Функция Вейерштрасса - Weierstrass function

Не путать с Эллиптическая функция Вейерштрасса (${ displaystyle wp}$) или Сигма, дзета или эта-функции Вейерштрасса.

График функции Вейерштрасса на интервале [−2, 2]. Как и другие фракталы, функция показывает самоподобие: каждое увеличение (красный кружок) похоже на глобальный график.

В математика, то Функция Вейерштрасса является примером реального функция то есть непрерывный везде, кроме дифференцируемый нигде. Это пример фрактальная кривая. Он назван в честь его первооткрывателя. Карл Вейерштрасс.

Функция Вейерштрасса исторически выполняла роль патологический функция, являющаяся первым опубликованным примером (1872 г.), специально придуманным, чтобы оспорить представление о том, что каждая непрерывная функция дифференцируема, кроме как на множестве изолированных точек.^[1] Доказательство Вейерштрасса, что непрерывность не подразумевает дифференцируемости почти всюду, перевернуло математику, опровергнув несколько доказательств, основанных на геометрической интуиции и расплывчатых определениях гладкость. Эти типы функций осуждались современниками: Анри Пуанкаре классно описал их как «монстров» и назвал работу Вейерштрасса «возмущением здравого смысла», в то время как Чарльз Эрмит писали, что они были «жалким бичом». Функции было невозможно визуализировать до появления компьютеров в следующем столетии, поэтому доказательство результата полностью полагалось на технически сложные теоретические шаги. Результаты не получили широкого признания до тех пор, пока на практике не используются модели Броуновское движение потребовали бесконечно зубчатых функций (ныне известных как фрактальные кривые).^[2]

Строительство

Анимация основана на увеличении значения b с 0,1 до 5.

В оригинальной статье Вейерштрасса функция была определена как Ряд Фурье:

${ displaystyle f (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a ^ {n} cos (b ^ {n} pi x),}$

куда ${ Displaystyle 0 <а <1}$, ${ displaystyle b}$ является положительным нечетным целым числом, и

${ displaystyle ab> 1 + { frac {3} {2}} pi.}$

Минимальное значение ${ displaystyle b}$ для которого существует ${ Displaystyle 0 <а <1}$ такие, что эти ограничения выполняются, ${ displaystyle b = 7}$. Эта конструкция, наряду с доказательством того, что функция не дифференцируема ни на каком интервале, была впервые представлена ​​Вейерштрассом в статье, представленной в Königliche Akademie der Wissenschaften 18 июля 1872 г.^[3][4][5]

Несмотря на то, что эта функция никогда не была дифференцируемой, она непрерывна: поскольку члены бесконечного ряда, который ее определяет, ограничены ±а^п и это имеет конечную сумму при 0 < а <1, сходимость суммы слагаемых равна униформа посредством М-тест Вейерштрасса с M_п = а^п. Поскольку каждая частичная сумма непрерывна, по равномерная предельная теорема, следует, что ж непрерывно. Кроме того, поскольку каждая частичная сумма равна равномерно непрерывный, следует, что ж также равномерно непрерывно.

Можно было ожидать, что непрерывная функция должна иметь производную или что множество точек, в которых она не дифференцируема, должно быть счетно бесконечным или конечным. Согласно Вейерштрассу в его статье, ранние математики, в том числе Гаусс часто предполагал, что это правда. Это может быть связано с тем, что трудно нарисовать или визуализировать непрерывную функцию, набор недифференцируемых точек которой представляет собой нечто иное, чем счетный набор точек. Аналогичные результаты для классов непрерывных функций с лучшим поведением существуют, например Липшицевы функции, множество точек недифференцируемости которого должно быть Нулевой набор Лебега (Теорема Радемахера ). Когда мы пытаемся нарисовать общую непрерывную функцию, мы обычно рисуем график функции, которая является липшицевой или иначе хорошо себя ведет.

Функция Вейерштрасса была одной из первых фракталы изучен, хотя этот термин использовался намного позже. У функции есть детализация на каждом уровне, поэтому увеличение участка кривой не показывает, что он постепенно приближается к прямой линии. Скорее между любыми двумя точками, независимо от того, насколько близко, функция не будет монотонной.

