Компактная группа - Compact group

В круг центра 0 и радиуса 1 в комплексная плоскость компактная группа Ли с комплексным умножением.

В математика, а компактный (топологический) группа это топологическая группа чей топология является компактный. Компактные группы являются естественным обобщением конечные группы с дискретная топология и имеют свойства, которые в значительной степени сохраняются. Компактные группы имеют хорошо изученную теорию в отношении групповые действия и теория представлений.

Далее мы будем предполагать, что все группы Хаусдорфовы пространства.

Компактные группы Ли

Группы Ли образуют класс топологических групп, а компактные группы Ли имеют особенно хорошо развитую теорию. Основные примеры компактных групп Ли включают^[1]

то круговая группа Т и группы торов Т^п,
то ортогональные группы O (п), специальная ортогональная группа ТАК(п) и его покрытие вращательная группа Вращение(п),
то унитарная группа U (п) и особая унитарная группа SU (п),
то симплектическая группа Sp (п),
компактные формы исключительные группы Ли: грамм₂, F₄, E₆, E₇, и E₈,

В классификационная теорема компактных групп Ли утверждает, что с точностью до конечного расширения и конечный охватывает это исчерпывает список примеров (который уже включает некоторые дублирования). Эта классификация более подробно описана в следующем подразделе.

Классификация

Для любой компактной группы Ли грамм можно взять его компонент идентичности грамм₀, который связаны. В факторгруппа грамм/грамм₀ - группа компонент π₀(грамм) который должен быть конечным, поскольку грамм компактный. Следовательно, мы имеем конечное расширение

{ Displaystyle 1 к G_ {0} к G к pi _ {0} (G) к 1. ,}

Между тем для связных компактных групп Ли имеем следующий результат:^[2]

Теорема: Каждая связная компактная группа Ли является факторпространством по конечной центральной подгруппе произведения односвязной компактной группы Ли и тора.

Таким образом, классификация связных компактных групп Ли в принципе может быть сведена к знанию односвязных компактных групп Ли вместе с информацией об их центрах. (Для получения информации о центре см. Раздел ниже, посвященный основной группе и центру.)

Наконец, всякая компактная связная односвязная группа Ли K является продуктом компактных, связанных, односвязных простые группы Ли K_я каждый из которых изоморфен ровно одному из следующих:

В компактная симплектическая группа ${ Displaystyle OperatorName {Sp} (п), , п geq 1}$
В особая унитарная группа ${ Displaystyle OperatorName {SU} (п), , п geq 3}$
В вращательная группа ${ displaystyle operatorname {Spin} (n), , n geq 7}$

или одна из пяти исключительных групп грамм₂, F₄, E₆, E₇, и E₈. Ограничения на п должны избегать специальных изоморфизмов среди различных семейств при малых значениях п. Для каждой из этих групп центр известен явно. Классификация осуществляется через связанные корневая система (для фиксированного максимального тора), которые, в свою очередь, классифицируются по их Диаграммы Дынкина.

Классификация компактных односвязных групп Ли такая же, как классификация сложных полупростые алгебры Ли. Действительно, если K является односвязной компактной группой Ли, то комплексификация алгебры Ли K полупростой. Наоборот, всякая комплексная полупростая алгебра Ли имеет компактную вещественную форму, изоморфную алгебре Ли компактной односвязной группы Ли.

Максимальные торы и корневые системы

Ключевая идея в изучении связной компактной группы Ли K это концепция максимальный тор, то есть подгруппа Т из K который изоморфен произведению нескольких копий ${ Displaystyle S ^ {1}}$ и это не содержится ни в одной более крупной подгруппе этого типа. Базовый пример - случай ${ Displaystyle К = СУ (п)}$ , в этом случае мы можем взять ${ displaystyle T}$ быть группой диагональных элементов в ${ displaystyle K}$ . Базовый результат - это теорема о торе в котором говорится, что каждый элемент ${ displaystyle K}$ принадлежит максимальному тору и что все максимальные торы сопряжены.

