Теория представлений конечных групп - Википедия - Representation theory of finite groups

В теория представлений из группы это часть математики, которая исследует, как группы действуют на заданные структуры.

Здесь особое внимание уделяется операции групп на векторные пространства. Тем не менее, группы, действующие на другие группы или на наборы также считаются. Для получения более подробной информации, пожалуйста, обратитесь к разделу о перестановочные представления.

За исключением нескольких отмеченных исключений, в этой статье будут рассматриваться только конечные группы. Мы также ограничимся векторными пространствами над поля из характеристика нуль. Поскольку теория алгебраически замкнутые поля нулевой характеристики является полной, теория, верная для специального алгебраически замкнутого поля нулевой характеристики, также верна для любого другого алгебраически замкнутого поля нулевой характеристики. Таким образом, без ограничения общности можно изучать векторные пространства над ${ displaystyle mathbb {C}.}$

Теория представлений используется во многих разделах математики, а также в квантовой химии и физике. Среди прочего он используется в алгебра изучить структуру групп. Также есть приложения в гармонический анализ и теория чисел. Например, теория представлений используется в современном подходе для получения новых результатов об автоморфных формах.

Определение

Линейные представления

Позволять ${ displaystyle V}$ быть ${ displaystyle K}$–Векторное пространство и ${ displaystyle G}$ конечная группа. А линейное представление конечной группы ${ displaystyle G}$ это групповой гомоморфизм ${ displaystyle rho: G to { text {GL}} (V) = { text {Aut}} (V).}$ Здесь ${ displaystyle { text {GL}} (V)}$ это обозначение для общая линейная группа, и ${ displaystyle { text {Aut}} (V)}$ для группа автоморфизмов. Это означает, что линейное представление - это карта ${ displaystyle rho: G to { text {GL}} (V)}$ что удовлетворяет ${ Displaystyle rho (st) = rho (s) rho (t)}$ для всех ${ displaystyle s, t in G.}$ Векторное пространство ${ displaystyle V}$ называется пространством представления ${ displaystyle G.}$ Часто термин "представление" ${ displaystyle G}$ также используется для пространства представления ${ displaystyle V.}$

Представление группы в модуль вместо векторного пространства также называется линейным представлением.

Мы пишем ${ Displaystyle ( rho, V _ { rho})}$ для представления ${ displaystyle rho: G to { text {GL}} (V _ { rho})}$ из ${ displaystyle G.}$ Иногда мы используем обозначения ${ Displaystyle ( rho, V)}$ если ясно, к какому представлению пространство ${ displaystyle V}$ принадлежит.

В этой статье мы ограничимся изучением конечномерных пространств представлений, за исключением последней главы. Поскольку в большинстве случаев только конечное число векторов в ${ displaystyle V}$ представляет интерес, достаточно изучить субпредставительство порожденные этими векторами. Тогда пространство представления этого подпредставления конечномерно.

В степень представительства измерение своего представительского пространства ${ displaystyle V.}$ Обозначение ${ Displaystyle тусклый ( rho)}$ иногда используется для обозначения степени представления ${ displaystyle rho.}$

Примеры

В тривиальное представление дан кем-то ${ displaystyle rho (s) = { text {Id}}}$ для всех ${ displaystyle s in G.}$

Представление степени ${ displaystyle 1}$ группы ${ displaystyle G}$ является гомоморфизмом в мультипликативный группа ${ displaystyle rho: G to { text {GL}} _ {1} ( mathbb {C}) = mathbb {C} ^ { times} = mathbb {C} setminus {0 }.}$ Как каждый элемент ${ displaystyle G}$ имеет конечный порядок, значения ${ displaystyle rho (s)}$ находятся корни единства. Например, пусть ${ Displaystyle rho: G = mathbb {Z} / 4 mathbb {Z} to mathbb {C} ^ { times}}$ - нетривиальное линейное представление. С ${ displaystyle rho}$ является гомоморфизмом групп, он должен удовлетворять ${ displaystyle rho ({0}) = 1.}$ Потому что ${ displaystyle 1}$ генерирует ${ Displaystyle G, rho}$ определяется его стоимостью на ${ displaystyle rho (1).}$ И, как ${ displaystyle rho}$ нетривиально, ${ displaystyle rho ({1}) in {i, -1, -i }.}$ Таким образом, мы добиваемся того, что изображение ${ displaystyle G}$ под ${ displaystyle rho}$ должна быть нетривиальной подгруппой группы, состоящей из корней четвертой степени из единицы. Другими словами, ${ displaystyle rho}$ должна быть одна из следующих трех карт:

${ displaystyle { begin {cases} rho _ {1} ({0}) = 1 rho _ {1} ({1}) = я rho _ {1} ({2}) = -1 rho _ {1} ({3}) = - i end {cases}} qquad { begin {cases} rho _ {2} ({0}) = 1 rho _ {2} ({1}) = - 1 rho _ {2} ({2}) = 1 rho _ {2} ({3}) = - 1 end {case}} qquad { begin {cases} rho _ {3} ({0}) = 1 rho _ {3} ({1}) = - i rho _ {3} ({2}) = -1 rho _ {3} ({3}) = i end {case}}}$

Позволять ${ Displaystyle G = mathbb {Z} / 2 mathbb {Z} times mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ и разреши ${ displaystyle rho: G to { text {GL}} _ {2} ( mathbb {C})}$ - гомоморфизм групп, определенный следующим образом:

${ displaystyle rho ({0}, {0}) = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}, quad rho ({1}, {0}) = { begin { pmatrix} -1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}}, quad rho ({0}, {1}) = { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}}, quad rho ({1}, {1}) = { begin {pmatrix} 0 & -1 - 1 & 0 end {pmatrix}}.}$

В этом случае ${ displaystyle rho}$ является линейным представлением ${ displaystyle G}$ степени ${ displaystyle 2.}$

Представление перестановки

Позволять ${ displaystyle X}$ - конечное множество и пусть ${ displaystyle G}$ быть группой, действующей на ${ displaystyle X.}$ Обозначим через ${ displaystyle { text {Aut}} (X)}$ группа всех перестановок на ${ displaystyle X}$ с композицией как групповое умножение.

