Группа Profinite - Википедия - Profinite group

В математика, проконечные группы находятся топологические группы которые в определенном смысле собраны из конечные группы. У них много общих свойств с их конечными частными: например, оба Теорема Лагранжа и Теоремы Силова хорошо обобщаются на проконечные группы.^[1]

Некомпактным обобщением проконечной группы называется локально проконечная группа.

Определение

Проконечные группы могут быть определены любым из двух эквивалентных способов.

Первое определение

Проконечная группа - это топологическая группа, которая изоморфный к обратный предел из обратная система из дискретный конечные группы.^[2] В этом контексте обратная система состоит из направленный набор ${ displaystyle (I, leq)}$ , набор конечных групп ${ displaystyle { mathcal {G}} = {G_ {i}: я in I }}$ , каждый из которых имеет дискретную топологию и набор гомоморфизмы ${ displaystyle {f_ {i} ^ {j}: G_ {j} to G_ {i} mid i, j in I, i leq j }}$ такой, что ${ displaystyle f_ {i} ^ {i}}$ это личность на ${ displaystyle G_ {i}}$ и коллекция удовлетворяет свойству композиции ${ displaystyle f_ {i} ^ {j} circ f_ {j} ^ {k} = f_ {i} ^ {k}}$ . Обратный предел установлен:

${ displaystyle varprojlim G_ {i} = left {(g_ {i}) _ {i in I} in prod _ {i in I} G_ {i}: f_ {i} ^ {j } (g_ {j}) = g_ {i} { text {для всех}} j geq i right }}$

оснащен относительный топология продукта. В категоричный термины, это частный случай лимит cofiltered строительство. Можно также определить обратный предел в терминах универсальная собственность.

Второе определение

Проконечная группа - это Хаусдорф, компактный, и полностью отключен топологическая группа:^[3] то есть топологическая группа, которая также является Каменное пространство. Учитывая это определение, можно восстановить первое определение, используя обратный предел ${ displaystyle varprojlim G / N}$ куда ${ displaystyle N}$ пробегает открытые нормальные подгруппы ${ displaystyle G}$ упорядочено (обратным) включением.

Примеры

Конечные группы проконечны, если задано дискретная топология.
Группа п-адические целые числа ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ при добавлении бесконечен (на самом деле проциклический ). Это обратный предел конечных групп ${ Displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ куда п пробегает все натуральные числа и естественные карты ${ Displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z} to mathbb {Z} / p ^ {m} mathbb {Z}}$ за ${ displaystyle n geq m}$ используются для процесса ограничения. Топология на этой проконечной группе такая же, как топология, возникающая из p-адического нормирования на ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ .
Группа проконечные целые числа ${ displaystyle { widehat { mathbb {Z}}}}$ является обратным пределом конечных групп ${ Displaystyle mathbb {Z} / п mathbb {Z}}$ куда ${ Displaystyle п = 1,2,3, точки}$ и мы используем карты ${ Displaystyle mathbb {Z} / п mathbb {Z} to mathbb {Z} / m mathbb {Z}}$ за ${ displaystyle m | n}$ в лимитном процессе. Эта группа является продуктом всех групп ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ , и это абсолютная группа Галуа любого конечного поля.
В Теория Галуа из расширения полей бесконечной степени естественным образом порождает проконечные группы Галуа. В частности, если L/K это Расширение Галуа, мы рассматриваем группу грамм = Гал (L/K) состоящий из всех полевых автоморфизмов L которые сохраняют все элементы K фиксированный. Эта группа является обратным пределом конечных групп Gal (F/K), куда F пробегает все промежуточные поля такие, что F/K это конечный Расширение Галуа. Для предельного процесса мы используем гомоморфизмы ограничения Gal (F₁/K) → Гал (F₂/K), куда F₂ ⊆ F₁. Полученная топология на Gal (L/K) известен как Топология Крулля после Вольфганг Круль. Уотерхаус (1974) показало, что каждый проконечная группа изоморфна группе, возникающей из теории Галуа немного поле K, но (пока) нельзя контролировать, какое поле K будет в этом случае. Фактически, для многих областей K вообще не известно, какой именно конечные группы встречаются как группы Галуа над K. Это обратная задача Галуа для поляK. (Для некоторых полей K решена обратная проблема Галуа, например, поле рациональных функций от одной переменной над комплексными числами.) Не каждая проконечная группа встречается как абсолютная группа Галуа поля.^[4]
В фундаментальные группы, рассматриваемые в алгебраической геометрии также проконечные группы, грубо говоря, потому что алгебра может «видеть» только конечные покрытия алгебраическое многообразие. В фундаментальные группы из алгебраическая топология, однако, в общем случае не проконечны: для любой заданной группы существует 2-мерный комплекс CW, фундаментальная группа которого равна ему (зафиксируйте представление группы; комплекс CW имеет одну 0-клетку, петлю для каждого генератора, и 2 ячейки для каждого отношения, чья карта присоединения соответствует отношению "очевидным" способом: например, для отношения abc = 1прикрепляемое отображение отслеживает генератор фундаментальных групп петель для а, б, и c чтобы. Вычисление следует из теорема ван Кампена.)
Группа автоморфизмов локально конечное корневое дерево бесконечно.