Максимальный тор в компактной группе играет роль, аналогичную роли Подалгебра Картана в комплексной полупростой алгебре Ли. В частности, если максимальный тор ${ displaystyle T subset K}$ был выбран, можно определить корневая система и Группа Вейля похоже на то, что есть для полупростые алгебры Ли.^[3] Эти структуры затем играют существенную роль как в классификации связных компактных групп (описанной выше), так и в теории представлений фиксированной такой группы (описанной ниже).

Системы корней, связанные с простыми компактными группами, фигурирующими в классификации односвязных компактных групп, следующие:^[4]

Особые унитарные группы ${ displaystyle operatorname {SU} (n)}$ соответствуют корневой системе ${ displaystyle A_ {n-1}}$
Нечетные спиновые группы ${ displaystyle operatorname {Spin} (2n + 1)}$ соответствуют корневой системе ${ displaystyle B_ {n}}$
Компактные симплектические группы ${ displaystyle operatorname {Sp} (n)}$ соответствуют корневой системе ${ displaystyle C_ {n}}$
Группы четного спина ${ displaystyle operatorname {Spin} (2n)}$ соответствуют корневой системе ${ displaystyle D_ {n}}$
Исключительные компактные группы Ли соответствуют пяти исключительным системам корней G₂, F₄, E₆, E₇, или E₈

Фундаментальная группа и центр

Важно знать, односвязна ли связная компактная группа Ли, а если нет, то определить ее фундаментальная группа. Для компактных групп Ли существуют два основных подхода вычислению фундаментальной группы. Первый подход применим к классическим компактным группам ${ displaystyle operatorname {SU} (n)}$ , ${ Displaystyle OperatorName {U} (п)}$ , ${ Displaystyle OperatorName {SO} (п)}$ , и ${ displaystyle operatorname {Sp} (n)}$ и проводится индукцией по ${ displaystyle n}$ . Второй подход использует корневую систему и применим ко всем связным компактным группам Ли.

Также важно знать центр связной компактной группы Ли. Центр классической группы ${ displaystyle G}$ могут быть легко вычислены «вручную» и в большинстве случаев состоит просто из любых кратных идентичности ${ displaystyle G}$ . (Группа SO (2) является исключением - центр - это вся группа, даже если большинство элементов не кратны идентичности.) Таким образом, например, центр ${ displaystyle operatorname {SU} (n)}$ состоит из пкорни th из единицы, умноженные на единицу, циклическая группа порядка ${ displaystyle n}$ .

В общем, центр можно выразить через решетку корней и ядро экспоненциального отображения максимального тора.^[5] Общий метод показывает, например, что односвязная компактная группа, соответствующая исключительной корневой системе ${ displaystyle G_ {2}}$ имеет тривиальный центр. Таким образом, компактный ${ displaystyle G_ {2}}$ группа является одной из очень немногих простых компактных групп, которые одновременно односвязны и не имеют центра. (Остальные ${ displaystyle F_ {4}}$ и ${ displaystyle E_ {8}}$ .)

Дальнейшие примеры

Среди групп, которые не являются группами Ли и поэтому не имеют структуры многообразие, примерами являются аддитивная группа Z_п из p-адические целые числа, и конструкции из него. Фактически любой проконечная группа компактная группа. Это означает, что Группы Галуа компактные группы, основной факт теории алгебраические расширения в случае бесконечной степени.

Понтрягинская двойственность дает большой запас примеров компактных коммутативных групп. Они находятся в двойственности с абелевыми дискретные группы.

Мера Хаара

Все компактные группы несут Мера Хаара,^[6] который будет инвариантным как для левого, так и для правого сдвига ( функция модуля должен быть непрерывным гомоморфизм к положительные реалы (ℝ⁺, ×), и поэтому 1). Другими словами, эти группы унимодулярный. Мера Хаара легко нормируется как вероятностная мера, аналогично dθ / 2π на окружности.