Группа, действующая на конечном множестве, иногда считается достаточной для определения перестановочного представления. Однако, поскольку мы хотим построить примеры для линейных представлений, где группы действуют на векторных пространствах, а не на произвольных конечных множествах, мы должны действовать по-другому. Чтобы построить представление перестановки, нам понадобится векторное пространство ${ displaystyle V}$ с ${ Displaystyle dim (V) = | X |.}$ Основа ${ displaystyle V}$ могут быть проиндексированы элементами ${ displaystyle X.}$ Представление подстановки - это гомоморфизм групп ${ displaystyle rho: G to { text {GL}} (V)}$ данный ${ displaystyle rho (s) e_ {x} = e_ {s.x}}$ для всех ${ displaystyle s in G, x in X.}$ Все линейные карты ${ displaystyle rho (s)}$ однозначно определяются этим свойством.

Пример. Позволять ${ Displaystyle X = {1,2,3 }}$ и ${ displaystyle G = { text {Sym}} (3).}$ потом ${ displaystyle G}$ действует на ${ displaystyle X}$ через ${ displaystyle { text {Aut}} (X) = G.}$ Соответствующее линейное представление ${ displaystyle rho: G to { text {GL}} (V) cong { text {GL}} _ {3} ( mathbb {C})}$ с ${ displaystyle rho ( sigma) e_ {x} = e _ { sigma (x)}}$ за ${ Displaystyle sigma в G, х в X.}$

Левое и правое регулярное представление

Позволять ${ displaystyle G}$ быть группой и ${ displaystyle V}$ быть векторным пространством размерности ${ displaystyle | G |}$ с основой ${ Displaystyle (е_ {т}) _ {т в G}}$ индексируется элементами ${ displaystyle G.}$ В левое регулярное представление это частный случай перестановочное представление выбирая ${ Displaystyle X = G.}$ Это означает ${ displaystyle rho (s) e_ {t} = e_ {st}}$ для всех ${ displaystyle s, t in G.}$ Таким образом, семья ${ displaystyle ( rho (s) e_ {1}) _ {s in G}}$ изображений ${ displaystyle e_ {1}}$ являются основой ${ displaystyle V.}$ Степень леворегулярного представления равна порядку группы.

В правильное представление определена на том же векторном пространстве с аналогичным гомоморфизмом: ${ displaystyle rho (s) e_ {t} = e_ {ts ^ {- 1}}.}$ Так же, как и раньше ${ displaystyle ( rho (s) e_ {1}) _ {s in G}}$ является основой ${ displaystyle V.}$ Как и в случае леворегулярного представления, степень правого регулярного представления равна порядку ${ displaystyle G.}$

Оба представления изоморфный через ${ displaystyle e_ {s} mapsto e_ {s ^ {- 1}}.}$ По этой причине они не всегда выделяются отдельно и часто называются «обычными» представлениями.

Более пристальный взгляд дает следующий результат: данное линейное представление ${ displaystyle rho: G to { text {GL}} (W)}$ является изоморфный в левое регулярное представление тогда и только тогда, когда существует ${ displaystyle w in W,}$ такой, что ${ displaystyle ( rho (s) w) _ {s in G}}$ является основой ${ displaystyle W.}$

Пример. Позволять ${ Displaystyle G = mathbb {Z} / 5 mathbb {Z}}$ и ${ Displaystyle V = mathbb {R} ^ {5}}$ с основанием ${ displaystyle {e_ {0}, ldots, e_ {4} }.}$ Тогда левое регулярное представление ${ displaystyle L _ { rho}: G to { text {GL}} (V)}$ определяется ${ Displaystyle L _ { rho} (к) e_ {l} = e_ {l + k}}$ за ${ displaystyle k, l in mathbb {Z} / 5 mathbb {Z}.}$ Правое регулярное представление определяется аналогично формулой ${ Displaystyle R _ { rho} (к) e_ {l} = e_ {l-k}}$ за ${ displaystyle k, l in mathbb {Z} / 5 mathbb {Z}.}$

Представления, модули и алгебра свертки

Позволять ${ displaystyle G}$ - конечная группа, пусть ${ displaystyle K}$ быть коммутативным звенеть и разреши ${ displaystyle K [G]}$ быть групповая алгебра из ${ displaystyle G}$ над ${ displaystyle K.}$ Эта алгебра свободна, и базис можно индексировать элементами ${ displaystyle G.}$ Чаще всего основу отождествляют с ${ displaystyle G}$. Каждый элемент ${ Displaystyle е в К [G]}$ тогда можно однозначно выразить как

${ displaystyle f = sum _ {s in G} a_ {s} s}$ с ${ displaystyle a_ {s} in K}$.

Умножение в ${ displaystyle K [G]}$ расширяет это в ${ displaystyle G}$ распределительно.

