Вероятность поездки на работу - Википедия - Commuting probability

В математике, а точнее в теория групп, то вероятность коммутации (также называемый степень коммутативности или же степень коммутативности) из конечная группа это вероятность что два случайно выбранных элемента ездить.^[1][2] Его можно использовать для измерения, насколько близко к абелевский конечная группа есть. Его можно обобщить на бесконечные группы, оснащенные подходящим вероятностная мера,^[3] а также может быть обобщен на другие алгебраические структуры Такие как кольца.^[4]

Определение

Позволять ${ displaystyle G}$ быть конечная группа. Мы определяем ${ Displaystyle p (G)}$ как усредненное количество пар элементов ${ displaystyle G}$ которые добираются:

${ displaystyle p (G): = { frac {1} { # G ^ {2}}} # left {(x, y) in G ^ {2} двоеточие xy = yx right }.}$

Если учесть равномерное распределение на ${ displaystyle G ^ {2}}$, ${ Displaystyle p (G)}$ вероятность того, что два случайно выбранных элемента ${ displaystyle G}$ ездить. Поэтому ${ Displaystyle p (G)}$ называется вероятность коммутации из ${ displaystyle G}$.

Полученные результаты

• Конечная группа ${ displaystyle G}$ абелева тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle p (G) = 1}$.
• Надо

${ displaystyle p (G) = { frac {k (G)} { # G}}}$

куда ${ Displaystyle к (G)}$ это количество классы сопряженности из ${ displaystyle G}$.

• Если ${ displaystyle G}$ не абелева, то ${ Displaystyle р (G) leq 5/8}$ (этот результат иногда называют теоремой 5/8^[5]) и эта верхняя оценка точна: существует бесконечное множество конечных групп ${ displaystyle G}$ такой, что ${ Displaystyle p (G) = 5/8}$, самый маленький - это диэдральная группа порядка 8.
• Единой нижней границы для ${ Displaystyle p (G)}$. Фактически, для каждого положительного целого числа ${ displaystyle n}$, существует конечная группа ${ displaystyle G}$ такой, что ${ Displaystyle р (G) = 1 / п}$.
• Если ${ displaystyle G}$ не абелева но просто, тогда ${ Displaystyle р (G) leq 1/12}$ (эта верхняя оценка достигается ${ displaystyle { mathfrak {A}} _ {5}}$, то переменная группа степени 5).

Обобщения

• Вероятность коммутации может быть определена для других алгебраические структуры Такие как конечные кольца.^[4]
• Вероятность коммутации может быть определена для бесконечного компактные группы; тогда вероятностная мера после перенормировки будет Мера Хаара.^[3]

Рекомендации