Такую меру Хаара во многих случаях легко вычислить; например, для ортогональных групп было известно Адольф Гурвиц, а в случаях группы Ли всегда может быть задан инвариантом дифференциальная форма. В проконечном случае существует много подгрупп группы конечный индекс, а мера Хаара смежного класса будет обратной величине индекса. Поэтому интегралы часто вычисляются напрямую, и этот факт постоянно применяется в теория чисел.

Если ${ displaystyle K}$ компактная группа и ${ displaystyle m}$ - ассоциированная мера Хаара, Теорема Питера – Вейля обеспечивает разложение ${ Displaystyle L ^ {2} (К, дм)}$ как ортогональная прямая сумма конечномерных подпространств матричных элементов для неприводимых представлений ${ displaystyle K}$ .

Теория представлений

Теория представлений компактных групп (не обязательно групп Ли и не обязательно связных) была основана Теорема Питера – Вейля.^[7] Герман Вейль продолжил подробно теория характера компактных связных групп Ли, основанных на максимальный тор теория.^[8] Результирующий Формула характера Вейля был одним из влиятельных результатов математики двадцатого века. Комбинация теоремы Питера – Вейля и формулы характера Вейля привела Вейля к полной классификации представлений связной компактной группы Ли; эта теория описана в следующем разделе.

Сочетание работы Вейля и Теорема Картана дает обзор всей теории представлений компактных групп грамм . То есть по теореме Питера – Вейля неприводимая унитарные представления ρ из грамм в унитарную группу (конечной размерности), и образ будет замкнутой подгруппой унитарной группы по компактности. Теорема Картана утверждает, что Im (ρ) должна быть подгруппой Ли в унитарной группе. Если грамм не является самой группой Ли, у ρ должно быть ядро. Далее можно сформировать обратная система, для все меньшего и меньшего ядра конечномерных унитарных представлений, которое отождествляет грамм как обратный предел компактных групп Ли. Здесь тот факт, что в пределе a верное представление из грамм найдено другое следствие теоремы Питера – Вейля.

Неизвестная часть теории представлений компактных групп тем самым, грубо говоря, отбрасывается обратно на комплексные представления конечных групп. Эта теория довольно богата деталями, но качественно понятна.

Теория представлений связной компактной группы Ли

Некоторые простые примеры теории представлений компактных групп Ли можно разработать вручную, например, представления групп Ли. группа вращения SO (3), то специальная унитарная группа SU (2), а особая унитарная группа SU (3). Здесь мы сосредоточимся на общей теории. См. Также параллельную теорию представления полупростой алгебры Ли.

В этом разделе мы фиксируем связную компактную группу Ли K и максимальный тор Т в K.

Теория представлений Т

С Т коммутативен, Лемма Шура говорит нам, что каждое неприводимое представление ${ displaystyle rho}$ из Т одномерно:

{ displaystyle rho: T rightarrow GL (1; mathbb {C}) = mathbb {C} ^ {*}}

.

Поскольку также Т компактный, ${ displaystyle rho}$ должен фактически отображаться в ${ Displaystyle S ^ {1} subset mathbb {C}}$ .

Для конкретного описания этих представлений положим ${ displaystyle { mathfrak {t}}}$ быть алгеброй Ли Т и мы пишем баллы ${ displaystyle h in T}$ в качестве

{ displaystyle h = e ^ {H}, quad H in { mathfrak {t}}}

.

В таких координатах ${ displaystyle rho}$ будет иметь форму

{ Displaystyle rho (е ^ {Н}) = е ^ {я лямбда (Н)}}

для некоторого линейного функционала ${ displaystyle lambda}$ на ${ displaystyle { mathfrak {t}}}$ .

