Абсолютная преемственность - Absolute continuity

В исчисление, абсолютная непрерывность является свойством гладкости функции это сильнее, чем непрерывность и равномерная преемственность. Понятие абсолютной непрерывности позволяет получить обобщения взаимосвязи между двумя центральными операциями исчисление —дифференциация и интеграция. Эти отношения обычно характеризуются ( основная теорема исчисления ) в рамках Интеграция Римана, но с абсолютной преемственностью его можно сформулировать в терминах Интеграция Лебега. Для действительных функций на реальная линия появляются два взаимосвязанных понятия: абсолютная непрерывность функций и абсолютная преемственность мер. Эти два понятия обобщаются в разных направлениях. Обычная производная функции связана с Производная Радона – Никодима, или же плотность, меры.

Имеются следующие цепочки включений для функций над компактный подмножество реальной линии:

абсолютно непрерывный ⊆ равномерно непрерывный ⊆ непрерывный

а для компактного интервала

непрерывно дифференцируемый ⊆ Липшицева непрерывная ⊆ абсолютно непрерывный ⊆ ограниченная вариация ⊆ дифференцируемый почти всюду

Абсолютная преемственность функций

Непрерывная функция не может быть абсолютно непрерывной, если она не может быть равномерно непрерывный, что может произойти, если область определения функции не компактна - примеры: tan (Икс) над [0,π/2), Икс² по всей действительной строке и sin (1 /Икс) над (0, 1]. Но непрерывная функция ж может не быть абсолютно непрерывным даже на компактном интервале. Он не может быть «дифференцируемым почти везде» (как Функция Вейерштрасса, который нигде не дифференцируется). Или это может быть дифференцируемый почти везде и его производная ж ' может быть Интегрируемый по Лебегу, но интеграл ж ′ Отличается от приращения ж (сколько ж меняется через интервал). Это происходит, например, с Функция Кантора.

Определение

Позволять ${ displaystyle I}$ быть интервал в реальная линия ${ Displaystyle mathbb {R}}$. Функция ${ displaystyle f двоеточие I to mathbb {R}}$ является абсолютно непрерывный на ${ displaystyle I}$ если для каждого положительного числа ${ displaystyle varepsilon}$, есть положительное число ${ displaystyle delta}$ такой, что всякий раз, когда конечная последовательность попарно непересекающиеся подинтервалы ${ displaystyle (x_ {k}, y_ {k})}$ из ${ displaystyle I}$ с ${ displaystyle x_ {k}, y_ {k} in I}$ удовлетворяет^[1]

${ displaystyle sum _ {k} (y_ {k} -x_ {k}) < delta}$

тогда

${ displaystyle sum _ {k} | f (y_ {k}) - f (x_ {k}) | < varepsilon.}$

Совокупность всех абсолютно непрерывных функций на ${ displaystyle I}$ обозначается ${ displaystyle operatorname {AC} (I)}$.

Эквивалентные определения

Следующие условия на вещественнозначную функцию ж на компактном интервале [а,б] эквивалентны:^[2]

(1) ж абсолютно непрерывен;

(2) ж имеет производную ж ′ почти всюду, производная интегрируема по Лебегу и

${ Displaystyle е (х) = е (а) + int _ {а} ^ {х} е '(т) , dt}$

для всех Икс на [а,б];

(3) существует интегрируемая по Лебегу функция грамм на [а,б] такой, что

${ Displaystyle е (х) = е (а) + int _ {а} ^ {х} г (т) , dt}$

для всех Икс в [а,б].

Если эти эквивалентные условия выполнены, то обязательно грамм = ж ' почти всюду.

Эквивалентность между (1) и (3) известна как основная теорема интегрального исчисления Лебега, из-за Лебег.^[3]

Эквивалентное определение в терминах мер см. В разделе Связь между двумя понятиями абсолютной преемственности.

