Неравенство (математика) - Википедия - Inequality (mathematics)

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Май 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В возможные регионы из линейное программирование определяются набором неравенств.

В математика, неравенство - это отношение, которое выполняет неравное сравнение двух чисел или других математических выражений.^[1][2] Чаще всего используется для сравнения двух чисел на числовая строка по их размеру. Для обозначения различных видов неравенства используются несколько различных обозначений:

• Обозначение а < б Значит это а меньше чем б.
• Обозначение а > б Значит это а больше, чем б.

В любом случае, а не равно б. Эти отношения известны как строгое неравенство,^[2] означающий, что а строго меньше или строго больше чем б. Эквивалентность исключена.

В отличие от строгих неравенств, существуют два типа отношений неравенства, которые не являются строгими:

• Обозначение а ≤ б или же а ⩽ б Значит это а меньше или равно б (или, что то же самое, самое большее б, или не больше б).
• Обозначение а ≥ б или же а ⩾ б Значит это а Больше или равно б (или, что то же самое, по крайней мере б, или не менее б).

Отношение «не больше чем» также можно представить как а ≯ б, символ "больше", разделенный пополам косой чертой, "не". То же самое верно для «не менее чем» и а ≮ б.

Обозначение а ≠ б Значит это а не равно б, и иногда считается формой строгого неравенства.^[3] Он не говорит, что одно больше другого; это даже не требует а и б быть членом заказанный набор.

В инженерных науках менее формальное использование обозначений состоит в том, чтобы утверждать, что одна величина «намного больше», чем другая, обычно на несколько порядки величины. Это означает, что меньшим значением можно пренебречь с небольшим влиянием на точность приближение (например, в случае ультрарелятивистский предел по физике).

• Обозначение а ≪ б Значит это а намного меньше чем б. (в теория меры, однако это обозначение используется для абсолютная непрерывность, несвязанная концепция.^[4])
• Обозначение а ≫ б Значит это а намного больше, чем б.^[5]

Во всех вышеперечисленных случаях любые два символа, отражающие друг друга, симметричны; а < б и б > а эквивалентны и т. д.

Свойства на числовой строке

Неравенство регулируется следующими характеристики. Все эти свойства также сохраняются, если все нестрогие неравенства (≤ и ≥) заменить соответствующими им строгими неравенствами (<и>) и - в случае применения функции - монотонные функции ограничены строго монотонные функции.

Converse

Отношения ≤ и ≥ являются друг друга разговаривать, что означает, что для любого действительные числа а и б:

а ≤ б и б ≥ а эквивалентны.

Транзитивность

Транзитивное свойство неравенства утверждает, что для любого действительные числа а, б, c:^[6]

Если а ≤ б и б ≤ c, тогда а ≤ c.

Если либо посылки - строгое неравенство, то вывод - строгое неравенство:

Если а ≤ б и б < c, тогда а < c.

Если а < б и б ≤ c, тогда а < c.

Сложение и вычитание

Если Икс < у, тогда Икс + а < у + а.

Общая константа c может быть добавлен к или вычтенный с обеих сторон неравенства.^[3] Итак, для любого действительные числа а, б, c:

Если а ≤ б, тогда а + c ≤ б + c и а − c ≤ б − c.

Другими словами, соотношение неравенства сохраняется при сложении (или вычитании), а действительные числа являются упорядоченная группа под дополнением.

Умножение и деление

Если Икс < у и а > 0, то топор < ай.

Если Икс < у и а <0, то топор > ай.

Недвижимость, имеющая дело с умножение и разделение заявить, что для любых действительных чисел, а, б и ненулевой c:

Если а ≤ б и c > 0, то ac ≤ до н.э и а/c ≤ б/c.

Если а ≤ б и c <0, то ac ≥ до н.э и а/c ≥ б/c.

Другими словами, соотношение неравенства сохраняется при умножении и делении с положительной константой, но меняется на противоположное, когда задействована отрицательная константа. В более общем плане это относится к упорядоченное поле. Для получения дополнительной информации см. § Упорядоченные поля.

Противоположное число

Недвижимость для Противоположное число утверждает, что для любых реальных чисел а и б:

Если а ≤ б, тогда -а ≥ −б.

Мультипликативный обратный

Если оба числа положительны, то соотношение неравенства между мультипликативные обратные противоположно исходным числам. В частности, для любых ненулевых действительных чисел а и б это оба положительный (или оба отрицательный ):

Если а ≤ б, тогда 1/а ≥ 1/б.

Все случаи при признаках а и б также можно записать в цепная запись, следующее:

Если 0 < а ≤ б, тогда 1/а ≥ 1/б > 0.