Теперь позвольте ${ displaystyle V}$ быть ${ displaystyle K}$–модуль и разреши ${ displaystyle rho: G to { text {GL}} (V)}$ быть линейным представлением ${ displaystyle G}$ в ${ displaystyle V.}$ Мы определяем ${ Displaystyle sv = rho (s) v}$ для всех ${ displaystyle s in G}$ и ${ displaystyle v in V}$. Линейным расширением ${ displaystyle V}$ наделен структурой левостороннего${ displaystyle K [G]}$–Модуль. Наоборот, мы получаем линейное представление ${ displaystyle G}$ начиная с ${ displaystyle K [G]}$–Module ${ displaystyle V}$. Кроме того, гомоморфизмы представлений находятся в биективном соответствии с гомоморфизмами групповой алгебры. Следовательно, эти термины могут использоваться как синонимы.^[1][2] Это пример изоморфизм категорий.

Предполагать ${ displaystyle K = mathbb {C}.}$ В этом случае левый ${ Displaystyle mathbb {C} [G]}$–Модуль предоставлен ${ Displaystyle mathbb {C} [G]}$ сам соответствует лево-регулярному представлению. Таким же образом ${ Displaystyle mathbb {C} [G]}$ как право ${ Displaystyle mathbb {C} [G]}$–Module соответствует правильному регулярному представлению.

Далее мы определим сверточная алгебра: Позволять ${ displaystyle G}$ быть группой, множество ${ Displaystyle L ^ {1} (G): = {е: G к mathbb {C} }}$ это ${ displaystyle mathbb {C}}$–Векторном пространстве с операциями сложения и скалярного умножения, то это векторное пространство изоморфно ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {| G |}.}$ Свертка двух элементов ${ displaystyle f, h in L ^ {1} (G)}$ определяется

${ Displaystyle е * час (s): = сумма _ {t in G} f (t) час (t ^ {- 1} s)}$

делает ${ Displaystyle L ^ {1} (G)}$ ан алгебра. Алгебра ${ Displaystyle L ^ {1} (G)}$ называется сверточная алгебра.

Алгебра свертки свободна и имеет базис, индексированный элементами группы: ${ displaystyle ( delta _ {s}) _ {s in G},}$ куда

${ displaystyle delta _ {s} (t) = { begin {cases} 1 & t = s 0 & { text {в противном случае.}} end {cases}}}$

Используя свойства свертки, получаем: ${ displaystyle delta _ {s} * delta _ {t} = delta _ {st}.}$

Мы определяем карту между ${ Displaystyle L ^ {1} (G)}$ и ${ displaystyle mathbb {C} [G],}$ определяя ${ displaystyle delta _ {s} mapsto e_ {s}}$ на основании ${ displaystyle ( delta _ {s}) _ {s in G}}$ и расширяя его линейно. Очевидно, что предыдущее отображение биективный. Более внимательное рассмотрение свертки двух базисных элементов, как показано в приведенном выше уравнении, показывает, что умножение в ${ Displaystyle L ^ {1} (G)}$ соответствует этому в ${ displaystyle mathbb {C} [G].}$ Таким образом, свёрточная алгебра и групповая алгебра изоморфны как алгебры.

В инволюция

${ displaystyle f ^ {*} (s) = { overline {f (s ^ {- 1})}}}$

повороты ${ Displaystyle L ^ {1} (G)}$ в ${ displaystyle ^ {*}}$-алгебра. У нас есть ${ displaystyle delta _ {s} ^ {*} = delta _ {s ^ {- 1}}.}$

Представление ${ displaystyle ( pi, V _ { pi})}$ группы ${ displaystyle G}$ распространяется на ${ displaystyle ^ {*}}$–Гомоморфизм алгебр ${ displaystyle pi: L ^ {1} (G) to { text {End}} (V _ { pi})}$ к ${ displaystyle pi ( delta _ {s}) = pi (s).}$ Поскольку кратность является характеристическим свойством гомоморфизмов алгебр, ${ displaystyle pi}$ удовлетворяет ${ Displaystyle пи (е * ч) = пи (е) пи (ч).}$ Если ${ displaystyle pi}$ унитарен, также получаем ${ displaystyle pi (f) ^ {*} = pi (f ^ {*}).}$ Для определения унитарного представления, пожалуйста, обратитесь к главе о характеристики. В этой главе мы увидим, что (без ограничения общности) любое линейное представление можно считать унитарным.

Используя алгебру свертки, мы можем реализовать Преобразование Фурье в группе ${ displaystyle G.}$ В районе гармонический анализ показано, что следующее определение согласуется с определением преобразования Фурье на ${ displaystyle mathbb {R}.}$

Позволять ${ displaystyle rho: G to { text {GL}} (V _ { rho})}$ быть представлением и пусть ${ Displaystyle е в L ^ {1} (G)}$ быть ${ displaystyle mathbb {C}}$-значная функция на ${ displaystyle G}$. Преобразование Фурье ${ displaystyle { hat {f}} ( rho) in { text {End}} (V _ { rho})}$ из ${ displaystyle f}$ определяется как

${ displaystyle { hat {f}} ( rho) = sum _ {s in G} f (s) rho (s).}$

Это преобразование удовлетворяет ${ displaystyle { widehat {f * g}} ( rho) = { hat {f}} ( rho) cdot { hat {g}} ( rho).}$