Характеристики

• Сумма и разность двух абсолютно непрерывных функций также абсолютно непрерывны. Если две функции определены на ограниченном отрезке, их произведение также будет абсолютно непрерывным.^[4]
• Если абсолютно непрерывная функция определена на ограниченном отрезке и нигде не равна нулю, то ее обратная функция абсолютно непрерывна.^[5]
• Всякая абсолютно непрерывная функция равномерно непрерывный и поэтому, непрерывный. Каждый Липшицево-непрерывный функция абсолютно непрерывно.^[6]
• Если ж: [а,б] → р абсолютно непрерывна, то она ограниченная вариация на [а,б].^[7]
• Если ж: [а,б] → р абсолютно непрерывна, то ее можно записать как разность двух монотонных неубывающих абсолютно непрерывных функций на [а,б].
• Если ж: [а,б] → р абсолютно непрерывна, то она имеет Лузин N свойство (то есть для любого ${ Displaystyle L substeq [а, b]}$ такой, что ${ displaystyle lambda (L) = 0}$, считается, что ${ Displaystyle лямбда (е (L)) = 0}$, куда ${ displaystyle lambda}$ стоит за Мера Лебега на р).
• ж: я → р абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна, имеет ограниченную вариацию и имеет лузинскую N свойство.

Примеры

Следующие функции равномерно непрерывны, но нет абсолютно непрерывно:

• в Функция Кантора на [0, 1] (это ограниченная вариация, но не абсолютно непрерывная);
• функция

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} 0, & { text {if}} x = 0 x sin (1 / x), & { text {if}} x neq 0 end {case}}}$

на конечном интервале, содержащем начало координат.

Следующие функции абсолютно непрерывны, но не α-Гёльдера:

• функция ж(Икс) = Икс^β на [0, c] для любого 0 <β <α <1

Следующие функции являются абсолютно непрерывными и α-Гельдера непрерывный но нет Липшицева непрерывная:

• функция ж(Икс) = √Икс на [0, c] для α ≤ 1/2.

Обобщения

Позволять (Икс, d) быть метрическое пространство и разреши я быть интервал в реальная линия р. Функция ж: я → Икс является абсолютно непрерывный на я если для каждого положительного числа ${ displaystyle epsilon}$, есть положительное число ${ displaystyle delta}$ такой, что всякий раз, когда конечная последовательность попарно непересекающиеся подинтервалы [Икс_k, у_k] из я удовлетворяет

${ displaystyle sum _ {k} left | y_ {k} -x_ {k} right | < delta}$

тогда

${ displaystyle sum _ {k} d left (f (y_ {k}), f (x_ {k}) right) < epsilon.}$

Набор всех абсолютно непрерывных функций из я в Икс обозначается AC (я; Икс).

Дальнейшее обобщение - это пространство AC^п(я; Икс) кривых ж: я → Икс такой, что^[8]

${ displaystyle d left (е (s), f (t) right) leq int _ {s} ^ {t} m ( tau) , d tau { text {для всех}} [ s, t] substeq I}$

для некоторых м в L^п Космос L^п(Я).

Свойства этих обобщений

• Всякая абсолютно непрерывная функция равномерно непрерывный и поэтому, непрерывный. Каждый Липшицево-непрерывный функция абсолютно непрерывно.
• Если ж: [а,б] → Икс абсолютно непрерывна, то она ограниченная вариация на [а,б].
• За ж ∈ AC^п(я; Икс), метрическая производная из ж существует для λ-почти все раз в я, а метрическая производная - наименьшее м ∈ L^п(я; р) такие, что^[9]

${ displaystyle d left (е (s), f (t) right) leq int _ {s} ^ {t} m ( tau) , d tau { text {для всех}} [ s, t] substeq I.}$

Абсолютная преемственность мер

Определение

А мера ${ displaystyle mu}$ на Борелевские подмножества действительной прямой абсолютно непрерывна относительно Мера Лебега ${ displaystyle lambda}$ (другими словами, преобладают ${ displaystyle lambda}$), если для каждого измеримого множества ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle lambda (A) = 0}$ подразумевает ${ Displaystyle му (А) = 0}$ . Это записывается как ${ displaystyle mu ll lambda}$.

В большинстве приложений, если мера на вещественной прямой просто называется абсолютно непрерывной - без указания, относительно какой другой меры она абсолютно непрерывна - то имеется в виду абсолютная непрерывность относительно меры Лебега.

Тот же принцип верен для мер на борелевских подмножествах ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {n}, п geq 2}$.

Эквивалентные определения

Следующие условия на конечную меру μ на борелевских подмножествах вещественной прямой эквивалентны:^[10]

(1) μ абсолютно непрерывен;

(2) для каждого положительного числа ε есть положительное число δ такой, что μ(А) < ε для всех борелевских наборов А меры Лебега меньше δ;

(3) существует интегрируемая по Лебегу функция грамм на реальной линии, такой что

${ displaystyle mu (A) = int _ {A} g , d lambda}$

для всех борелевских подмножеств А реальной линии.

