ {n} ^ {- 1}}$ .

Также расширения Хопфа-Галуа являются расширениями Фробениуса по теореме Креймера и Такеучи 1989 года. Простым примером этого является конечная группа грамм действуя автоморфизмами на алгебре А с подалгеброй инвариантов:

{ displaystyle B = {x in A | forall g in G, g (x) = x }.}

По критерию ДеМейера А является грамм-Galois over B если есть элементы ${ displaystyle {a_ {i} } _ {i = 1} ^ {n}, {b_ {i} } _ {i = 1} ^ {n}}$ в А удовлетворение:

{ displaystyle forall g in G: sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} g (b_ {i}) = delta _ {g, 1_ {G}} 1_ {A }}

откуда также

{ displaystyle forall g in G: sum _ {i = 1} ^ {n} g (a_ {i}) b_ {i} = delta _ {g, 1_ {G}} 1_ {A }.}

потом А является расширением Фробениуса B с E: А → B определяется

{ Displaystyle Е (а) = сумма _ {г в G} г (а)}

который удовлетворяет

{ displaystyle forall x in A: sum _ {i = 1} ^ {n} E (xa_ {i}) b_ {i} = x = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} E (b_ {i} x).}

(Кроме того, пример отделимая алгебра продление с ${ displaystyle e = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} otimes _ {B} b_ {i}}$ является элементом отделимости, удовлетворяющим ea = ae для всех а в А а также ${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} = 1}$ . Также пример подкольцо второй глубины (B в А) поскольку

{ displaystyle a otimes _ {B} 1 = sum _ {g in G} t_ {g} g (a)}

куда

{ displaystyle t_ {g} = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} otimes _ {B} g (b_ {i})}

для каждого грамм в грамм и а в А.)

Расширения Фробениуса имеют хорошо развитую теорию индуцированных представлений, исследованную в работах Каша и Парейгиса, Накаямы и Цузуку в 1950-х и 1960-х годах. Например, для каждого B-модуль Mиндуцированный модуль А ⊗_B M (если M левый модуль) и коиндуцированный модуль Hom_B(ЯВЛЯЮСЬ) естественно изоморфны как А-модули (в качестве упражнения определяется изоморфизм заданного E и двойные базы). Кольцевая теорема Каша из 1960 г. об эндоморфизмах утверждает, что если А | B является расширением Фробениуса, то также А → Конец (А_B), где отображение задается формулой а ↦ λ_а(Икс) и λ_а(х) = топор для каждого а, х ∈ А. Кольцевые теоремы эндоморфизмов и обратные теории были позже исследованы Мюллером, Моритой, Онодерой и другими.

Смотрите также

внешняя ссылка

Росс-стрит, Алгебры Фробениуса и моноидальные категории

[1] Павлович, Душко (2013), "Моноидальный компьютер I: простая вычислимость с помощью строковых диаграмм", Информация и вычисления, 226: 94–116, arXiv:1208.5205, Дои:10.1016 / j.ic.2013.03.007

[2] Бар-Натан, Дрор (2005), "Гомологии Хованова для клубков и кобордизмов", Геом. Тополь., 9 (3): 1443–1499, arXiv:математика / 0410495, Bibcode:2004математика ..... 10495B, Дои:10.2140 / gt.2005.9.1443

[3] Пол Тернер (2006), Пять лекций по гомологиям Хованова, arXiv:математика / 0606464v1, Bibcode:2006математика ...... 6464T

[1]

[2]

[3]