Категория представительств - Википедия - Category of representations
В теория представлений, то категория представительств некоторых алгебраическая структура А имеет представления А в качестве объекты и эквивариантные отображения в качестве морфизмы между ними. Одна из основных задач теории представлений - понять условия, при которых эта категория полупростой; то есть, распадается ли объект на простые объекты (видеть Теорема Машке для случая конечные группы ).
В Таннакианский формализм дает условия, при которых группа грамм может быть восстановлен из категории его представлений вместе с забывчивый функтор к категория векторных пространств.[1]
В Кольцо Grothendieck категории конечномерных представлений группы грамм называется представительное кольцо из грамм.
Определения
В зависимости от типов представлений, которые вы хотите рассмотреть, обычно используются несколько разные определения.
Для конечной группы грамм и поле F, то категория представительств грамм над F имеет
- объекты: пары (V, ж) из векторные пространства V над F и представительства ж из грамм в этом векторном пространстве
- морфизмы: эквивариантные отображения
- состав: the сочинение эквивариантных отображений
- идентичности: функция идентичности (которое является эквивариантным отображением).
Категория обозначается или же .
Для Группа Ли, обычно требуется, чтобы представления были гладкий или же допустимый. В случае Алгебра Ли, видеть Представление алгебры Ли. Смотрите также: категория O.
Категория модулей над групповым кольцом
Существует изоморфизм категорий между категорией представлений группы грамм над полем F (описано выше) и категория модулей над групповое кольцо F[грамм], обозначенный F[грамм] -Mod.
Теоретико-категориальное определение
Каждая группа грамм можно рассматривать как категорию с одним объектом, где морфизмы в этой категории находятся элементы грамм а состав задается групповой операцией; так грамм это группа автоморфизмов уникального объекта. Учитывая произвольную категорию C, а представление из грамм в C это функтор из грамм к C. Такой функтор отправляет уникальный объект объекту, скажем, Икс в C и вызывает групповой гомоморфизм ; видеть Группа автоморфизмов # В теории категорий для большего. Например, грамм-набор эквивалентен функтору из грамм к Набор, то категория наборов, а линейное представление эквивалентно функтору к VectF, то категория векторных пространств над полем F.[2]
В этой настройке категория линейных представлений грамм над F категория функторов грамм → VectF, у которого есть естественные преобразования как его морфизмы.
Характеристики
Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Ноябрь 2017 г.) |
Категория линейных представлений группы имеет моноидальная структура предоставленный тензорное произведение представлений, который является важным ингредиентом двойственности Таннака-Крейна (см. ниже).
Теорема Машке заявляет, что когда характеристика из F не разделяет порядок из грамм, категория представлений грамм над F является полупростой.
Ограничение и индукция
Учитывая группу грамм с подгруппа ЧАС, существуют два фундаментальных функтора между категориями представлений грамм и ЧАС (над фиксированным полем): один забывчивый функтор называется функтор ограничения
а другой, индукционный функтор
- .
Когда грамм и ЧАС конечные группы, они прилегающий друг другу
- ,
теорема называется Взаимность Фробениуса.
Основной вопрос заключается в том, ведет ли разложение на неприводимые представления (простые объекты категории) при ограничении или индукции. На вопрос может ответить, например, Теория Макки.
Двойственность Таннаки-Крейна
Двойственность Таннаки – Крейна касается взаимодействия компактный топологическая группа и его категория линейные представления. Теорема Таннаки описывает обратный переход из категории конечномерных представлений группы грамм обратно в группу грамм, позволяющий восстановить группу из категории представлений. По сути, теорема Крейна полностью характеризует все категории, которые могут возникнуть из группы таким образом. Эти концепции могут быть применены к представлениям нескольких различных структур, подробности см. В основной статье.
Примечания
- ^ Джейкоб, Лурье (2004-12-14). «Двойственность Таннаки для геометрических стеков». arXiv:математика / 0412266.
- ^ Мак-Лейн, Сондерс (1978). Категории для рабочего математика (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. п. 41. ISBN 1441931236. OCLC 851741862.
Рекомендации
- Андре, Ив (2004), Une введение aux motifs (мотивы purs, motifs mixtes, périodes), Panoramas et Synthèses, 17, Париж: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, МИСТЕР 2115000