Класс сопряженности - Conjugacy class

В математика, особенно теория групп, два элемента $а$ и $б$ из группа находятся сопрягать если есть элемент $г$ в такой группе, что $б = г -1 аг$ . Это отношение эквивалентности чья классы эквивалентности называются классы сопряженности.

Члены одного и того же класса сопряженности нельзя различить, используя только структуру группы, и поэтому они имеют много общих свойств. Изучение классов сопряженности неабелевы группы является основополагающим для изучения их структуры.^[1]^[2] Для абелева группа, каждый класс сопряженности является набор содержащий один элемент (одноэлементный набор ).

Функции постоянные для членов одного и того же класса сопряженности, называются функции класса.

Определение

Позволять $г$ быть группой. Два элемента $а$ и $б$ из $г$ находятся сопрягать, если существует элемент $г$ в $г$ такой, что $кляп -1 = б$ . Говорят также, что $б$ является конъюгатом $а$ и это $а$ является конъюгатом $б$ .

В случае группы $GL (п)$ из обратимые матрицы, отношение сопряженности называется матричное подобие.

Легко показать, что сопряжение является отношением эквивалентности и поэтому разбивает г в классы эквивалентности. (Это означает, что каждый элемент группы принадлежит ровно одному классу сопряженности, а классы Cl (а) и Cl (б) равны если и только если а и б сопряжены, и непересекающийся в противном случае.) Класс эквивалентности, содержащий элемент а в г является

Cl (а) = {кляп -1 | g \in г}

и называется класс сопряженности из $а$ . В номер класса из $г$ - количество различных (неэквивалентных) классов сопряженности. Все элементы, принадлежащие к одному классу сопряженности, имеют одинаковые порядок.

На классы сопряженности можно ссылаться путем их описания или, более кратко, с помощью таких сокращений, как «6A», означающее «определенный класс сопряженности элементов порядка 6», а «6B» будет другим классом сопряженности элементов порядка 6; класс сопряженности 1A - это класс сопряженности тождества. В некоторых случаях классы сопряженности можно описать единообразно; например, в симметричная группа их можно описать структурой цикла.

Примеры

Симметричная группа S₃, состоящий из 6 перестановки из трех элементов, имеет три класса сопряженности:

без изменений (abc → abc)

перенос два (abc → acb, abc → bac, abc → cba)

а циклическая перестановка из всех трех (abc → bca, abc → cab)

Эти три класса также соответствуют классификации изометрии из равносторонний треугольник.

Таблица, показывающая

бабушка -1

для всех пар

(а, б)

с участием

а, б \in S 4

(сравнить нумерованный список ). Каждая строка содержит все элементы класса сопряженности из

а

, и каждый столбец содержит все элементы

S 4

.

В симметричная группа S₄, состоящий из 24 перестановок четырех элементов, имеет пять классов сопряженности, перечисленных с их структурами цикла и порядками:

(1)₄ без изменений (1 элемент: {(1, 2, 3, 4)}). Единственная строка, содержащая этот класс сопряженности, показана как строка черных кружков в соседней таблице.

(2) заменяя два (6 элементов: {(1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4)}). 6 строк, содержащих этот класс сопряженности, выделены зеленым цветом в соседней таблице.

(3) циклическая перестановка трех (8 элементов: {(1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4)}). 8 строк, содержащих этот класс сопряженности, показаны обычным шрифтом (без жирного шрифта или выделения цветом) в соседней таблице.

(4) циклическая перестановка всех четырех (6 элементов: {(2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1) , (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2)}). 6 строк, содержащих этот класс сопряженности, выделены оранжевым цветом в соседней таблице.

(2)(2) меняя местами два, а также два других (3 элемента: {(2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2)}). 3 строки, содержащие этот класс сопряженности, выделены полужирным шрифтом в соседней таблице.

В правильное вращение куба, которые могут характеризоваться перестановками диагоналей тела, также описываются сопряжением в S₄ .

В общем, количество классов сопряженности в симметричная группа S_п равно количеству целые разделы из п. Это потому, что каждому классу сопряженности соответствует ровно одно разбиение {1, 2, ..., п} в циклы, с точностью до перестановки элементов из {1, 2, ..., п}.

В целом Евклидова группа может быть изучен сопряжение изометрий в евклидовом пространстве.