Карты между представлениями

Карта между двумя представлениями ${ Displaystyle ( rho, V _ { rho}), , ( tau, V _ { tau})}$ из той же группы ${ displaystyle G}$ линейная карта ${ displaystyle T: V _ { rho} to V _ { tau},}$ со свойством, что ${ Displaystyle тау (s) circ T = T circ rho (s)}$ относится ко всем ${ displaystyle s in G.}$ Другими словами, следующая диаграмма коммутирует для всех ${ displaystyle s in G}$:

Такую карту еще называют ${ displaystyle G}$–Линейный, или эквивариантное отображение. В ядро, то изображение и коядро из ${ displaystyle T}$ определены по умолчанию. Композиция эквивариантных отображений снова является эквивариантным отображением. Существует категория представительств с эквивариантными отображениями в качестве морфизмы. Они снова ${ displaystyle G}$–Модули. Таким образом, они обеспечивают представление ${ displaystyle G}$ из-за корреляции, описанной в предыдущем разделе.

Неприводимые представления и лемма Шура

Позволять ${ displaystyle rho: G to { text {GL}} (V)}$ быть линейным представлением ${ displaystyle G.}$ Позволять ${ displaystyle W}$ быть ${ displaystyle G}$-инвариантное подпространство ${ Displaystyle V,}$ то есть, ${ displaystyle rho (s) w in W}$ для всех ${ displaystyle s in G}$ и ${ displaystyle w in W}$. Ограничение ${ displaystyle rho (s) | _ {W}}$ является изоморфизмом ${ displaystyle W}$ на себя. Потому что ${ Displaystyle rho (s) | _ {W} circ rho (t) | _ {W} = rho (st) | _ {W}}$ относится ко всем ${ displaystyle s, т in G,}$ эта конструкция является представлением ${ displaystyle G}$ в ${ displaystyle W.}$ Это называется субпредставительство из ${ displaystyle V.}$Любое представление V имеет как минимум два подпредставления, а именно одно, состоящее только из 0, и одно, состоящее из V сам. Представление называется неприводимое представление, если эти два являются единственными подпредставлениями. Некоторые авторы также называют эти представления простыми, поскольку они как раз и являются простые модули над групповой алгеброй ${ Displaystyle mathbb {C} [G]}$.

Лемма Шура налагает сильное ограничение на отображение между неприводимыми представлениями. Если ${ displaystyle rho _ {1}: G to { text {GL}} (V_ {1})}$ и ${ displaystyle rho _ {2}: G to { text {GL}} (V_ {2})}$ оба неприводимы, и ${ displaystyle F: V_ {1} to V_ {2}}$ линейное отображение такое, что ${ Displaystyle rho _ {2} (s) circ F = F circ rho _ {1} (s)}$ для всех ${ displaystyle s in G.}$, существует следующая дихотомия:

• Если ${ displaystyle V_ {1} = V_ {2}}$ и ${ Displaystyle rho _ {1} = rho _ {2},}$ ${ displaystyle F}$ это гомотетия (т.е. ${ displaystyle F = lambda { text {Id}}}$ для ${ displaystyle lambda in mathbb {C}}$). В более общем смысле, если ${ displaystyle rho _ {1}}$ и ${ displaystyle rho _ {2}}$ изоморфны, пространство грамм-линейные карты одномерны.
• В противном случае, если два представления не изоморфны, F должно быть 0.

^[3]

Характеристики

Два представления ${ Displaystyle ( rho, V _ { rho}), ( pi, V _ { pi})}$ называются эквивалент или же изоморфный, если существует ${ displaystyle G}$–Линейный изоморфизм векторных пространств между пространствами представлений. Другими словами, они изоморфны, если существует биективное линейное отображение ${ displaystyle T: V _ { rho} to V _ { pi},}$ такой, что ${ Displaystyle T circ rho (s) = pi (s) circ T}$ для всех ${ displaystyle s in G.}$ В частности, эквивалентные представления имеют одинаковую степень.

Представление ${ displaystyle ( pi, V _ { pi})}$ называется верный когда ${ displaystyle pi}$ является инъективный. В этом случае ${ displaystyle pi}$ индуцирует изоморфизм между ${ displaystyle G}$ и изображение ${ displaystyle pi (G).}$ Поскольку последняя является подгруппой ${ displaystyle { text {GL}} (V _ { pi}),}$ мы можем рассматривать ${ displaystyle G}$ через ${ displaystyle pi}$ как подгруппа ${ displaystyle { text {Aut}} (V _ { pi}).}$

Мы можем ограничить диапазон, а также домен:

Позволять ${ displaystyle H}$ быть подгруппой ${ displaystyle G.}$ Позволять ${ displaystyle rho}$ быть линейным представлением ${ displaystyle G.}$ Обозначим через ${ displaystyle { text {Res}} _ {H} ( rho)}$ ограничение ${ displaystyle rho}$ в подгруппу ${ displaystyle H.}$

Если нет опасности путаницы, мы можем использовать только ${ displaystyle { text {Res}} ( rho)}$ или короче ${ displaystyle { text {Res}} rho.}$

Обозначение ${ displaystyle { text {Res}} _ {H} (V)}$ или короче ${ displaystyle { text {Res}} (V)}$ также используется для обозначения ограничения представления ${ displaystyle V}$ из ${ displaystyle G}$ на ${ displaystyle H.}$

Позволять ${ displaystyle f}$ быть функцией на ${ displaystyle G.}$ Мы пишем ${ displaystyle { text {Res}} _ {H} (f)}$ или вскоре ${ displaystyle { text {Res}} (е)}$ для ограничения на подгруппу ${ displaystyle H.}$

Можно доказать, что количество неприводимых представлений группы ${ displaystyle G}$ (или соответственно количество простых ${ Displaystyle mathbb {C} [G]}$–Modules) равно количеству классы сопряженности из ${ displaystyle G.}$

Представление называется полупростой или же полностью сводимый если это можно записать как прямая сумма неприводимых представлений. Это аналогично соответствующему определению для полупростой алгебры.

