Равносторонний треугольник - Equilateral triangle

Равносторонний треугольник
Тип	Правильный многоугольник
Края и вершины	3
Символ Шлефли	{3}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	D3
Площадь	${ displaystyle { tfrac { sqrt {3}} {4}} а ^ {2}}$
Внутренний угол (градусы )	60°

В геометрия, равносторонний треугольник это треугольник в котором все три стороны имеют одинаковую длину. В знакомом Евклидова геометрия, равносторонний треугольник также равносторонний; то есть все три внутренних углы являются также конгруэнтный друг к другу и каждый на 60 °. Это также правильный многоугольник, поэтому его также называют правильный треугольник.

Основные свойства

Равносторонний треугольник. Имеет равные стороны (${ displaystyle a = b = c}$), равные углы (${ Displaystyle альфа = бета = гамма}$) и равных высотах (${ displaystyle h_ {a} = h_ {b} = h_ {c}}$).

Обозначая общую длину сторон равностороннего треугольника как ${ displaystyle a}$, мы можем определить, используя теорема Пифагора это:

• Площадь ${ displaystyle A = { frac { sqrt {3}} {4}} a ^ {2}}$,
• Периметр ${ Displaystyle p = 3a , !}$
• Радиус описанный круг является ${ displaystyle R = { frac {a} { sqrt {3}}}}$
• Радиус вписанный круг является ${ displaystyle r = { frac { sqrt {3}} {6}} a}$ или ${ displaystyle r = { frac {R} {2}}}$
• Геометрический центр треугольника - это центр описанных и вписанных окружностей.
• В высота (высота) с любой стороны ${ displaystyle h = { frac { sqrt {3}} {2}} a}$

Обозначая радиус описанной окружности как р, мы можем определить, используя тригонометрия это:

• Площадь треугольника равна ${ displaystyle mathrm {A} = { frac {3 { sqrt {3}}} {4}} R ^ {2}}$

Многие из этих величин имеют простую связь с высотой ("h") каждой вершины с противоположной стороны:

• Площадь ${ displaystyle A = { frac {h ^ {2}} { sqrt {3}}}}$
• Высота центра с каждой стороны, или апофема, является ${ displaystyle { frac {h} {3}}}$
• Радиус круга, описывающего три вершины, равен ${ displaystyle R = { frac {2h} {3}}}$
• Радиус вписанной окружности равен ${ displaystyle r = { frac {h} {3}}}$

В равностороннем треугольнике высота, биссектриса угла, серединный перпендикуляр и медиана каждой стороны совпадают.

Характеристики

Треугольник ABC у этого есть стороны а, б, c, полупериметр s, площадь Т, Exradii р_а, р_б, р_c (по касательной к а, б, c соответственно), а где р и р радиусы описанный круг и окружать соответственно равносторонний если и только если верно любое из утверждений в следующих девяти категориях. Таким образом, эти свойства уникальны для равносторонних треугольников, и знание того, что любое из них истинно, прямо подразумевает, что у нас есть равносторонний треугольник.

Стороны

• ${ displaystyle displaystyle a = b = c}$
• ${ displaystyle displaystyle { frac {1} {a}} + { frac {1} {b}} + { frac {1} {c}} = { frac { sqrt {25Rr-2r ^ { 2}}} {4Rr}}}$^[1]

Полупериметр

• ${ displaystyle displaystyle s = 2R + (3 { sqrt {3}} - 4) r quad { text {(Blundon)}}}$^[2]
• ${ displaystyle displaystyle s ^ {2} = 3r ^ {2} + 12Rr}$^[3]
• ${ displaystyle displaystyle s ^ {2} = 3 { sqrt {3}} T}$^[4]
• ${ displaystyle displaystyle s = 3 { sqrt {3}} r}$
• ${ displaystyle displaystyle s = { frac {3 { sqrt {3}}} {2}} R}$

Углы

• ${ Displaystyle Displaystyle А = В = С = 60 ^ { circ}}$
• ${ displaystyle displaystyle cos {A} + cos {B} + cos {C} = { frac {3} {2}}}$
• ${ displaystyle displaystyle sin { frac {A} {2}} sin { frac {B} {2}} sin { frac {C} {2}} = { frac {1} {8 }}}$^[5]