Теперь, поскольку экспоненциальное отображение ${ Displaystyle H mapsto e ^ {H}}$ не инъективен, не всякий такой линейный функционал ${ displaystyle lambda}$ дает четко определенную карту Т в ${ Displaystyle S ^ {1}}$ . Скорее пусть ${ displaystyle Gamma}$ обозначим ядро экспоненциального отображения:

{ displaystyle Gamma = {H in { mathfrak {t}} | e ^ {2 pi H} = OperatorName {Id} }}

,

куда ${ displaystyle operatorname {Id}}$ является элементом идентичности Т. (Здесь мы масштабируем экспоненциальную карту в раз ${ displaystyle 2 pi}$ чтобы избежать подобных факторов в других местах). ${ displaystyle lambda}$ дать четкую карту ${ displaystyle rho}$ , ${ displaystyle lambda}$ должен удовлетворить

{ displaystyle lambda (H) in mathbb {Z}, quad H in Gamma}

,

куда ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ набор целых чисел.^[9] Линейный функционал ${ displaystyle lambda}$ удовлетворяющий этому условию, называется аналитически интегральный элемент. Это условие целостности связано, но не тождественно с понятием составной элемент в случае полупростых алгебр Ли.^[10]

Предположим, например, Т это просто группа ${ Displaystyle S ^ {1}}$ комплексных чисел ${ Displaystyle е ^ {я тета}}$ абсолютного значения 1. Алгебра Ли - это набор чисто мнимых чисел, ${ Displaystyle Н = я тета, , тета в mathbb {R},}$ а ядро (масштабированного) экспоненциального отображения - это набор чисел вида ${ displaystyle in}$ куда ${ displaystyle n}$ целое число. Линейный функционал ${ displaystyle lambda}$ принимает целые значения на всех таких числах тогда и только тогда, когда они имеют вид ${ Displaystyle лямбда (я тета) = к тета}$ для некоторого целого числа ${ displaystyle k}$ . Неприводимые представления Т в этом случае являются одномерными и имеют вид

{ Displaystyle rho (е ^ {я тета}) = е ^ {ik theta}, quad k in mathbb {Z}}

.

Теория представлений K

Пример весов представления группы SU (3)

"восьмеричный путь "представление SU (3), используемое в физике элементарных частиц

Черными точками обозначены доминирующие интегральные элементы для группы SU (3)

Теперь мы позволяем ${ displaystyle Sigma}$ обозначают конечномерное неприводимое представление K (над ${ displaystyle mathbb {C}}$ ). Затем мы рассматриваем ограничение ${ displaystyle Sigma}$ к Т. Это ограничение не является неснижаемым, если ${ displaystyle Sigma}$ одномерно. Тем не менее, ограничение распадается в виде прямой суммы неприводимых представлений Т. (Обратите внимание, что данное неприводимое представление Т может встречаться более одного раза.) Теперь каждое неприводимое представление Т описывается линейным функционалом ${ displaystyle lambda}$ как в предыдущем подразделе. Если данный ${ displaystyle lambda}$ встречается хотя бы один раз при разложении ограничения ${ displaystyle Sigma}$ к Т, мы называем ${ displaystyle lambda}$ а масса из ${ displaystyle Sigma}$ . Стратегия теории представлений K заключается в классификации неприводимых представлений по их весам.

Теперь мы кратко опишем структуры, необходимые для формулировки теоремы; подробнее читайте в статье о веса в теории представлений. Нам нужно понятие корневая система за K (относительно данного максимального тора Т). Построение этой корневой системы ${ displaystyle R subset { mathfrak {t}}}$ очень похож на построение комплексных полупростых алгебр Ли. В частности, веса - это ненулевые веса для присоединенного действия Т на комплексифицированной алгебре Ли K. Корневая система р обладает всеми обычными свойствами корневая система, за исключением того, что элементы р не может охватывать ${ displaystyle { mathfrak {t}}}$ .^[11] Затем мы выбираем базу ${ displaystyle Delta}$ за р и мы говорим, что составной элемент ${ displaystyle lambda}$ является доминирующий если ${ Displaystyle лямбда ( альфа) geq 0}$ для всех ${ displaystyle alpha in Delta}$ . Наконец, мы говорим, что один вес выше чем другой, если их различие можно выразить как линейную комбинацию элементов ${ displaystyle Delta}$ с неотрицательными коэффициентами.