Расчет Хаусдорфово измерение D графика классической функции Вейерштрасса оставалось открытой проблемой до 2018 г .: в то время как обычно считалось, что D 2 + журнал_ба,^[6][7] только спустя более 30 лет^{[требуется разъяснение ]} было это строго доказано.^[8]

Термин функция Вейерштрасса часто используется в реальном анализе для обозначения любой функции со свойствами и конструкцией, аналогичными первоначальному примеру Вейерштрасса. Например, функцию косинуса в бесконечном ряду можно заменить на кусочно-линейная функция "зигзаг". Г. Х. Харди показал, что функция приведенной выше конструкции нигде не дифференцируема при предположениях 0 < а < 1, ab ≥ 1.^[9]

Преемственность Гёльдера

Функцию Вейерштрасса удобно записать эквивалентным образом:

${ displaystyle W _ { alpha} (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} b ^ {- n alpha} cos (b ^ {n} pi x)}$

за ${ Displaystyle альфа = - { гидроразрыва { ln (a)} { ln (b)}}}$. потом W_α(Икс) является Гёльдер непрерывный экспоненты α, то есть существует постоянная C такой, что

${ displaystyle | W _ { alpha} (x) -W _ { alpha} (y) | leq C | x-y | ^ { alpha}}$

для всех Икс и у.^[10] Более того, W₁ непрерывна по Гёльдеру всех порядков α <1 но нет Липшицева непрерывная.

Плотность нигде не дифференцируемых функций

Оказывается, функция Вейерштрасса - далеко не единичный пример: хотя она «патологическая», она также «типична» для непрерывных функций:

• В топологический смысл: множество нигде не дифференцируемых действительных функций на [0, 1] есть пришелец в векторное пространство C([0, 1]; р) всех непрерывных вещественнозначных функций на [0, 1] с топологией равномерное схождение.^[11][12]
• В теоретико-мерный смысл: когда пространство C([0, 1]; р) оснащен классическая мера Винера γ, набор функций, дифференцируемых даже в одной точке отрезка [0, 1], имеет γ-измерять ноль. То же самое верно, даже если взять конечномерные «срезы» C([0, 1]; р) в том смысле, что нигде-дифференцируемые функции образуют преобладающее подмножество из C([0, 1]; р).

Смотрите также

• Кривая Бланманже
• Коха снежинка
• Непрерывная функция в никуда

Примечания

Рекомендации

• Дэвид, Клэр (2018), «Обход динамических систем: простой способ получить размерность подсчета ящиков графика функции Вейерштрасса», Труды Международного центра геометрии, Академия наук Украины, 11 (2): 53–68, Дои:10.15673 / tmgc.v11i2.1028
• Фальконер, К. (1984), Геометрия фрактальных множеств, Cambridge Tracts in Mathematics, Book 85, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-33705-2
• Gelbaum, B Bernard R .; Олмстед, Джон М. Х. (2003) [1964], Контрпримеры в анализе, Дуврские книги по математике, Дуврские публикации, ISBN  978-0-486-42875-8
• Харди, Г. (1916), «Недифференцируемая функция Вейерштрасса» (PDF), Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 17 (3): 301–325, Дои:10.2307/1989005, JSTOR  1989005
• Вейерштрасс, Карл (18 июля 1872 г.), Übercontinirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen, Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften
  • Вейерштрасс, Карл (1895), "Übercontinirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen", Mathematische Werke von Karl Weierstrass, 2, Берлин, Германия: Mayer & Müller, стр. 71–74.
  • Английский перевод: Эдгар, Джеральд А. (1993), «О непрерывных функциях действительного аргумента, которые не имеют четко определенной производной для любого значения своего аргумента», Классика о фракталах, Исследования в области нелинейности, издательство Addison-Wesley Publishing Company, стр. 3–9, ISBN  978-0-201-58701-2

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Вейерштрасса». MathWorld. (другая функция Вейерштрасса, которая также является непрерывной и нигде не дифференцируемой)
• Нигде дифференцируемая непрерывная функция доказательство существования с использованием Принцип сжатия Банаха.
• Монотонная непрерывная функция в никуда доказательство существования с использованием Теорема Бэра о категории.
• Йохан Тим. «Непрерывные нигде не дифференцируемые функции». Магистерская диссертация Лулео технологического университета 2003. Получено 28 июля 2006.
• Функция Вейерштрасса на комплексной плоскости Красивый фрактал.
• SpringerLink - Журнал анализа Фурье и приложений, том 16, номер 1 Простые доказательства дифференцируемости нигде функции Вейерштрасса и случаи медленного роста
• Функции Вейерштрасса: непрерывные, но нигде не дифференцируемые