Площадь

• ${ displaystyle displaystyle T = { frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {4 { sqrt {3}}}} quad}$ (Weitzenböck )^[6]
• ${ displaystyle displaystyle T = { frac { sqrt {3}} {4}} (abc) ^ {^ { frac {2} {3}}}}$^[4]

Circumradius, inradius и exradii

• ${ displaystyle displaystyle R = 2r quad { text {(Chapple-Euler)}}}$^[7]
• ${ displaystyle displaystyle 9R ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}$^[7]
• ${ displaystyle displaystyle r = { frac {r_ {a} + r_ {b} + r_ {c}} {9}}}$^[5]
• ${ displaystyle displaystyle r_ {a} = r_ {b} = r_ {c}}$

Равные чевианы

Три вида чевианы совпадают и равны для (и только для) равносторонних треугольников:^[8]

• Три высоты иметь одинаковую длину.
• Три медианы иметь одинаковую длину.
• Три биссектриса угла иметь одинаковую длину.

Совпадающие центры треугольников

Каждые центр треугольника равностороннего треугольника совпадает со своим центроид, что означает, что равносторонний треугольник - единственный треугольник без Линия Эйлера подключение некоторых центров. Для некоторых пар центров треугольников их совпадения достаточно, чтобы треугольник был равносторонним. Особенно:

• Треугольник считается равносторонним, если любые два из центр окружности, стимулятор, центроид или ортоцентр совпадают.^{[9]:стр.37}
• Он также будет равносторонним, если его центр описанной окружности совпадает с Точка Нагеля, или если его центр совпадает с его центр девяти точек.^[7]

Шесть треугольников, образованных разделением медианами

Для любого треугольника три медианы разделите треугольник на шесть меньших треугольников.

• Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда любые три меньших треугольника имеют одинаковый периметр или одинаковый радиус.^{[10]:Теорема 1.}
• Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда центры описанной окружности любых трех меньших треугольников находятся на одинаковом расстоянии от центроида.^{[10]:Следствие 7.}

Очки в плоскости

• Треугольник равносторонний тогда и только тогда, когда для каждый точка п в плоскости, с расстояниями п, q, и р к сторонам и расстояниям треугольника Икс, у, и z к его вершинам,^{[11]:стр.178, # 235.4}

${ displaystyle 4 (p ^ {2} + q ^ {2} + r ^ {2}) geq x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}.}$

Известные теоремы

Наглядное доказательство теоремы Вивиани

1.	Показаны ближайшие расстояния от точки P до сторон равностороннего треугольника ABC.
2.	Линии DE, FG и HI, параллельные AB, BC и CA соответственно, определяют меньшие треугольники PHE, PFI и PDG.
3.	Поскольку эти треугольники равносторонние, их высоту можно повернуть вертикально.
4.	Поскольку PGCH представляет собой параллелограмм, треугольник PHE можно сдвинуть вверх, чтобы показать, что сумма высот равна высоте треугольника ABC.

Теорема Морли о трехсекторах утверждает, что в любом треугольнике три точки пересечения смежных трисектора углов образуют равносторонний треугольник.

Теорема наполеона утверждает, что если равносторонние треугольники построены на сторонах любого треугольника, либо все наружу, либо все внутрь, центры этих равносторонних треугольников сами образуют равносторонний треугольник.

Версия изопериметрическое неравенство для треугольников утверждает, что треугольник наибольшего площадь среди всех тех, у кого есть данный периметр равносторонний.^[12]

Теорема Вивиани утверждает, что для любой внутренней точки п в равностороннем треугольнике с расстояниями d, е, и ж со сторон и с высоты час,

${ displaystyle d + e + f = h,}$

независимо от местонахождения п.^[13]

Теорема Помпею заявляет, что если п произвольная точка на плоскости равностороннего треугольника ABC но не на его описанный круг, то существует треугольник со сторонами длин PA, PB, и ПК. Это, PA, PB, и ПК удовлетворить неравенство треугольника что сумма любых двух из них больше третьего. Если п находится на описанной окружности, то сумма двух меньших из них равна самому длинному, а треугольник выродился в линию, этот случай известен как Теорема Ван Шутена.