Неприводимые конечномерные представления K затем классифицируются по теорема о высшем масса,^[12] которая тесно связана с аналогичной теоремой, классифицирующей представления полупростой алгебры Ли. Результат говорит, что:

(1) каждое неприводимое представление имеет старший вес,

(2) наибольший вес всегда является доминирующим, аналитически целостным элементом,

(3) два неприводимых представления с одинаковым старшим весом изоморфны, и

(4) каждый доминирующий, аналитически целостный элемент возникает как старший вес неприводимого представления.

Теорема старшего веса для представлений K тогда почти то же самое, что и для полупростых алгебр Ли, за одним примечательным исключением: понятие составной элемент отличается. Веса ${ displaystyle lambda}$ представительства ${ displaystyle Sigma}$ являются аналитически целыми в смысле, описанном в предыдущем пункте. Каждый аналитически целостный элемент является интеграл в смысле алгебры Ли, но не наоборот.^[13] (Этот феномен отражает то, что в целом не каждое представление алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$ происходит от представления группы K.) С другой стороны, если K односвязно, набор возможных старших весов в групповом смысле совпадает с множеством возможных старших весов в смысле алгебры Ли.^[14]

Формула характера Вейля

Если ${ Displaystyle Pi: K rightarrow OperatorName {GL} (V)}$ представляет собой представление K, мы определяем персонаж из ${ displaystyle Pi}$ быть функцией ${ displaystyle mathrm {X}: K rightarrow mathbb {C}}$ данный

{ displaystyle mathrm {X} (x) = operatorname {trace} ( Pi (x)), quad x in K}

.

Легко видеть, что эта функция является функцией класса, т. Е. ${ Displaystyle mathrm {X} (xyx ^ {- 1}) = mathrm {X} (y)}$ для всех ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ в K. Таким образом, ${ Displaystyle mathrm {X}}$ определяется его ограничением до Т.

Изучение характеров - важная часть теории представлений компактных групп. Один важный результат, который является следствием Теорема Питера – Вейля, состоит в том, что символы образуют ортонормированный базис для набора интегрируемых с квадратом функций класса в K. Второй ключевой результат - это Формула характера Вейля, который дает явную формулу для символа - или, скорее, ограничение символа на Т- по наибольшему весу представительства.

В тесно связанной теории представлений полупростых алгебр Ли формула характера Вейля является дополнительным результатом, установленным после представления засекречены. Однако в анализе Вейля для случая компактной группы формула характера Вейля на самом деле является важной частью самой классификации. В частности, в анализе Вейля представлений K, самая сложная часть теоремы - показывающая, что каждый доминирующий, аналитически целостный элемент на самом деле является наивысшим весом некоторого представления - доказывается совершенно иначе, чем обычная конструкция алгебры Ли, используя Модули Verma. В подходе Вейля конструкция основана на Теорема Питера – Вейля и аналитическое доказательство Формула характера Вейля.^[15] В конце концов, неприводимые представления K реализуются внутри пространства непрерывных функций на K.

Случай SU (2)

Теперь рассмотрим случай компактной группы SU (2). Представления часто рассматриваются с Точка зрения алгебры Ли, но здесь мы смотрим на них с групповой точки зрения. В качестве максимального тора возьмем множество матриц вида

{ displaystyle { begin {pmatrix} e ^ {i theta} & 0 0 & e ^ {- i theta} end {pmatrix}}}

.