Для определения прямой суммы представлений обратитесь к разделу о прямые суммы представлений.

Представление называется изотипический если это прямая сумма попарно изоморфных неприводимых представлений.

Позволять ${ Displaystyle ( rho, V _ { rho})}$ быть данным представлением группы ${ displaystyle G.}$ Позволять ${ Displaystyle тау}$ быть неприводимым представлением ${ displaystyle G.}$ В ${ Displaystyle тау}$–изотип ${ Displaystyle V _ { rho} ( тау)}$ из ${ displaystyle G}$ определяется как сумма всех неприводимых подпредставлений ${ displaystyle V}$ изоморфен ${ displaystyle tau.}$

Каждое векторное пространство над ${ displaystyle mathbb {C}}$ может быть предоставлен внутренний продукт. Представление ${ displaystyle rho}$ группы ${ displaystyle G}$ в векторном пространстве, снабженном внутренним продуктом, называется унитарный если ${ displaystyle rho (s)}$ является унитарный для каждого ${ displaystyle s in G.}$ Это означает, что в частности каждый ${ displaystyle rho (s)}$ является диагонализуемый. Подробнее см. Статью на унитарные представления.

Представление является унитарным по отношению к заданному внутреннему продукту тогда и только тогда, когда внутренний продукт инвариантен относительно индуцированной операции ${ displaystyle G,}$ т.е. если и только если ${ Displaystyle (v | u) = ( rho (s) v | rho (s) u)}$ относится ко всем ${ displaystyle v, u in V _ { rho}, s in G.}$

Данный внутренний продукт ${ Displaystyle ( cdot | cdot)}$ можно заменить на инвариантный внутренний продукт путем обмена ${ displaystyle (v | u)}$ с

${ Displaystyle сумма _ {т в G} ( rho (t) v | rho (t) u).}$

Таким образом, без ограничения общности можно считать, что каждое далее рассматриваемое представление унитарно.

Пример. Позволять ${ Displaystyle G = D_ {6} = {{ text {id}}, mu, mu ^ {2}, nu, mu nu, mu ^ {2} nu }}$ быть группа диэдра из порядок ${ displaystyle 6}$ создано ${ displaystyle mu, nu}$ которые выполняют свойства ${ displaystyle { text {ord}} ( nu) = 2, { text {ord}} ( mu) = 3}$ и ${ displaystyle nu mu nu = mu ^ {2}.}$ Позволять ${ displaystyle rho: D_ {6} to { text {GL}} _ {3} ( mathbb {C})}$ быть линейным представлением ${ displaystyle D_ {6}}$ определяется на генераторах:

${ displaystyle rho ( mu) = left ({ begin {array} {ccc} cos ({ frac {2 pi} {3}}) & 0 & - sin ({ frac {2 pi } {3}}) 0 & 1 & 0 sin ({ frac {2 pi} {3}}) & 0 & cos ({ frac {2 pi} {3}}) end {array}} right), , , , , rho ( nu) = left ({ begin {array} {ccc} -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 end {array}} right) .}$

Это представление верное. Подпространство ${ Displaystyle mathbb {C} е_ {2}}$ это ${ displaystyle D_ {6}}$–Инвариантное подпространство. Таким образом, существует нетривиальное подпредставление ${ displaystyle rho | _ { mathbb {C} e_ {2}}: D_ {6} to mathbb {C} ^ { times}}$ с ${ Displaystyle Nu mapsto -1, mu mapsto 1.}$ Следовательно, представление не является неприводимым. Указанное подпредставление имеет степень один и неприводимо. В дополнительное подпространство из ${ Displaystyle mathbb {C} е_ {2}}$ является ${ displaystyle D_ {6}}$- также инвариантен. Таким образом, мы получаем подпредставление ${ displaystyle rho | _ { mathbb {C} e_ {1} oplus mathbb {C} e_ {3}}}$ с

${ displaystyle nu mapsto { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}, , , , , mu mapsto { begin {pmatrix} cos ({ frac { 2 pi} {3}}) & - sin ({ frac {2 pi} {3}}) sin ({ frac {2 pi} {3}}) & cos ({ frac {2 pi} {3}}) end {pmatrix}}.}$

Это подпредставление также неприводимо. Это означает, что исходное представление полностью сводимо:

${ displaystyle rho = rho | _ { mathbb {C} e_ {2}} oplus rho | _ { mathbb {C} e_ {1} oplus mathbb {C} e_ {3}}. }$

Оба субпредставления изотипны и являются двумя единственными ненулевыми изотипами ${ displaystyle rho.}$

Представление ${ displaystyle rho}$ является унитарным по отношению к стандартному внутреннему продукту на ${ displaystyle mathbb {C} ^ {3},}$ потому что ${ Displaystyle rho ( му)}$ и ${ Displaystyle ро ( ню)}$ унитарны.