Другие свойства

От Неравенство Эйлера, равносторонний треугольник имеет наименьшее отношение р/р радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу любого треугольника: в частности, р/р = 2.^{[14]:стр.198}

Треугольник наибольшей площади из всех вписанных в данный круг является равносторонним; и треугольник наименьшей площади из всех описанных вокруг данного круга является равносторонним.^[15]

Отношение площади вписанной окружности к площади равностороннего треугольника, ${ displaystyle { frac { pi} {3 { sqrt {3}}}}}$, больше, чем любой неравносторонний треугольник.^{[16]:Теорема 4.1.}

Отношение площади к квадрату периметра равностороннего треугольника, ${ displaystyle { frac {1} {12 { sqrt {3}}}},}$ больше, чем для любого другого треугольника.^[12]

Если сегмент разделяет равносторонний треугольник на две области с одинаковым периметром и площадью А₁ и А₂, тогда^{[11]:стр.151, # J26}

${ displaystyle { frac {7} {9}} leq { frac {A_ {1}} {A_ {2}}} leq { frac {9} {7}}.}$

Если треугольник помещен в комплексная плоскость со сложными вершинами z₁, z₂, и z₃, то для любого невещественного кубического корня ${ displaystyle omega}$ из 1 треугольник равносторонний тогда и только тогда, когда^{[17]:Лемма 2}

${ displaystyle z_ {1} + omega z_ {2} + omega ^ {2} z_ {3} = 0.}$

Учитывая точку п внутри равностороннего треугольника отношение суммы его расстояний от вершин к сумме расстояний от сторон больше или равно 2, равенство выполняется, когда п это центроид. Ни в каком другом треугольнике нет точки, для которой это отношение было бы равно 2.^[18] Это Неравенство Эрдеша – Морделла.; более сильный вариант этого Неравенство Барроу, который заменяет перпендикулярные расстояния к сторонам расстояния от п к точкам, где биссектриса угла из ∠APB, ∠BPC, и ∠CPA пересечь стороны (А, B, и C являющиеся вершинами).

Для любой точки п в плоскости, с расстояниями п, q, и т из вершин А, B, и C соответственно,^[19]

${ displaystyle displaystyle 3 (p ^ {4} + q ^ {4} + t ^ {4} + a ^ {4}) = (p ^ {2} + q ^ {2} + t ^ {2} + a ^ {2}) ^ {2}.}$

Для любой точки п в плоскости, с расстояниями п, q, и т из вершин, ^[20]

${ displaystyle displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} + t ^ {2} = 3 (R ^ {2} + L ^ {2})}$

и

${ displaystyle displaystyle p ^ {4} + q ^ {4} + t ^ {4} = 3 [(R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {2} + 2R ^ {2} L ^ {2}],}$

где р - описанный радиус и L это расстояние между точкой п и центр тяжести равностороннего треугольника.

Для любой точки п на вписанной окружности равностороннего треугольника с расстояниями п, q, и т из вершин,^[21]

${ displaystyle displaystyle 4 (p ^ {2} + q ^ {2} + t ^ {2}) = 5a ^ {2}}$

и

${ displaystyle displaystyle 16 (p ^ {4} + q ^ {4} + t ^ {4}) = 11a ^ {4}.}$

Для любой точки п на малой дуге BC описанной окружности с расстояниями п, q, и т из A, B и C соответственно,^[13]

${ displaystyle displaystyle p = q + t}$

и

${ displaystyle displaystyle q ^ {2} + qt + t ^ {2} = a ^ {2};}$

при этом, если точка D на стороне BC делит PA на отрезки PD и DA, длина DA которых z и ПД длиной у, тогда ^[13]:172

${ displaystyle z = { frac {t ^ {2} + tq + q ^ {2}} {t + q}},}$

что также равно ${ Displaystyle { tfrac {т ^ {3} -q ^ {3}} {т ^ {2} -q ^ {2}}}}$ если т ≠ q; и

${ displaystyle { frac {1} {q}} + { frac {1} {t}} = { frac {1} {y}},}$

какой оптическое уравнение.

Есть множество неравенства треугольника которые выполняются с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.

Равносторонний треугольник - самый симметричный треугольник, имеющий 3 линии отражение и вращательная симметрия порядка 3 около его центра. это группа симметрии это диэдральная группа порядка 6 D₃.

Равносторонние треугольники - единственные треугольники, Штайнер инеллипс окружность (точнее, вписанная окружность).