Согласно примеру, рассмотренному выше в разделе о представлениях Т, аналитически целые элементы помечаются целыми числами, так что доминирующие, аналитически целые элементы являются неотрицательными целыми числами ${ displaystyle m}$ . Общая теория говорит нам, что для каждого ${ displaystyle m}$ , существует единственное неприводимое представление SU (2) со старшим весом ${ displaystyle m}$ .

Много информации о представлении, соответствующем заданному ${ displaystyle m}$ закодирован в его характере. Теперь формула характера Вейля гласит: в этом случае, что характер задается

{ displaystyle mathrm {X} left ({ begin {pmatrix} e ^ {i theta} & 0 0 & e ^ {- i theta} end {pmatrix}} right) = { frac { sin ((m + 1) theta)} { sin ( theta)}}.}

Мы также можем записать символ как сумму экспонент следующим образом:

{ displaystyle mathrm {X} left ({ begin {pmatrix} e ^ {i theta} & 0 0 & e ^ {- i theta} end {pmatrix}} right) = e ^ {im theta} + e ^ {i (m-2) theta} + cdots e ^ {- i (m-2) theta} + e ^ {- im theta}.}

(Если мы воспользуемся формулой суммы конечного геометрического ряда в приведенном выше выражении и упростим, мы получим более раннее выражение.)

Из этого последнего выражения и стандартной формулы для характер с точки зрения веса представления, мы можем прочитать, что веса представления равны

{ Displaystyle м, м-2, ldots, - (м-2), - м}

,

каждый с кратностью один. (Веса - это целые числа, фигурирующие в показателях экспонент, а кратности - это коэффициенты при экспонентах.) ${ displaystyle m + 1}$ весов, каждый с кратностью 1, размерность представления ${ displaystyle m + 1}$ . Таким образом, мы восстанавливаем большую часть информации о представлениях, которая обычно получается при вычислении алгебры Ли.

Схема доказательства

Теперь мы намечаем доказательство теоремы о старшем весе, следуя исходным рассуждениям Герман Вейль. Мы продолжаем позволять ${ displaystyle K}$ - связная компактная группа Ли и ${ displaystyle T}$ фиксированный максимальный тор в ${ displaystyle K}$ . Мы сосредоточимся на самой сложной части теоремы, показывая, что каждый доминирующий, аналитически целостный элемент является старшим весом некоторого (конечномерного) неприводимого представления.^[16]

Инструменты для доказательства следующие:

В теорема о торе.
В Интегральная формула Вейля.
В Теорема Питера – Вейля для функций классов, который утверждает, что характеры неприводимых представлений образуют ортонормированный базис пространства квадратично интегрируемых функций классов на ${ displaystyle K}$ .

Имея эти инструменты в руках, приступим к доказательству. Первый важный шаг в аргументе - доказать Формула характера Вейля. Формула утверждает, что если ${ displaystyle Pi}$ неприводимое представление со старшим весом ${ displaystyle lambda}$ , то персонаж ${ Displaystyle mathrm {X}}$ из ${ displaystyle Pi}$ удовлетворяет:

{ Displaystyle mathrm {X} (е ^ {H}) = { гидроразрыва { sum _ {w in W} det (w) e ^ {я langle w cdot ( lambda + rho) , H rangle}} { sum _ {w in W} det (w) e ^ {i langle w cdot rho, H rangle}}}}

для всех ${ displaystyle H}$ в алгебре Ли ${ displaystyle T}$ . Здесь ${ displaystyle rho}$ составляет половину суммы положительных корней. (В обозначении используется соглашение о "действительных весах"; это соглашение требует явного указания множителя ${ displaystyle i}$ в показателе.) Доказательство Вейля формулы характера носит аналитический характер и основывается на том факте, что ${ displaystyle L ^ {2}}$ норма символа равна 1. В частности, если бы в числителе были какие-либо дополнительные члены, интегральная формула Вейля заставила бы норму символа быть больше 1.