Позволять ${ Displaystyle T: mathbb {C} ^ {3} to mathbb {C} ^ {3}}$ - любой изоморфизм векторного пространства. потом ${ displaystyle eta: D_ {6} to { text {GL}} _ {3} ( mathbb {C}),}$ которое определяется уравнением ${ displaystyle eta (s): = T circ rho (s) circ T ^ {- 1}}$ для всех ${ displaystyle s in D_ {6},}$ является представлением, изоморфным ${ displaystyle rho.}$

Ограничивая область представления подгруппой, например ${ displaystyle H = {{ text {id}}, mu, mu ^ {2} },}$ получаем представление ${ displaystyle { text {Res}} _ {H} ( rho).}$ Это представление определяется изображением ${ Displaystyle rho ( му),}$ явный вид которого показан выше.

Конструкции

Двойственное представление

Позволять ${ displaystyle rho: G to { text {GL}} (V)}$ быть данным представлением. В двойное представительство или же противоположное представление ${ displaystyle rho ^ {*}: G to { text {GL}} (V ^ {*})}$ представляет собой представление ${ displaystyle G}$ в двойное векторное пространство из ${ displaystyle V.}$ Он определяется свойством

${ Displaystyle forall s in G, v in V, alpha in V ^ {*}: qquad left ( rho ^ {*} (s) alpha right) (v) = alpha left ( rho left (s ^ {- 1} right) v right).}$

Что касается естественного спаривания ${ Displaystyle langle альфа, v rangle: = альфа (v)}$ между ${ Displaystyle V ^ {*}}$ и ${ displaystyle V}$ приведенное выше определение дает уравнение:

${ Displaystyle forall s in G, v in V, alpha in V ^ {*}: qquad langle rho ^ {*} (s) ( alpha), rho (s) (v ) rangle = langle alpha, v rangle.}$

Для примера см. Главную страницу по этой теме: Двойное представление.

Прямая сумма представлений

Позволять ${ displaystyle ( rho _ {1}, V_ {1})}$ и ${ displaystyle ( rho _ {2}, V_ {2})}$ быть представлением ${ displaystyle G_ {1}}$ и ${ displaystyle G_ {2},}$ соответственно. Прямая сумма этих представлений является линейным представлением и определяется как

${ displaystyle forall s_ {1} in G_ {1}, s_ {2} in G_ {2}, v_ {1} in V_ {1}, v_ {2} in V_ {2}: qquad { begin {cases} rho _ {1} oplus rho _ {2}: G_ {1} times G_ {2} to { text {GL}} (V_ {1} oplus V_ { 2}) [4pt] ( rho _ {1} oplus rho _ {2}) (s_ {1}, s_ {2}) (v_ {1}, v_ {2}): = rho _ {1} (s_ {1}) v_ {1} oplus rho _ {2} (s_ {2}) v_ {2} end {case}}}$

Позволять ${ displaystyle rho _ {1}, rho _ {2}}$ быть представлениями той же группы ${ displaystyle G.}$ Для простоты прямая сумма этих представлений определяется как представление ${ displaystyle G,}$ т.е. он задается как ${ displaystyle rho _ {1} oplus rho _ {2}: G to { text {GL}} (V_ {1} oplus V_ {2}),}$ просмотрев ${ displaystyle G}$ как диагональная подгруппа группы ${ displaystyle G times G.}$

Пример. Пусть (здесь ${ displaystyle i}$ и ${ displaystyle omega}$ - мнимая единица и примитивный кубический корень из единицы соответственно):

${ displaystyle { begin {cases} rho _ {1}: mathbb {Z} / 2 mathbb {Z} to { text {GL}} _ {2} ( mathbb {C}) [4pt] rho _ {1} (1) = { begin {pmatrix} 0 & -i i & 0 end {pmatrix}} end {ases}} qquad qquad { begin {cases} rho _ {2}: mathbb {Z} / 3 mathbb {Z} to { text {GL}} _ {3} ( mathbb {C}) [6pt] rho _ {2} (1) = { begin {pmatrix} 1 & 0 & omega 0 & omega & 0 0 & 0 & omega ^ {2} end {pmatrix}} end {cases}}}$

потом

${ displaystyle { begin {cases} rho _ {1} oplus rho _ {2}: mathbb {Z} / 2 mathbb {Z} times mathbb {Z} / 3 mathbb {Z} to { text {GL}} left ( mathbb {C} ^ {2} oplus mathbb {C} ^ {3} right) [6pt] left ( rho _ {1} oplus rho _ {2} right) (k, l) = { begin {pmatrix} rho _ {1} (k) & 0 0 & rho _ {2} (l) end {pmatrix}} & k in mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}, l in mathbb {Z} / 3 mathbb {Z} end {case}}}$

Поскольку достаточно рассмотреть образ образующего элемента, находим, что

${ displaystyle ( rho _ {1} oplus rho _ {2}) (1,1) = { begin {pmatrix} 0 & -i & 0 & 0 & 0 i & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & omega 0 & 0 & 0 & omega & 0 0 & 0 & 0 & 0 & omega ^ {2} end {pmatrix}}}$

Тензорное произведение представлений

Позволять ${ displaystyle rho _ {1}: G_ {1} to { text {GL}} (V_ {1}), rho _ {2}: G_ {2} to { text {GL}} (V_ {2})}$ - линейные представления. Определим линейное представление ${ displaystyle rho _ {1} otimes rho _ {2}: G_ {1} times G_ {2} to { text {GL}} (V_ {1} otimes V_ {2})}$ в тензорное произведение из ${ displaystyle V_ {1}}$ и ${ displaystyle V_ {2}}$ к ${ displaystyle rho _ {1} otimes rho _ {2} (s_ {1}, s_ {2}) = rho _ {1} (s_ {1}) otimes rho _ {2} ( s_ {2}),}$ в котором ${ displaystyle s_ {1} in G_ {1}, s_ {2} in G_ {2}.}$ Это представление называется внешнее тензорное произведение представительств ${ displaystyle rho _ {1}}$ и ${ displaystyle rho _ {2}.}$ Существование и уникальность - следствие свойства тензорного произведения.