Целочисленный равносторонний треугольник - единственный треугольник с целыми сторонами и три рациональных угла, измеряемых в градусах.^[22]

Равносторонний треугольник - единственный остроугольный треугольник, похожий на его ортический треугольник (с вершинами в основании высоты ) ( семиугольный треугольник единственный тупой).^{[23]:п. 19}

Правильный тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольников.

Равносторонние треугольники встречаются во многих других геометрических конструкциях. Пересечение окружностей, центры которых находятся на расстоянии радиуса друг от друга, представляет собой пару равносторонних арок, в каждую из которых можно вписать равносторонний треугольник. Они образуют лица правильной и однородной формы. многогранники. Три из пяти Платоновы тела состоят из равносторонних треугольников. В частности, правильный тетраэдр имеет четыре равносторонних треугольника для лиц и может считаться трехмерным аналогом фигуры. Самолет может быть выложенный плиткой используя равносторонние треугольники, дающие треугольная черепица.

Геометрическая конструкция

Построение равностороннего треугольника с циркулем и линейкой

Равносторонний треугольник легко построить с помощью линейка и компас, потому что 3 - это Ферма Прайм. Нарисуйте прямую линию, поместите точку циркуля на один конец линии и проведите дугу от этой точки до другой точки отрезка линии. Повторите то же самое с другой стороной линии. Наконец, соедините точку пересечения двух дуг с каждым концом отрезка.

Альтернативный метод - нарисовать круг с радиусом р, поместите точку циркуля на круг и нарисуйте еще один круг того же радиуса. Два круга пересекутся в двух точках. Равносторонний треугольник можно построить, взяв два центра окружностей и любую из точек пересечения.

В обоих методах побочным продуктом является образование vesica piscis.

Доказательство того, что полученная фигура представляет собой равносторонний треугольник, является первым предложением книги I книги. Евклида Элементы.

Вывод формулы площади

Формула площади ${ displaystyle A = { frac { sqrt {3}} {4}} a ^ {2}}$ по длине стороны а может быть получен непосредственно с помощью теоремы Пифагора или с помощью тригонометрии.

Использование теоремы Пифагора

Площадь треугольника равна половине одной стороны а раз больше высоты час с той стороны:

${ displaystyle A = { frac {1} {2}} ах.}$

Равносторонний треугольник со стороной 2 имеет высоту √3, как синус 60 ° - это √3/2.

Катеты любого прямоугольного треугольника, образованного высотой равностороннего треугольника, составляют половину основания. а, а гипотенуза - сторона а равностороннего треугольника. Высоту равностороннего треугольника можно найти с помощью теорема Пифагора

${ displaystyle left ({ frac {a} {2}} right) ^ {2} + h ^ {2} = a ^ {2}}$

так что

${ displaystyle h = { frac { sqrt {3}} {2}} a.}$

Подстановка час в формулу площади (1/2)ах дает формулу площади равностороннего треугольника:

${ displaystyle A = { frac { sqrt {3}} {4}} a ^ {2}.}$

Использование тригонометрии

С помощью тригонометрия, площадь треугольника с любыми двумя сторонами а и б, а угол C между ними

${ displaystyle A = { frac {1} {2}} ab sin C.}$

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60 °, поэтому

${ displaystyle A = { frac {1} {2}} ab sin 60 ^ { circ}.}$

Синус 60 ° равен ${ displaystyle { tfrac { sqrt {3}} {2}}}$. Таким образом

${ displaystyle A = { frac {1} {2}} ab times { frac { sqrt {3}} {2}} = { frac { sqrt {3}} {4}} ab = { frac { sqrt {3}} {4}} а ^ {2}}$

так как все стороны равностороннего треугольника равны.

В культуре и обществе

Равносторонние треугольники часто появлялись в рукотворных конструкциях:

• Форма встречается в современной архитектуре, например, в поперечном сечении Шлюз Арка.^[24]
• Его приложения во флагах и геральдике включают флаг Никарагуа^[25] и флаг Филиппин.^[26]
• Это форма множества дорожные знаки, в том числе знак уступки.^[27]

Смотрите также

• Почти равносторонний треугольник Герона
• Равнобедренный треугольник
• Тернарный сюжет

использованная литература

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Равносторонний треугольник". MathWorld.