Далее мы позволяем ${ displaystyle Phi _ { lambda}}$ обозначают функцию в правой части формулы характера. Мы показываем, что даже если ${ displaystyle lambda}$ не известно, является старшим весом представления, ${ displaystyle Phi _ { lambda}}$ является корректно определенной, инвариантной по Вейлю функцией на ${ displaystyle T}$ , который, следовательно, распространяется на функцию класса на ${ displaystyle K}$ . Тогда, используя интегральную формулу Вейля, можно показать, что при ${ displaystyle lambda}$ пробегает множество доминирующих, аналитически целостных элементов, функции ${ displaystyle Phi _ { lambda}}$ образуют ортонормированное семейство функций класса. Подчеркнем, что в настоящее время мы не знаем, что каждый такой ${ displaystyle lambda}$ - старший вес представления; тем не менее, выражения в правой части формулы символов дают четко определенный набор функций ${ displaystyle Phi _ { lambda}}$ , и эти функции ортонормированы.

А теперь вывод. Набор всех ${ displaystyle Phi _ { lambda}}$ -с ${ displaystyle lambda}$ переходя по доминирующим, аналитически интегральным элементам - образует ортонормированное множество в пространстве квадратично интегрируемых функций класса. Но по формуле характера Вейля характеры неприводимых представлений образуют подмножество ${ displaystyle Phi _ { lambda}}$ с. А по теореме Питера – Вейля характеры неприводимых представлений образуют ортонормированный базис для пространства функций классов, интегрируемых с квадратом. Если бы были какие-то ${ displaystyle lambda}$ что не является старшим весом представления, то соответствующий ${ displaystyle Phi _ { lambda}}$ не было бы характером представления. Таким образом, персонажи будут правильный подмножество набора ${ displaystyle Phi _ { lambda}}$ с. Но тогда возникает невозможная ситуация: ортонормированный основа (набор символов неприводимых представлений) содержался бы в строго большем ортонормированном наборе (набор ${ displaystyle Phi _ { lambda}}$ s). Таким образом, каждый ${ displaystyle lambda}$ фактически должен быть наивысшим весом представления.

Двойственность

Тема восстановления компактной группы из ее теории представлений является предметом исследования. Двойственность Таннаки – Крейна, теперь часто переделывают с точки зрения Категория таннакиана теория.

От компактных к некомпактным группам

Влияние теории компактных групп на некомпактные группы было сформулировано Вейлем в его работе. унитарный трюк. Внутри генерала полупростая группа Ли Существует максимальная компактная подгруппа, и теория представлений таких групп, разработанная в основном Хариш-Чандра, интенсивно использует ограничение представительства такой подгруппе, а также модель теории характеров Вейля.

Смотрите также

Библиография

Брекер, Теодор; Том Дик, Таммо (1985), Представления компактных групп Ли, Тексты для выпускников по математике, 98, Springer
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления Элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
Hofmann, Karl H .; Моррис, Сидней А. (1998), Строение компактных групп, Берлин: де Грюйтер, ISBN 3-11-015268-1

[1] Зал 2015 Раздел 1.2

[2] Брекер и Том Дик 1985, Глава V, разделы 7 и 8

[3] Зал 2015 Глава 11

[4] Зал 2015 Раздел 7.7

[5] Зал 2015 Раздел 13.8

[6] Вайль, Андре (1940), Интеграция в топологические группы и приложения, Actualités Scientifiques et Industrielles, 869, Париж: Герман

[7] Питер, Ф .; Вейл, Х. (1927), "Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe", Математика. Анна., 97: 737–755, Дои:10.1007 / BF01447892.

[8] Зал 2015 Часть III.

[9] Зал 2015 Предложение 12.9

[10] Зал 2015 Раздел 12.2

[11] Зал 2015 Раздел 11.7

[12] Зал 2015 Глава 12

[13] Зал 2015 Раздел 12.2

[14] Зал 2015 Следствие 13.20.

[15] Зал 2015 Разделы 12.4 и 12.5

[16] Зал 2015 Разделы 12.4 и 12.5

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]