Теорема Помпея - Википедия - Pompeius theorem

Теорема Помпею является результатом плоская геометрия, открытый румынским математиком Димитрие Помпейу. Теорема простая, но не классическая. В нем говорится следующее:

Учитывая равносторонний треугольник ABC на плоскости и точка P на плоскости треугольника ABC, длины PA, PB и PC образуют стороны (может быть, вырожденного) треугольника.^[1][2]

Доказательство теоремы Помпейу с треугольником Помпейу ${ Displaystyle треугольник PCP '}$

Доказательство быстрое. Рассмотрим поворот на 60 ° вокруг точки B. Предполагать А сопоставляется с C, и п сопоставляется с п '. потом ${ Displaystyle scriptstyle PB = P'B}$, и ${ Displaystyle scriptstyle angle PBP ' = 60 ^ { circ}}$. Следовательно, треугольник PBP 'равносторонний и ${ Displaystyle scriptstyle PP ' = PB}$. потом ${ Displaystyle scriptstyle PA = P'C}$. Таким образом, треугольник PCP 'имеет стороны равные PA, PB, и ПК и доказательство по построению в комплекте (см. рисунок).^[1][2]

Дальнейшие исследования показывают, что если п находится не внутри треугольника, а на описанный круг, тогда PA, PB, ПК образуют вырожденный треугольник, наибольший из которых равен сумме остальных, это наблюдение также известно как Теорема Ван Шутена.^[1]

Помпейу опубликовал теорему в 1936 году, однако Август Фердинанд Мёбиус опубликовал более общую теорему о четырех точках на евклидовой плоскости еще в 1852 году. В этой статье Мёбиус также явно вывел формулировку теоремы Помпейу как частный случай своей более общей теоремы. По этой причине теорема также известна как Теорема Мёбиуса-Помпейу.^[3]

внешняя ссылка

• Страница MathWorld о теореме Помпейу
• Теорема Помпею на cut-the-knot.org

Примечания