Эквивалентное определение в терминах функций см. В разделе Связь между двумя понятиями абсолютной преемственности.

Любая другая функция, удовлетворяющая (3), равна грамм почти всюду. Такая функция называется Производная Радона – Никодима, или плотность, абсолютно непрерывной меры μ.

Эквивалентность между (1), (2) и (3) сохраняется также в р^п для всех п = 1, 2, 3, ...

Таким образом, абсолютно непрерывные меры на р^п именно те, у которых есть плотности; как частный случай, абсолютно непрерывные вероятностные меры - это как раз те, которые имеют функции плотности вероятности.

Обобщения

Если μ и ν два меры на том же измеримое пространство ${ displaystyle (X, { mathcal {A}})}$, μ как говорят абсолютно непрерывна относительно ν если μ(А) = 0 для каждого набора А для которого ν(А) = 0.^[11] Это записывается как "μ ${ displaystyle ll}$ ν". То есть:

${ displaystyle mu ll nu qquad iff qquad forall A in { mathcal {A}} quad ( nu (A) = 0 Rightarrow mu (A) = 0). }$

Абсолютная преемственность мероприятий рефлексивный и переходный, но не антисимметричный, так что это Предварительный заказ а не частичный заказ. Вместо этого, если μ ${ displaystyle ll}$ ν и ν ${ displaystyle ll}$ μ, меры μ и ν как говорят эквивалент. Таким образом, абсолютная непрерывность индуцирует частичное упорядочение таких классы эквивалентности.

Если μ это подписанный или же комплексная мера, он сказал, что μ абсолютно непрерывна относительно ν если его вариация |μ| удовлетворяет |μ| ≪ ν; эквивалентно, если каждый набор А для которого ν(А) = 0 является μ-ноль.

В Теорема Радона – Никодима^[12] заявляет, что если μ абсолютно непрерывна относительно ν, и обе меры σ-конечный, тогда μ имеет плотность, или "производную Радона-Никодима", относительно ν, что означает, что существует ν-измеримая функция ж принимающие значения в [0, + ∞), обозначаемые ж = dμ/dν, что для любого ν-мерный набор А у нас есть

${ displaystyle mu (A) = int _ {A} f , d nu.}$

Особые меры

Через Теорема разложения Лебега,^[13] любую меру можно разложить на сумму абсолютно непрерывной меры и особой меры. Видеть особая мера для примеров мер, которые не являются абсолютно непрерывными.

Связь между двумя понятиями абсолютной преемственности

Конечная мера μ на Борелевские подмножества вещественной прямой абсолютно непрерывна относительно Мера Лебега тогда и только тогда, когда точечная функция

${ Displaystyle F (х) = му ((- infty, х])}$

является абсолютно непрерывной действительной функцией. В общем, функция является локально (то есть на каждом ограниченном интервале) абсолютно непрерывной тогда и только тогда, когда ее производная по распределению является мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега.

В случае абсолютной непрерывности производная Радона – Никодима μ почти всюду равна производной от F.^[14]

В более общем плане мера μ предполагается локально конечным (а не конечным) и F(Икс) определяется как μ((0,Икс]) за Икс > 0, 0 для Икс = 0, и -μ((Икс, 0]) для Икс < 0. В этом случае μ это Мера Лебега – Стилтьеса создано F.^[15]Связь между двумя понятиями абсолютной непрерывности все еще сохраняется.^[16]

Примечания

Рекомендации

• Амбросио, Луиджи; Джильи, Никола; Саваре, Джузеппе (2005), Градиентные потоки в метрических пространствах и в пространстве вероятностных мер, ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель, ISBN  3-7643-2428-7
• Атрейя, Кришна Б .; Лахири, Соумендра Н. (2006), Теория меры и теория вероятностей, Спрингер, ISBN  0-387-32903-X
• Леони, Джованни (2009), Первый курс в пространствах Соболева, Аспирантура по математике, Американское математическое общество, стр. Xvi + 607 ISBN  978-0-8218-4768-8, МИСТЕР2527916, Zbl  1180.46001, MAA
• Нильсен, Оле А. (1997), Введение в теорию интеграции и меры, Wiley-Interscience, ISBN  0-471-59518-7
• Ройден, Х.Л. (1988), Реальный анализ (третье изд.), Collier Macmillan, ISBN  0-02-404151-3

внешняя ссылка

• Абсолютная преемственность в Энциклопедия математики
• Темы реального и функционального анализа к Джеральд Тешл