Пример. Мы еще раз рассмотрим пример, представленный для прямая сумма:

${ displaystyle { begin {cases} rho _ {1}: mathbb {Z} / 2 mathbb {Z} to { text {GL}} _ {2} ( mathbb {C}) [4pt] rho _ {1} (1) = { begin {pmatrix} 0 & -i i & 0 end {pmatrix}} end {ases}} qquad qquad { begin {cases} rho _ {2}: mathbb {Z} / 3 mathbb {Z} to { text {GL}} _ {3} ( mathbb {C}) [6pt] rho _ {2} (1) = { begin {pmatrix} 1 & 0 & omega 0 & omega & 0 0 & 0 & omega ^ {2} end {pmatrix}} end {cases}}}$

Внешнее тензорное произведение

${ displaystyle { begin {cases} rho _ {1} otimes rho _ {2}: mathbb {Z} / 2 mathbb {Z} times mathbb {Z} / 3 mathbb {Z} to { text {GL}} ( mathbb {C} ^ {2} otimes mathbb {C} ^ {3}) ( rho _ {1} otimes rho _ {2}) ( k, l) = rho _ {1} (k) otimes rho _ {2} (l) & k in mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}, l in mathbb {Z} / 3 mathbb {Z} end {case}}}$

Используя стандартный базис ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2} otimes mathbb {C} ^ {3} cong mathbb {C} ^ {6}}$ для порождающего элемента имеем:

${ Displaystyle rho _ {1} otimes rho _ {2} (1,1) = rho _ {1} (1) otimes rho _ {2} (1) = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i & 0 & -i omega 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i omega & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i omega ^ {2} i & 0 & i omega & 0 & 0 & 0 0 & i omega & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & end {pmatrix}}}$

Замечание. Обратите внимание, что прямая сумма а тензорные произведения имеют разные степени и, следовательно, представляют собой разные представления.

Позволять ${ displaystyle rho _ {1}: G to { text {GL}} (V_ {1}), rho _ {2}: G to { text {GL}} (V_ {2}) }$ - два линейных представления одной и той же группы. Позволять ${ displaystyle s}$ быть элементом ${ displaystyle G.}$ потом ${ displaystyle rho (s) in { text {GL}} (V_ {1} otimes V_ {2})}$ определяется ${ Displaystyle rho (s) (v_ {1} otimes v_ {2}) = rho _ {1} (s) v_ {1} otimes rho _ {2} (s) v_ {2}, }$ за ${ displaystyle v_ {1} in V_ {1}, v_ {2} in V_ {2},}$ и мы пишем ${ Displaystyle rho (s) = rho _ {1} (s) otimes rho _ {2} (s).}$ Тогда карта ${ Displaystyle s mapsto rho (s)}$ определяет линейное представление ${ displaystyle G,}$ который также называют тензорное произведение данных представлений.

Эти два случая следует строго различать. Первый случай - это представление группового произведения в тензорное произведение соответствующих пространств представления. Второй случай - представление группы ${ displaystyle G}$ в тензорное произведение двух пространств представлений этой одной группы. Но этот последний случай можно рассматривать как частный случай первого, если сосредоточить внимание на диагональной подгруппе ${ displaystyle G times G.}$ Это определение можно повторять конечное число раз.

Позволять ${ displaystyle V}$ и ${ displaystyle W}$ быть представлениями группы ${ displaystyle G.}$ потом ${ displaystyle { text {Hom}} (V, W)}$ является представлением в силу следующего тождества: ${ displaystyle { text {Hom}} (V, W) = V ^ {*} otimes W}$. Позволять ${ displaystyle B in { text {Hom}} (V, W)}$ и разреши ${ displaystyle rho}$ быть представлением на ${ displaystyle { text {Hom}} (V, W).}$ Позволять ${ displaystyle rho _ {V}}$ быть представлением на ${ displaystyle V}$ и ${ displaystyle rho _ {W}}$ представление на ${ displaystyle W.}$ Тогда приведенное выше тождество приводит к следующему результату:

${ Displaystyle rho (s) (B) v = rho _ {W} (s) circ B circ rho _ {V} (s) v}$ для всех ${ displaystyle s in G, v in V.}$

Теорема. Неприводимые представления ${ displaystyle G_ {1} times G_ {2}}$ с точностью до изоморфизма - это в точности представления ${ displaystyle rho _ {1} otimes rho _ {2}}$ в котором ${ displaystyle rho _ {1}}$ и ${ displaystyle rho _ {2}}$ неприводимые представления ${ displaystyle G_ {1}}$ и ${ displaystyle G_ {2},}$ соответственно.

