Локально конечная группа - Locally finite group

В математика, в области теория групп, а локально конечная группа это тип группа которые можно изучить способами, аналогичными конечная группа. Силовские подгруппы, Подгруппы Картера, и абелевы подгруппы локально конечных групп. Эта концепция была создана в 1930-х годах русским математиком. Сергей Черников.[1]

Определение и первые следствия

А локально конечная группа группа, для которой каждый конечно порожденный подгруппа является конечный.

Поскольку циклические подгруппы локально конечной группы конечно порождены, следовательно, конечны, каждый элемент имеет конечное порядок, поэтому группа периодический.

Примеры и не примеры

Примеры:

  • Каждая конечная группа локально конечна
  • Каждый бесконечный прямая сумма конечных групп локально конечна (Робинсон 1996, п. 443) (Хотя прямой продукт может и не быть.)
  • Омега-категориальные группы
  • В Прюфер группы являются локально конечными абелевыми группами
  • Каждый Гамильтонова группа локально конечен
  • Всякая периодическая разрешимая группа локально конечна (Диксон 1994, Предложение 1.1.5).
  • Каждый подгруппа локально конечной группы локально конечна. (Доказательство. Позволять грамм - локально конечная группа и S подгруппа. Каждая конечно порожденная подгруппа группы S является (конечно порожденной) подгруппой в грамм.)
  • Универсальная группа Холла - счетная локально конечная группа, содержащая каждое счетный локально конечный группа как подгруппа.
  • Каждая группа имеет единственную максимальную нормальную локально конечную подгруппу (Робинсон 1996, п. 436)
  • Каждый периодическая подгруппа из общая линейная группа над комплексными числами локально конечна. Поскольку все локально конечные группы периодичны, это означает, что для линейных групп и периодических групп условия идентичны.[2]

Не примеры:

Характеристики

Класс локально конечных групп замкнут относительно подгрупп, частные, и расширения (Робинсон 1996, п. 429).

Локально конечные группы удовлетворяют более слабой форме Теоремы Силова. Если локально конечная группа имеет конечную п-подгруппа не содержится ни в каком другом п-подгруппы, то все максимальные п-подгруппы конечны и сопряжены. Если конъюгатов конечное число, то число сопряженных сравнимо с 1 по модулю п. В самом деле, если каждая счетная подгруппа локально конечной группы имеет только счетное число максимальных п-подгруппы, то каждая максимальная п-подгруппа группы сопряжена (Робинсон 1996, п. 429).

Класс локально конечных групп ведет себя несколько аналогично классу конечных групп. Большая часть теории формаций и классов Фиттинга 1960-х годов, а также более старая теория силовских подгрупп XIX и 1930-х годов имеет аналог в теории локально конечных групп (Диксон 1994, п. v.).

Аналогично Проблема Бернсайда, математики задались вопросом, каждая ли бесконечная группа содержит бесконечное абелева подгруппа. Хотя в целом это не обязательно, в результате Филип Холл а другое состоит в том, что каждая бесконечная локально конечная группа содержит бесконечную абелеву группу. Доказательство этого факта в теории бесконечных групп опирается на Теорема Фейта – Томпсона о разрешимости конечных групп нечетного порядка (Робинсон 1996, п. 432).

Рекомендации

  1. ^ Dixon, M. R .; Кириченко, В. В .; Курдаченко, Л. А .; Otal, J .; Семко, Н. Н .; Шеметков, Л. А .; Субботин, И.Я. (2012). «С. Н. Черников и развитие теории бесконечных групп». Алгебра и дискретная математика. 13 (2): 169–208.
  2. ^ Кертис, Чарльз; Райнер, Ирвинг (1962), Теория представлений конечных групп и ассоциированных алгебр, John Wiley & Sons, стр. 256–262.
  • Диксон, Мартин Р. (1994), Теория Силова, формации и классы Фиттинга в локально конечных группах, Ряды по алгебре, 2, Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN  978-981-02-1795-2, МИСТЕР  1313499
  • Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), Курс теории групп, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94461-6

внешняя ссылка