Если а ≤ б < 0, then 0 > 1/а ≥ 1/б.

Если а < 0 < б, тогда 1/а < 0 < 1/б.

Применение функции к обеим сторонам

График у = ln Икс

Любой монотонно увеличение функция, по его определению,^[7] может применяться к обеим сторонам неравенства без нарушения соотношения неравенства (при условии, что оба выражения находятся в домен этой функции). Однако применение монотонно убывающей функции к обеим сторонам неравенства означает, что соотношение неравенства будет обратным. Правила для аддитивного обратного и мультипликативного обратного для положительных чисел являются примерами применения монотонно убывающей функции.

Если неравенство строгое (а < б, а > б) и функция строго монотонна, то неравенство остается строгим. Если строгое только одно из этих условий, то полученное неравенство нестрогое. Фактически, правила для аддитивного и мультипликативного обратного являются примерами применения строго монотонно убывающая функция.

Вот несколько примеров этого правила:

• Возведение обеих сторон неравенства к власти п > 0 (эквивалент, -п <0), когда а и б положительные действительные числа:

0 ≤ а ≤ б ⇔ 0 ≤ а^п ≤ б^п.

0 ≤ а ≤ б ⇔ а^−п ≥ б^−п ≥ 0.

• Принимая натуральный логарифм по обе стороны от неравенства, когда а и б положительные действительные числа:

0 < а ≤ б ⇔ ln (а) ≤ ln (б).

0 < а < б ⇔ ln (а) б).

(это правда, потому что натуральный логарифм - это строго возрастающая функция.)

Формальные определения и обобщения

А (нестрогий) частичный заказ это бинарное отношение ≤ над набор п который рефлексивный, антисимметричный, и переходный.^[8] То есть для всех а, б, и c в п, он должен удовлетворять трем следующим пунктам:

1. а ≤ а (рефлексивность )
2. если а ≤ б и б ≤ а, тогда а = б (антисимметрия )
3. если а ≤ б и б ≤ c, тогда а ≤ c (транзитивность )

Набор с частичным порядком называется частично заказанный набор.^[9] Это самые основные аксиомы, которым должен удовлетворять любой порядок. Другие аксиомы, существующие для других определений порядков на множестве п включают:

1. Для каждого а и б в п, а ≤ б или же б ≤ а (общий заказ ).
2. Для всех а и б в п для которого а < б, Существует c в п такой, что а < c < б (плотный порядок ).
3. Каждый непустой подмножество из п с верхняя граница имеет наименее верхняя граница (супремум) в п (свойство с наименьшей верхней границей ).

Упорядоченные поля

Если (F, +, ×) является поле и ≤ является общий заказ на F, тогда (F, +, ×, ≤) называется упорядоченное поле если и только если:

• а ≤ б подразумевает а + c ≤ б + c;
• 0 ≤ а и 0 ≤ б следует 0 ≤ а × б.

Обе (Q, +, ×, ≤) и (р, +, ×, ≤) являются упорядоченные поля, но ≤ не может быть определено, чтобы сделать (C, +, ×, ≤) и упорядоченное поле,^[10] потому что -1 - квадрат я и поэтому будет положительным.

Помимо того, что это упорядоченное поле, р также имеет Свойство с наименьшей верхней границей. Фактически, р можно определить как единственное упорядоченное поле с таким качеством.^[11]

Цепная запись

Обозначение а < б < c означает "а < б и б < c", из которого в силу свойства транзитивности также следует, что а < c. По указанным выше законам можно прибавить или вычесть одно и то же число ко всем трем членам, либо умножить или разделить все три члена на одно и то же ненулевое число и обратить все неравенства, если это число отрицательно. Отсюда, например, а < б + е < c эквивалентно а − е < б < c − е.

Это обозначение можно обобщить на любое количество терминов: например, а₁ ≤ а₂ ≤ ... ≤ а_п Значит это а_я ≤ а_я+1 за я = 1, 2, ..., п - 1. По транзитивности это условие эквивалентно а_я ≤ а_j для любого 1 ≤ я ≤ j ≤ п.

При решении неравенств с использованием цепных обозначений можно, а иногда и необходимо оценивать члены независимо. Например, для решения неравенства 4Икс < 2Икс + 1 ≤ 3Икс + 2, невозможно изолировать Икс в любой части неравенства путем сложения или вычитания. Вместо этого неравенства необходимо решать независимо, что дает Икс <1/2 и Икс ≥ −1 соответственно, которые можно объединить в окончательное решение −1 ≤ Икс < 1/2.

