Конечная группа - Finite group

В абстрактная алгебра, а конечная группа это группа чей базовый набор является конечный. Конечные группы часто возникают при рассмотрении симметрии математических или физических объектов, когда эти объекты допускают лишь конечное число сохраняющих структуру преобразований. Важные примеры конечных групп включают циклические группы и группы перестановок.

Изучение конечных групп было неотъемлемой частью теория групп так как возникла в 19 веке. Одной из основных областей исследования была классификация: классификация конечных простых групп (те, у кого нет нетривиальных нормальная подгруппа ) был завершен в 2004 году.

История

В течение двадцатого века математики очень глубоко исследовали некоторые аспекты теории конечных групп, особенно теорию локальная теория конечных групп и теории разрешимый и нильпотентные группы.^[1]^[2] Как следствие, полный классификация конечных простых групп была достигнута, а это означает, что все эти простые группы из которых могут быть построены все конечные группы, теперь известны.

Во второй половине двадцатого века математики, такие как Chevalley и Steinberg также расширило наше понимание конечных аналогов классические группы, и другие связанные группы. Одно такое семейство групп - семейство общие линейные группы над конечные поля.

Конечные группы часто встречаются при рассмотрении симметрия математических или физических объектов, когда эти объекты допускают лишь конечное число преобразований, сохраняющих структуру. Теория Группы Ли, который можно рассматривать как имеющий отношение к "непрерывная симметрия ", сильно зависит от связанных Группы Вейля. Это конечные группы, порожденные отражениями, действующими на конечномерную Евклидово пространство. Таким образом, свойства конечных групп могут играть роль в таких предметах, как теоретическая физика и химия.^[3]

Примеры

Группы перестановок

А Граф Кэли симметрической группы S₄

В симметричная группа S_п на конечный набор из п символы это группа чьими элементами являются все перестановки из п символы, и чьи групповая операция это сочинение таких перестановок, которые рассматриваются как биективные функции от набора символов к себе.^[4] Поскольку есть п! (п факториал ) возможные перестановки набора п символы, следует, что порядок (количество элементов) симметрической группы S_п является п!.

Циклические группы

Циклическая группа Z_п группа, все элементы которой являются степенями определенного элемента а куда а^п = а⁰ = e, личность. Типичная реализация этой группы - это сложная пth корни единства. Отправка а к первобытный корень единства дает изоморфизм между ними. Это можно сделать с любой конечной циклической группой.

Конечные абелевы группы

An абелева группа, также называемый коммутативная группа, это группа в котором результат применения группы операция к двум элементам группы не зависит от их порядка (аксиома коммутативность ). Они названы в честь Нильс Хенрик Абель.^[5]

Произвольная конечная абелева группа изоморфна прямой сумме конечных циклических групп степенного порядка простых чисел, и эти порядки определены однозначно, образуя полную систему инвариантов. В группа автоморфизмов конечной абелевой группы можно непосредственно описать в терминах этих инвариантов. Теория была впервые развита в статье 1879 г. Георг Фробениус и Людвиг Штикельбергер а позже был упрощен и обобщен на конечно порожденные модули над областью главных идеалов, составив важную главу линейная алгебра.

Группы лиева типа

А группа лиева типа это группа тесно связан с группой грамм(k) рациональных точек редуктивного линейная алгебраическая группа грамм со значениями в поле k. Конечные группы лиева типа дают основную массу неабелевых конечные простые группы. Особые случаи включают классические группы, то Группы Шевалле, группы Стейнберга и группы Судзуки – Ри.

Конечные группы лиева типа были одними из первых групп, которые стали рассматриваться в математике после циклический, симметричный и чередование группы, с проективные специальные линейные группы над простыми конечными полями PSL (2, п) строится Эварист Галуа в 1830-х гг. Систематическое исследование конечных групп лиева типа началось с Камилла Джордан Теорема о том, что проективная специальная линейная группа PSL (2, q) прост для q 2, 3. Эта теорема обобщается на проективные группы более высоких размерностей и дает важное бесконечное семейство PSL (п, q) из конечные простые группы. Другие классические группы изучались Леонард Диксон в начале 20 века. В 1950-е годы Клод Шевалле понял, что после соответствующей переформулировки многие теоремы о полупростые группы Ли допускают аналоги для алгебраических групп над произвольным полем k, что привело к созданию того, что сейчас называется Группы Шевалле. Более того, как и в случае компактных простых групп Ли, соответствующие группы оказались почти простыми как абстрактные группы (Теорема Титса о простоте). Хотя с 19 века было известно, что существуют и другие конечные простые группы (например, Матье группы ), постепенно сформировалось убеждение, что почти все конечные простые группы могут быть объяснены соответствующими расширениями конструкции Шевалле вместе с циклическими и знакопеременными группами. Более того, исключения, спорадические группы, имеют много общих свойств с конечными группами лиева типа и, в частности, могут быть построены и охарактеризованы на основе их геометрия в смысле Титс.

Вера теперь превратилась в теорему - классификация конечных простых групп. Просмотр списка конечных простых групп показывает, что группы лиева типа над конечное поле включают все конечные простые группы, кроме циклических групп, знакопеременных групп, Группа синицы, а 26 спорадические простые группы.

Основные теоремы

Теорема Лагранжа

Для любой конечной группы грамм, то порядок (количество элементов) каждого подгруппа ЧАС из грамм делит порядок грамм. Теорема названа в честь Жозеф-Луи Лагранж.

Теоремы Силова

Это обеспечивает частичное обращение к теореме Лагранжа, дающей информацию о том, сколько подгрупп данного порядка содержится в грамм.