Свойства и факты

Каждый товар проконечных групп (сколь угодно много) проконечна; топология, возникающая из конечности, согласуется с топология продукта. Обратный предел обратной системы проконечных групп с непрерывными отображениями переходов проконечен, а функтор обратного предела точен на категории проконечных групп. Кроме того, проконечность - свойство расширения.
Каждый закрыто подгруппа проконечной группы сама проконечна; топология, возникающая из конечности, согласуется с топология подпространства. Если N замкнутая нормальная подгруппа проконечной группы грамм, то факторная группа грамм/N бесконечно; топология, возникающая из конечности, согласуется с факторная топология.
Поскольку каждая проконечная группа грамм компактно по Хаусдорфу, имеем Мера Хаара на грамм, что позволяет нам измерить "размер" подмножеств грамм, вычислить определенные вероятности и интегрировать функции на грамм.
Подгруппа проконечной группы открыта тогда и только тогда, когда она замкнута и имеет конечные индекс.
Согласно теореме Николай Николов и Дэн Сигал в любой топологически конечно порожденной проконечной группе (т. е. проконечной группе, имеющей плотный конечно порожденная подгруппа ) подгруппы конечного индекса открыты. Это обобщает более ранний аналогичный результат Жан-Пьер Серр для топологически конечно порожденных группы pro-p. Доказательство использует классификация конечных простых групп.
Как простое следствие приведенного выше результата Николова – Сигала, любой сюръективный гомоморфизм дискретных групп φ:грамм → ЧАС между проконечными группами грамм и ЧАС продолжается до тех пор, пока грамм топологически конечно порожден. Действительно, любая открытая подгруппа в ЧАС имеет конечный индекс, поэтому его прообраз в грамм также имеет конечный индекс, поэтому он должен быть открытым.
Предполагать грамм и ЧАС топологически конечно порожденные проконечные группы, изоморфные как дискретные группы изоморфизмом ι. Тогда ι биективен и непрерывен по полученному результату. Кроме того, ι⁻¹ также непрерывно, поэтому ι - гомеоморфизм. Следовательно, топология топологически конечно порожденной проконечной группы однозначно определяется ее алгебраический структура.

Бесконечное завершение

Для произвольной группы ${ displaystyle G}$ , существует связанная проконечная группа ${ displaystyle { widehat {G}}}$ , то бесконечное завершение из ${ displaystyle G}$ .^[3] Он определяется как обратный предел групп ${ Displaystyle G / N}$ , куда ${ displaystyle N}$ проходит через нормальные подгруппы в ${ displaystyle G}$ конечных индекс (эти нормальные подгруппы частично заказанный по включению, что переводится в обратную систему естественных гомоморфизмов между факторами). Существует естественный гомоморфизм ${ displaystyle eta: G rightarrow { widehat {G}}}$ , а изображение ${ displaystyle G}$ при этом гомоморфизме плотный в ${ displaystyle { widehat {G}}}$ . Гомоморфизм ${ displaystyle eta}$ инъективен тогда и только тогда, когда группа ${ displaystyle G}$ является финитно аппроксимируемая (т.е. ${ displaystyle bigcap {N} = 1}$ , где пересечение пробегает все нормальные подгруппы конечного индекса). Гомоморфизм ${ displaystyle eta}$ характеризуется следующими универсальная собственность: для любой проконечной группы ${ displaystyle H}$ и любой гомоморфизм групп ${ displaystyle f: G rightarrow H}$ , существует единственный непрерывный групповой гомоморфизм ${ displaystyle g: { widehat {G}} rightarrow H}$ с ${ displaystyle f = g eta}$ .

Инд-конечные группы

Есть понятие инд-конечная группа, что является концептуальным двойной проконечным группам; то есть группа грамм инд-конечно, если это прямой предел индуктивной системы конечных групп. (В частности, это инд-группа.) Обычная терминология другая: группа грамм называется локально конечный если каждый конечно порожденный подгруппа конечно. Фактически, это эквивалентно «инд-конечности».

Применяя Понтрягинская двойственность, видно, что абелевский проконечные группы находятся в двойственности с локально конечными дискретными абелевыми группами. Последние просто абелевы торсионные группы.

Проективные проконечные группы

Проконечная группа проективный если у него есть подъемное имущество для каждого расширения. Это эквивалентно тому, что грамм проективен, если для любого сюръективного морфизма из проконечного ЧАС → грамм Существует раздел грамм → ЧАС.^[5]^[6]

Проективность проконечной группы грамм эквивалентно любому из двух свойств:^[5]

то когомологическая размерность CD(грамм) ≤ 1;
для каждого прайма п Силовский п-подгруппы грамм бесплатно проп-группы.

Каждая проективная проконечная группа может быть реализована как абсолютная группа Галуа из псевдоалгебраически замкнутое поле. Этот результат обусловлен Александр Любоцкий и Лу ван ден Дрис.^[7]

Проциклическая группа

Проклинательная группа ${ displaystyle G}$ является проциклический если он топологически порождается одним элементом ${ displaystyle sigma}$ т.е. ${ Displaystyle G = { overline { langle sigma rangle}}}$ подгруппы ${ Displaystyle langle sigma rangle = left { sigma ^ {n}: п in mathbb {Z} right }}$ .^[8]

Топологическая группа ${ displaystyle G}$ если проциклический тогда и только тогда ${ Displaystyle G cong prod _ {p} G_ {p}}$ куда ${ displaystyle p}$ колеблется во всех рациональные простые числа и ${ displaystyle G_ {p}}$ изоморфен либо ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ или же ${ displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}, n in mathbb {N}}$ .^[9]