Неравенство Барроуза - Википедия - Barrows inequality

В геометрия, Неравенство Барроу является неравенство относящийся к расстояния между произвольной точкой в пределах треугольник, вершины треугольника и определенные точки на сторонах треугольника. Он назван в честь Дэвид Фрэнсис Барроу.

Заявление

Позволять п - произвольная точка внутри треугольник ABC. Из п и ABC, определять U, V, и W как точки, где биссектриса угла из BPC, CPA, и APB пересечь стороны до н.э, CA, AB, соответственно. Тогда неравенство Барроу утверждает, что^[1]

{ Displaystyle PA + PB + PC geq 2 (PU + PV + PW), ,}

причем равенство сохраняется только в случае равносторонний треугольник и п это центр треугольника.^[1]

Обобщение

Неравенство Барроу распространяется на выпуклые многоугольники. Для выпуклого многоугольника с вершинами ${ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, ldots, A_ {n}}$ позволять ${ displaystyle P}$ быть внутренней точкой и ${ Displaystyle Q_ {1}, Q_ {2}, ldots, Q_ {n}}$ пересечения биссектрис угла ${ displaystyle angle A_ {1} PA_ {2}, ldots, angle A_ {n-1} PA_ {n}, angle A_ {n} PA_ {1}}$ со связанными сторонами многоугольника ${ displaystyle A_ {1} A_ {2}, ldots, A_ {n-1} A_ {n}, A_ {n} A_ {1}}$ , то имеет место неравенство^[2]^[3]

{ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} | PA_ {k} | geq sec left ({ frac { pi} {n}} right) sum _ {k = 1} ^ {n} | PQ_ {k} |}

Здесь ${ Displaystyle сек (х)}$ обозначает секущая функция. Для случая треугольника ${ displaystyle n = 3}$ неравенство становится неравенством Барроу из-за ${ displaystyle sec left ({ tfrac { pi} {3}} right) = 2}$ .

История

Укрепление кургана Эрдеш-Морделл

{ displaystyle { begin {align} & quad , | PA | + | PB | + | PC | & geq 2 (| PQ_ {a} | + | PQ_ {b} | + | PQ_ {c } |) & geq 2 (| PF_ {a} | + | PF_ {b} | + | PF_ {c} |) end {align}}}

Неравенство Барроу усиливает Неравенство Эрдеша – Морделла., который имеет идентичную форму, кроме ПУ, PV, и PW заменены тремя расстояниями п со сторон треугольника. Он назван в честь Дэвид Фрэнсис Барроу. Доказательство Барроу этого неравенства было опубликовано в 1937 году как его решение проблемы, поставленной в Американский математический ежемесячный журнал доказательства неравенства Эрдеша – Морделла.^[1] Этот результат еще в 1961 году был назван «неравенством Барроу».^[4]

Более простое доказательство было позже дано Луи Дж. Морделл.^[5]

Смотрите также

внешняя ссылка

Ходжу Ли: темы неравенств - теоремы и методы

[emb-1] а ^б ^c Эрдеш, Пол; Морделл, Л. Дж.; Барроу, Дэвид Ф. (1937), «Решение задачи 3740», Американский математический ежемесячный журнал, 44 (4): 252–254, Дои:10.2307/2300713, JSTOR 2300713.

[2] М. Динка: "Простое доказательство неравенства Эрдеша-Морделла". В: Артикул si Note Matematice, 2009

[3] Ханс-Кристоф Ленхард: "Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone". В: Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung, Band 12, S. 311–314, DOI: 10.1007 / BF01650566 (Немецкий).

[4] Оппенгейм, А. (1961), «Новые неравенства для треугольника и внутренней точки», Annali di Matematica Pura ed Applicata, 53: 157–163, Дои:10.1007 / BF02417793, МИСТЕР 0124774

[5] Морделл, Л. Дж. (1962), "О геометрических проблемах Эрдеша и Оппенгейма", Математический вестник, 46 (357): 213–215, JSTOR 3614019.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]