Теорема Кэли

Теорема Кэли, названный в честь Артур Кэли, утверждает, что каждый группа грамм является изоморфный к подгруппа из симметричная группа действующий на грамм.^[6] Это можно понять как пример групповое действие из грамм на элементах грамм.^[7]

Теорема Бернсайда

Теорема Бернсайда в теория групп заявляет, что если грамм конечная группа порядок п^аq^б, куда п и q находятся простые числа, и а и б находятся неотрицательный целые числа, тогда грамм является разрешимый. Следовательно, каждый неабелев конечная простая группа имеет порядок, делящийся как минимум на три различных простых числа.

Теорема Фейта – Томпсона

В Теорема Фейта – Томпсона, или же теорема нечетного порядка, утверждает, что каждый конечный группа странного порядок является разрешимый. Это было доказано Вальтер Фейт и Джон Григгс Томпсон (1962, 1963 )

Классификация конечных простых групп

В классификация конечных простых групп это теорема, утверждающая, что каждый конечная простая группа принадлежит к одному из следующих семейств:

А циклическая группа с первоочередным порядком;
An переменная группа степени не менее 5;
А простая группа лиева типа;
Один из 26 спорадические простые группы;
В Группа синицы (иногда считается 27-й спорадической группой).

Конечные простые группы можно рассматривать как основные строительные блоки всех конечных групп, что напоминает способ простые числа являются основными строительными блоками натуральные числа. В Теорема Жордана – Гёльдера является более точным способом сформулировать этот факт о конечных группах. Однако существенная разница в отношении случая целочисленная факторизация состоит в том, что такие «строительные блоки» не обязательно определяют группу однозначно, поскольку может быть много неизоморфных групп с одинаковыми серия композиций или, другими словами, проблема с расширением не имеет однозначного решения.

Доказательство теоремы состоит из десятков тысяч страниц в нескольких сотнях журнальных статей, написанных примерно 100 авторами, в основном опубликованных в период с 1955 по 2004 год. Горенштейн (ум. 1992), Лион, и Соломон постепенно публикуют упрощенную и исправленную версию доказательства.

Количество групп данного заказа

Учитывая положительное целое число п, определение того, сколько изоморфизм типы групп порядок п Существуют. Каждая группа основной порядок циклический, потому что Теорема Лагранжа означает, что циклическая подгруппа, порожденная любым из ее неединичных элементов, является всей группой. п квадрат простого числа, то существует ровно два возможных типа изоморфизма группы порядка п, оба из которых абелевы. Если п является высшей степенью простого числа, то результаты Грэм Хигман и Чарльз Симс дают асимптотически правильные оценки числа типов изоморфизма групп порядка п, и число очень быстро растет с увеличением мощности.

В зависимости от простого факторизации п, на состав групп заказа могут быть наложены некоторые ограничения. п, как следствие, например, таких результатов, как Теоремы Силова. Например, каждая группа заказа pq цикличен, когда q < п простые числа с п − 1 не делится на q. О необходимых и достаточных условиях см. циклическое число.

Если п является свободный от квадратов, то любая группа порядка п разрешима. Теорема Бернсайда, доказано с помощью группа персонажей, утверждает, что каждая группа порядка п разрешимо, когда п делится менее чем на три различных простых числа, т. е. если п = п^аq^б, куда п и q простые числа, и а и б неотрицательные целые числа. Посредством Теорема Фейта – Томпсона, которое имеет длинное и сложное доказательство, каждая группа порядка п разрешимо, когда п странно.

Для каждого положительного целого числа п, большинство групп заказа п находятся разрешимый. Увидеть это для любого конкретного порядка обычно не сложно (например, с точностью до изоморфизма есть одна неразрешимая группа и 12 разрешимых групп порядка 60), но для доказательства этого для всех порядков используется классификация конечных простых групп. Для любого положительного целого числа п есть не более двух простых групп порядка п, а целых положительных чисел бесконечно много п для которого существуют две неизоморфные простые группы порядка п.

Таблица отдельных групп порядка п

Заказ п	# Группы^[8]	Абелев	Неабелева
0	0	0	0
1	1	1	0
2	1	1	0
3	1	1	0
4	2	2	0
5	1	1	0
6	2	1	1
7	1	1	0
8	5	3	2
9	2	2	0
10	2	1	1
11	1	1	0
12	5	2	3
13	1	1	0
14	2	1	1
15	1	1	0
16	14	5	9
17	1	1	0
18	5	2	3
19	1	1	0
20	5	2	3
21	2	1	1
22	2	1	1
23	1	1	0
24	15	3	12
25	2	2	0
26	2	1	1
27	5	3	2
28	4	2	2
29	1	1	0
30	4	1	3

Смотрите также

дальнейшее чтение

Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра I (2-е изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.CS1 maint: ref = harv (связь)

внешняя ссылка

OEIS последовательность A000001 (Количество групп порядка n)
OEIS последовательность A000688 (Число абелевых групп порядка п)
OEIS последовательность A060689 (количество неабелевых групп порядка n)
Небольшие группы на GroupNames
А классификатор для небольших групп

[1] Ашбахер, Михаэль (2004). «Статус классификации конечных простых групп» (PDF). Уведомления Американского математического общества. 51 (7). С. 736–740.CS1 maint: ref = harv (связь)

[2] Даниэль Горенштейн (1985), «Огромная теорема», Scientific American, 1 декабря 1985 г., т. 253, нет. 6. С. 104–115.

[3] Теория групп и ее применение в химии Библиотека Chemistry LibreTexts

[Jacobson-def-4] Якобсон 2009, п. 31 год

[5] Якобсон 2009, п. 41 год

[6] Якобсон 2009, п. 38

[7] Якобсон 2009, п. 72, пр. 1

[8] Хамфрис, Джон Ф. (1996). Курс теории групп. Издательство Оксфордского университета. С. 238–242. ISBN 0198534590. Zbl 0843.20001.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]