Свойства

Элемент идентичности всегда является единственным элементом в своем классе, то есть $Cl (е) = {е}$
Если $г$ является абелевский, тогда $кляп -1 = а$ для всех $а$ и $г$ в $г$ ; так $Cl (а) = {а}$ для всех $а$ в $г$ .
Если два элемента $а$ и $б$ из $г$ принадлежат к одному классу сопряженности (т. е. если они сопряжены), то они имеют одинаковые порядок. В более общем плане каждое утверждение о $а$ можно перевести в утверждение о $б = кляп -1$ , потому что карта $φ (Икс) = gxg -1$ является автоморфизм из $г$ . См. Пример в следующем свойстве.
Если $а$ и $б$ сопряжены, значит, их силы тоже $а k$ и $б k$ . (Доказательство: если $a = gbg -1$ , тогда $а k = (gbg -1)(gbg -1) \dots (gbg -1) = gb k г -1$ .) Таким образом, принимая $k$ th степеней дает карту классов сопряженности, и можно рассмотреть, какие классы сопряженности находятся в ее прообразе. Например, в симметричной группе квадрат элемента типа (3) (2) (3-цикл и 2-цикл) является элементом типа (3), поэтому один из классов включения питания (3) - класс (3) (2) (где $а$ это усиленный класс $а k$ ).
Элемент $а$ из $г$ лежит в центр $Z (г)$ из $г$ тогда и только тогда, когда его класс сопряженности имеет только один элемент, $а$ сам. В более общем смысле, если $C г (а)$ обозначает централизатор из $а$ в $г$ , т.е. подгруппа состоящий из всех элементов $г$ такой, что $га = аг$ , то показатель $[г : C г (а)]$ равно количеству элементов в классе сопряженности $а$ (посредством теорема о стабилизаторе орбиты ).
Взять ${ Displaystyle sigma в S_ {п}}$ и разреши ${ displaystyle m_ {1}, m_ {2}, ..., m_ {s}}$ быть различными целыми числами, которые появляются как длины циклов в типе цикла ${ displaystyle sigma}$ (в том числе 1-циклы). Позволять ${ displaystyle k_ {i}}$ быть количеством циклов длины ${ displaystyle m_ {i}}$ в ${ displaystyle sigma}$ для каждого ${ displaystyle i = 1,2, ..., s}$ (так что ${ displaystyle sum limits _ {я = 1} ^ {s} k_ {i} m_ {i} = n}$ ). Тогда количество конъюгатов ${ displaystyle sigma}$ является:^[1]

{ displaystyle { frac {n!} {(k_ {1}! m_ {1} ^ {k_ {1}}) (k_ {2}! m_ {2} ^ {k_ {2}}) ... (к_ {s}! m_ {s} ^ {k_ {s}})}}}

Спряжение как групповое действие

Если мы определим

г . Икс = gxg -1

для любых двух элементов $г$ и $Икс$ в $г$ , то имеем групповое действие из $г$ на $г$ . В орбиты этого действия являются классы сопряженности, а стабилизатор данного элемента - это элемент централизатор.^[3]

Точно так же мы можем определить групповое действие $г$ на множестве всех подмножества из $г$ , написав

г . S = gSg -1

,

или на множестве подгрупп $г$ .

Уравнение класса сопряженности

Если $г$ это конечная группа, то для любого элемента группы $а$ , элементы класса сопряженности $а$ находятся во взаимно-однозначной переписке с смежные классы из централизатор $C г (а)$ . Это можно увидеть, заметив, что любые два элемента $б$ и $c$ принадлежащих одному классу смежности (а значит, $б = cz$ для некоторых $z$ в централизаторе $C г (а)$ ) порождают один и тот же элемент при сопряжении $а$ : $бабушка -1 = cza (cz) -1 = czaz -1 c -1 = cazz -1 c -1 = cac -1$ . Это также видно из теорема о стабилизаторе орбиты, если рассматривать группу как действующую на себя посредством сопряжения, так что орбиты являются классами сопряженности, а стабилизирующие подгруппы являются централизаторами. Верно и обратное.

Таким образом, количество элементов в классе сопряженности $а$ это показатель $[г : C г (а)]$ централизатора $C г (а)$ в $г$ ; следовательно, размер каждого класса сопряженности делит порядок группы.

Кроме того, если мы выберем один репрезентативный элемент $Икс я$ из каждого класса сопряженности выводим из дизъюнктности классов сопряженности, что $| г | = \sum я [г : C г (Икс я)]$ , где $C г (Икс я)$ является централизатором элемента $Икс я$ . Заметив, что каждый элемент центра $Z (г)$ образует класс сопряженности, содержащий только себя, порождает уравнение класса:^[4]

| г | = | Z (г) | + \sum я [г : C г (Икс я)]

где сумма превышает представительный элемент из каждого класса сопряженности, который не находится в центре.