Симметричный и знакопеременный квадрат

Позволять ${ displaystyle rho: G to V otimes V}$ быть линейным представлением ${ displaystyle G.}$ Позволять ${ Displaystyle (е_ {к})}$ быть основой ${ displaystyle V.}$ Определять ${ displaystyle vartheta: V otimes V to V otimes V}$ путем расширения ${ displaystyle vartheta (e_ {k} otimes e_ {j}) = e_ {j} otimes e_ {k}}$ линейно. Тогда он утверждает, что ${ Displaystyle vartheta ^ {2} = 1}$ и поэтому ${ displaystyle V otimes V}$ распадается на ${ displaystyle V otimes V = { text {Sym}} ^ {2} (V) oplus { text {Alt}} ^ {2} (V),}$ в котором

${ displaystyle { text {Sym}} ^ {2} (V) = {z in V otimes V: vartheta (z) = z }}$

${ displaystyle { text {Alt}} ^ {2} (V) = bigwedge ^ {2} V = {z in V otimes V: vartheta (z) = - z }.}$

Эти подпространства ${ displaystyle G}$–Инвариантными и тем самым определяют подпредставления, которые называются симметричный квадрат и переменный квадрат, соответственно. Эти подпредставления также определены в ${ displaystyle V ^ { otimes m},}$ хотя в данном случае они обозначаются клиновидным продуктом ${ displaystyle bigwedge ^ {m} V}$ и симметричное произведение ${ displaystyle { text {Sym}} ^ {m} (V).}$ В случае, если ${ displaystyle m> 2,}$ векторное пространство ${ displaystyle V ^ { otimes m}}$ как правило, не равна прямой сумме этих двух продуктов.

Разложения

Для облегчения понимания представлений было бы желательно разложение пространства представления на прямую сумму более простых подпредставлений. Это может быть достигнуто для конечных групп, как мы увидим в следующих результатах. Более подробные объяснения и доказательства можно найти в [1] и [2].

Теорема. (Машке ) Позволять ${ displaystyle rho: G to { text {GL}} (V)}$ - линейное представление, где ${ displaystyle V}$ - векторное пространство над полем нулевой характеристики. Позволять ${ displaystyle W}$ быть ${ displaystyle G}$-инвариантное подпространство ${ displaystyle V.}$ Тогда дополнение ${ displaystyle W ^ {0}}$ из ${ displaystyle W}$ существует в ${ displaystyle V}$ и является ${ displaystyle G}$-инвариантный.

Подпредставление и его дополнение однозначно определяют представление.

Следующая теорема будет представлена ​​в более общем виде, поскольку она дает очень красивый результат о представлениях компактный - а значит, и конечных - групп:

Теорема. Всякое линейное представление компактной группы над полем нулевой характеристики является прямой суммой неприводимых представлений.

Или на языке ${ displaystyle K [G]}$-модули: Если ${ displaystyle { text {char}} (K) = 0,}$ групповая алгебра ${ displaystyle K [G]}$ полупрост, т.е. представляет собой прямую сумму простых алгебр.

Обратите внимание, что это разложение не уникально. Однако количество случаев, когда подпредставление, изоморфное данному неприводимому представлению, встречается в этом разложении, не зависит от выбора разложения.

Каноническое разложение

Чтобы добиться уникального разложения, нужно объединить все неприводимые подпредставления, изоморфные друг другу. Это означает, что пространство представления раскладывается на прямую сумму своих изотипов. Это разложение определяется однозначно. Это называется каноническое разложение.

Позволять ${ Displaystyle ( тау _ {j}) _ {j in I}}$ - множество всех неприводимых представлений группы ${ displaystyle G}$ с точностью до изоморфизма. Позволять ${ displaystyle V}$ быть представлением ${ displaystyle G}$ и разреши ${ Displaystyle {В ( тау _ {j}) | j в I }}$ быть набором всех изотипов ${ displaystyle V.}$ В проекция ${ displaystyle p_ {j}: от V к V ( tau _ {j})}$ соответствующая каноническому разложению дается выражением

${ displaystyle p_ {j} = { frac {n_ {j}} {g}} sum _ {t in G} { overline { chi _ { tau _ {j}} (t)}} rho (t),}$

куда ${ displaystyle n_ {j} = dim ( tau _ {j}),}$ ${ displaystyle g = { text {ord}} (G)}$ и ${ displaystyle chi _ { tau _ {j}}}$ персонаж принадлежит ${ displaystyle tau _ {j}.}$

Далее мы покажем, как определить изотип тривиального представления:

Определение (формула проекции). Для каждого представительства ${ Displaystyle ( rho, V)}$ группы ${ displaystyle G}$ мы определяем

${ Displaystyle V ^ {G}: = {v in V: rho (s) v = v , , , , forall , s in G }.}$

В целом, ${ Displaystyle rho (s): от V до V}$ не является ${ displaystyle G}$-линейный. Мы определяем

${ displaystyle P: = { frac {1} {| G |}} sum _ {s in G} rho (s) in { text {End}} (V).}$

потом ${ displaystyle P}$ это ${ displaystyle G}$-линейная карта, потому что

${ displaystyle forall t in G: qquad sum _ {s in G} rho (s) = sum _ {s in G} rho (tst ^ {- 1}).}$

Предложение. Карта ${ displaystyle P}$ это проекция из ${ displaystyle V}$ к ${ displaystyle V ^ {G}.}$

Это предложение позволяет нам явно определить изотип тривиального подпредставления данного представления.

Как часто тривиальное представление встречается в ${ displaystyle V}$ дан кем-то ${ displaystyle { text {Tr}} (P).}$ Этот результат является следствием того, что собственные значения проекция только ${ displaystyle 0}$ или же ${ displaystyle 1}$ и что собственное подпространство, соответствующее собственному значению ${ displaystyle 1}$ это изображение проекции. Поскольку след проекции представляет собой сумму всех собственных значений, получаем следующий результат