Иногда используются цепочечные обозначения с неравенствами в разных направлениях, и в этом случае смысл логическое соединение неравенств между соседними членами. Например, определяющее условие зигзагообразный позет записывается как а₁ < а₂ > а₃ < а₄ > а₅ < а₆ > .... Смешанные цепные обозначения чаще используются с совместимыми отношениями, такими как <, =, ≤. Например, а < б = c ≤ d Значит это а < б, б = c, и c ≤ d. Это обозначение существует в нескольких языки программирования Такие как Python. Напротив, в языках программирования, которые обеспечивают упорядочение по типу результатов сравнения, например C, даже однородные цепочки могут иметь совершенно другое значение.^[12]

Резкое неравенство

Неравенство называется острый, если этого не может быть расслабленный и по-прежнему действительны в целом. Формально универсально определяемый неравенство φ называется точным, если для любого справедливого универсально квантифицированного неравенства ψ, если ψ ⇒ φ держит, то ψ ⇔ φ также имеет место. Например, неравенство ∀а ∈ ℝ. а² ≥ 0 является точным, а неравенство ∀а ∈ ℝ. а² ≥ −1 не резкий.^{[нужна цитата ]}

Неравенство между средствами

Между средствами существует много неравенства. Например, для любых положительных чисел а₁, а₂, …, а_п у нас есть ЧАС ≤ грамм ≤ А ≤ Q, куда

${ displaystyle H = { frac {n} {{ frac {1} {a_ {1}}} + { frac {1} {a_ {2}}} + cdots + { frac {1} { a_ {n}}}}}}$	(гармоническое среднее ),
${ displaystyle G = { sqrt [{n}] {a_ {1} cdot a_ {2} cdots a_ {n}}}}$	(среднее геометрическое ),
${ displaystyle A = { frac {a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n}} {n}}}$	(среднее арифметическое ),
${ displaystyle Q = { sqrt { frac {a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + cdots + a_ {n} ^ {2}} {n}}}}$	(среднее квадратичное ).

Неравенство Коши – Шварца

Неравенство Коши – Шварца утверждает, что для всех векторов ты и v из внутреннее пространство продукта правда, что

${ displaystyle | langle mathbf {u}, mathbf {v} rangle | ^ {2} leq langle mathbf {u}, mathbf {u} rangle cdot langle mathbf {v} , mathbf {v} rangle,}$

куда ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ это внутренний продукт. Примеры внутренних продуктов включают реальные и сложные скалярное произведение; В Евклидово пространство р^п со стандартным скалярным произведением неравенство Коши – Шварца имеет вид

${ displaystyle left ( sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} v_ {i} right) ^ {2} leq left ( sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} ^ {2} right) left ( sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} ^ {2} right).}$

Неравенство сил

А "неравенство сил"- неравенство, содержащее члены вида а^б, куда а и б являются действительными положительными числами или переменными выражениями. Они часто появляются в математические олимпиады упражнения.

Примеры

• Для любого реального Икс,

${ displaystyle e ^ {x} geq 1 + x.}$

• Если Икс > 0 и п > 0, то

${ displaystyle { frac {x ^ {p} -1} {p}} geq ln (x) geq { frac {1 - { frac {1} {x ^ {p}}}} { п}}.}$

В пределах п → 0, верхняя и нижняя границы сходятся к ln (Икс).

• Если Икс > 0, то

${ displaystyle x ^ {x} geq left ({ frac {1} {e}} right) ^ { frac {1} {e}}.}$

• Если Икс > 0, то

${ displaystyle x ^ {x ^ {x}} geq x.}$

• Если Икс, у, z > 0, то

${ displaystyle left (x + y right) ^ {z} + left (x + z right) ^ {y} + left (y + z right) ^ {x}> 2.}$

• Для любых реальных различных чисел а и б,

${ displaystyle { frac {e ^ {b} -e ^ {a}} {b-a}}> e ^ {(a + b) / 2}.}$

• Если Икс, у > 0 и 0 < п <1, то

${ displaystyle x ^ {p} + y ^ {p}> left (x + y right) ^ {p}.}$

• Если Икс, у, z > 0, то

${ displaystyle x ^ {x} y ^ {y} z ^ {z} geq left (xyz right) ^ {(x + y + z) / 3}.}$

• Если а, б > 0, то^[13]

${ displaystyle a ^ {a} + b ^ {b} geq a ^ {b} + b ^ {a}.}$

• Если а, б > 0, то^[14]

${ displaystyle a ^ {ea} + b ^ {eb} geq a ^ {eb} + b ^ {ea}.}$

• Если а, б, c > 0, то

${ displaystyle a ^ {2a} + b ^ {2b} + c ^ {2c} geq a ^ {2b} + b ^ {2c} + c ^ {2a}.}$