Знание делителей группового порядка $| г |$ часто может использоваться для получения информации о порядке центра или классов сопряженности.

пример

Рассмотрим конечный $п$ -группа $г$ (то есть группа с порядком $п п$ , где $п$ это простое число и $п > 0$ ). Мы собираемся доказать, что каждый конечный $п$ -группа не-банальный центр.

Поскольку порядок любого класса сопряженности $г$ должен разделить порядок $г$ , то каждый класс сопряженности $ЧАС я$ то, что не в центре, также имеет порядок некоторой силы $п k я$ , где $0 < k я < п$ . Но тогда уравнение класса требует, чтобы $| г | = п п = | Z (г) | + \sum я п k я$ . Из этого мы видим, что $п$ должен разделить $| Z (г) |$ , так $| Z (г) | > 1$ .

В частности, когда n = 2, $г$ абелева группа, поскольку для любого элемента группы $а$ , $а$ в порядке $п$ или $п 2$ , если $а$ в порядке $п 2$ , тогда $г$ изоморфна циклической группе порядка $п 2$ , следовательно, абелева. С другой стороны, если любой нетривиальный элемент в $г$ в порядке $п$ , следовательно, по заключению выше $| Z (г) | > 1$ , тогда $| Z (г) | = п > 1$ или $п 2$ . Остается рассмотреть только случай, когда $| Z (г) | = п > 1$ , то есть элемент $б$ из $г$ что не в центре $г$ . Обратите внимание, что $б$ в порядке $п$ , поэтому подгруппа $г$ Сгенерированно с помощью $б$ содержит $п$ элементов и, следовательно, является правильным подмножеством $C г (б)$ , потому что $C г (б)$ включает все элементы этой подгруппы и центр, не содержащий $б$ но хотя бы $п$ элементы. Отсюда порядок $C г (б)$ строго больше, чем $п$ , следовательно $| C г (б) |$ = $п 2$ , следовательно $б$ является элементом центра $г$ . Следовательно $г$ абелева и фактически изоморфна прямому произведению двух циклических групп, каждая из которых имеет порядок $п$ .

Сопряженность подгрупп и общих подмножеств

В более общем плане, учитывая любые подмножество S из г (S не обязательно подгруппа), определим подмножество Т из г быть сопряженным с S если есть какие-то г в г такой, что Т = gSg⁻¹. Мы можем определить Cl (S) как множество всех подмножеств Т из г такой, что Т сопряжен с S.

Часто используется теорема о том, что для любого подмножества S из г, то показатель из N (S) ( нормализатор из S) в г равен порядку Cl (S):

{ Displaystyle | OperatorName {Cl} (S) | = [G: N (S)]}

Это следует из того, что если г и час находятся в г, тогда gSg⁻¹ = чШ⁻¹ если и только если г⁻¹час находится в N (S), другими словами, тогда и только тогда, когда г и час находятся в том же смежный из N (S).

Обратите внимание, что эта формула обобщает формулу, приведенную ранее для числа элементов в классе сопряженности (пусть S = {а}).

Вышесказанное особенно полезно, когда речь идет о подгруппах г. Таким образом, подгруппы можно разделить на классы сопряженности, при этом две подгруппы принадлежат к одному классу тогда и только тогда, когда они сопряжены. изоморфный, но изоморфные подгруппы не обязательно сопряжены. Например, абелева группа может иметь две разные подгруппы, которые изоморфны, но никогда не сопряжены.

Геометрическая интерпретация

Классы сопряженности в фундаментальная группа из соединенный путём топологическое пространство можно рассматривать как классы эквивалентности свободные петли под свободной гомотопией.

Смотрите также

Заметки

^ ^а ^б Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-43334-9.
^ Ланг, Серж (2002). Алгебра. Тексты для выпускников по математике. Springer. ISBN 0-387-95385-X.
^ Гриль (2007), п. 56
^ Гриль (2007), п. 57

использованная литература

Грилье, Пьер Антуан (2007). Абстрактная алгебра. Тексты для выпускников по математике. 242 (2-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-71567-4.

внешние ссылки

«Сопряженные элементы», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[dummit-1] а ^б Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-43334-9.

[2] Ланг, Серж (2002). Алгебра. Тексты для выпускников по математике. Springer. ISBN 0-387-95385-X.

[Grillet-2007-p56-3] Гриль (2007), п. 56

[4] Гриль (2007), п. 57

[1]

[2]

[3]

[4]