• Если а, б > 0, то

${ displaystyle a ^ {b} + b ^ {a}> 1.}$

Хорошо известные неравенства

Математики часто используют неравенства для оценки величин, точные формулы которых не могут быть легко вычислены. Некоторые неравенства используются так часто, что имеют названия:

Комплексные числа и неравенства

Набор сложные числа ℂ с его операциями добавление и умножение это поле, но невозможно определить какое-либо отношение ≤ так, чтобы (ℂ, +, ×, ≤) становится упорядоченное поле. Сделать (ℂ, +, ×, ≤) ан упорядоченное поле, он должен удовлетворять следующим двум свойствам:

• если а ≤ б, тогда а + c ≤ б + c;
• если 0 ≤ а и 0 ≤ б, тогда 0 ≤ ab.

Поскольку ≤ - это общий заказ, для любого числа а, либо 0 ≤ а или же а ≤ 0 (в этом случае первое свойство выше означает, что 0 ≤ −а). В любом случае 0 ≤ а²; это означает, что я² > 0 и 1² > 0; так −1 > 0 и 1 > 0, что означает (−1 + 1)> 0; противоречие.

Однако операцию ≤ можно определить так, чтобы она удовлетворяла только первому свойству (а именно, «если а ≤ б, тогда а + c ≤ б + c"). Иногда лексикографический порядок используется определение:

• а ≤ б, если
  • Re (а) б), или же
  • Re (а) = Re (б) и Я(а) ≤ Im (б)

Легко доказать, что для этого определения а ≤ б подразумевает а + c ≤ б + c.

Векторные неравенства

Отношения неравенства, аналогичные определенным выше, также могут быть определены для вектор-столбец. Если мы позволим векторам ${ Displaystyle х, у в mathbb {R} ^ {п}}$ (означающий, что ${ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) ^ { mathsf {T}}}$ и ${ displaystyle y = (y_ {1}, y_ {2}, ldots, y_ {n}) ^ { mathsf {T}}}$, куда ${ displaystyle x_ {i}}$ и ${ displaystyle y_ {i}}$ реальные числа для ${ Displaystyle я = 1, ldots, п}$), мы можем определить следующие отношения:

• ${ displaystyle x = y}$, если ${ Displaystyle х_ {я} = у_ {я}}$ за ${ Displaystyle я = 1, ldots, п}$.
• ${ Displaystyle х <у}$, если ${ Displaystyle х_ {я} <у_ {я}}$ за ${ Displaystyle я = 1, ldots, п}$.
• ${ displaystyle x leq y}$, если ${ Displaystyle х_ {я} leq y_ {я}}$ за ${ Displaystyle я = 1, ldots, п}$ и ${ Displaystyle х neq y}$.
• ${ displaystyle x leqq y}$, если ${ Displaystyle х_ {я} leq у_ {я}}$ за ${ Displaystyle я = 1, ldots, п}$.

Точно так же мы можем определить отношения для ${ displaystyle x> y}$, ${ displaystyle x geq y}$, и ${ Displaystyle х geqq у}$. Это обозначение согласуется с тем, что использовал Маттиас Эрготт в Многокритериальная оптимизация (см. Ссылки).

В свойство трихотомии (как указано над ) не действует для векторных отношений. Например, когда ${ Displaystyle х = (2,5) ^ { mathsf {T}}}$ и ${ Displaystyle у = (3,4) ^ { mathsf {T}}}$, между этими двумя векторами не существует допустимого неравенства. Также мультипликативный обратный до того, как это свойство можно будет учесть, необходимо определить для вектора. Однако для остальных вышеупомянутых свойств существует свойство параллельности для векторных неравенств.

Системы неравенств

Системы линейные неравенства можно упростить Исключение Фурье – Моцкина..^[15]

В цилиндрическое алгебраическое разложение - это алгоритм, который позволяет проверить, имеет ли система полиномиальных уравнений и неравенств решения, и, если решения существуют, описать их. Сложность этого алгоритма составляет дважды экспоненциальный по количеству переменных. Это активная область исследований для разработки более эффективных алгоритмов в конкретных случаях.

Смотрите также

• Бинарное отношение
• Кронштейн (математика), для использования аналогичных знаков ‹и› как скобки
• Включение (теория множеств)
• Неравенство
• Интервал (математика)
• Список неравенств
• Список неравенств треугольника
• Частично заказанный набор
• Операторы отношения, используется в языках программирования для обозначения неравенства

Рекомендации

Источники