Теорема Бэра о категории - Baire category theorem

В Теорема Бэра о категории (BCT) - важный результат в общая топология и функциональный анализ. Теорема имеет две формы, каждая из которых дает достаточные условия для топологическое пространство быть Пространство Бэра (топологическое пространство такое, что пересечение из счетно много плотный открытые наборы все еще плотный).

Теорема была доказана французским математиком. Рене-Луи Бэр в докторской диссертации 1899 г.

утверждение

А Пространство Бэра является топологическим пространством со свойством, что для каждого счетный коллекция открыто плотные множества $(U п) \infty п =1$ , их пересечение $\cap п \in ℕ U п$ плотный.

(BCT1) Каждые полный псевдометрическое пространство это пространство Бэра.^[1] Таким образом, каждый полностью метризуемый топологическое пространство - это пространство Бэра. В более общем смысле каждое топологическое пространство, которое гомеоморфный чтобы открытое подмножество из полный псевдометрическое пространство это пространство Бэра.
(BCT2) Каждые локально компактный Пространство Хаусдорфа это пространство Бэра. Доказательство аналогично предыдущему утверждению; то свойство конечного пересечения берет на себя роль полноты.

Ни одно из этих утверждений напрямую не влечет за собой другое, поскольку существуют полные метрические пространства, не являющиеся локально компактными ( иррациональные числа с метрикой, определенной ниже; также любые Банахово пространство бесконечной размерности), и существуют локально компактные хаусдорфовы пространства, не являющиеся метризуемый (например, любое несчетное произведение нетривиальных компактных хаусдорфовых пространств является таким; также, несколько функциональных пространств, используемых в функциональном анализе; несчетное Пространство форта ).Увидеть Стин и Зеебах в ссылках ниже.

(BCT3) Непустое полное метрическое пространство с непустой внутренней частью или любое из его подмножеств с непустой внутренней частью не является счетным объединением нигде-плотный наборы.

Эта формулировка эквивалентна BCT1 и иногда более полезна в приложениях. Кроме того, если непустое полное метрическое пространство является счетным объединением замкнутых множеств, то одно из этих замкнутых множеств имеет непустой интерьер.

Отношение к аксиоме выбора

Доказательство BCT1 для произвольных полных метрических пространств требует некоторой формы аксиома выбора; и фактически BCT1 эквивалентен над ZF к аксиома зависимого выбора, слабая форма аксиомы выбора.^[2]

Ограниченная форма теоремы Бэра о категории, в которой полное метрическое пространство также предполагается отделяемый, доказуемо в ZF без дополнительных принципов выбора.^[3]Эта ограниченная форма применяется, в частности, к реальная линия, то Пространство Бэра ω^ω, то Канторовское пространство 2^ω, и отделимый Гильбертово пространство такие как $L 2 (ℝ п)$ .

Использует

BCT1 используется в функциональный анализ доказать теорема об открытом отображении, то теорема о замкнутом графике и принцип равномерной ограниченности.

BCT1 также показывает, что каждое полное метрическое пространство без изолированные точки является бесчисленный. (Если $Икс$ - счетное полное метрическое пространство без изолированных точек, то каждое одиночка ${Икс$ } в $Икс$ является нигде не плотный, и так $Икс$ имеет первая категория в себе.) В частности, это доказывает, что множество всех действительные числа бесчисленное множество.

BCT1 показывает, что каждое из следующего является пространством Бэра:

Космос $ℝ$ из действительные числа
В иррациональные числа, с метрикой, определяемой $d (Икс, у) = 1 / п + 1$ , где $п$ это первый индекс, для которого непрерывная дробь расширение $Икс$ и $у$ различаются (это полное метрическое пространство)
В Кантор набор

От BCT2, каждая конечномерная хаусдорфова многообразие является пространством Бэра, поскольку оно локально компактно и хаусдорфово. Это так даже для не-паракомпакт (следовательно, неметризуемые) многообразия, такие как длинная линия.

BCT используется для доказательства Теорема Хартогса, фундаментальный результат теории многих комплексных переменных.

Доказательство

Ниже приводится стандартное доказательство того, что полное псевдометрическое пространство ${ displaystyle scriptstyle X}$ это пространство Бэра.

Позволять $U п$ - счетный набор открытых плотных подмножеств. Мы хотим показать, что пересечение $\cap U п$ плотно. Подмножество плотно тогда и только тогда, когда каждое непустое открытое подмножество пересекает его. Таким образом, чтобы показать, что пересечение плотно, достаточно показать, что любое непустое открытое множество $W$ в $Икс$ имеет смысл $Икс$ вместе со всеми $U п$ .Поскольку $U 1$ плотный, $W$ пересекает $U 1$ ; таким образом, есть точка $Икс 1$ и $0 < р 1 < 1$ такой, что:

B (Икс 1, р 1) \subseteq W \cap U 1

где $B (Икс, р)$ и $B (Икс, р)$ обозначают открытый и закрытый шар с центром в $Икс$ с радиусом $р$ .Поскольку каждый $U п$ плотно, мы можем продолжить рекурсивно, чтобы найти пару последовательностей $Икс п$ и $0 < р п < 1 / п$ такой, что:

B (Икс п, р п) \subseteq B (Икс п -1, р п -1) \cap U п

.

(Этот шаг основан на выбранной аксиоме и на том факте, что конечное пересечение открытых множеств открыто, и, следовательно, внутри него можно найти открытый шар с центром в $Икс п$ .)Поскольку $Икс п \in B (Икс м, р м)$ когда $п > м$ у нас есть это $Икс п$ является Коши, и, следовательно $Икс п$ сходится к какому-то пределу $Икс$ по полноте. $п$ , по замкнутости, $Икс \in B (Икс п, р п)$ .

Следовательно, $Икс \in W$ и $Икс \in U п$ для всех $п$ .

Существует альтернативное доказательство М. Бейкера для доказательства теоремы с использованием Игра Шоке.^[4]

Смотрите также

Заметки

Процитированные работы

Бэр, Р. (1899). "Sur les fonctions de variable réelles". Анна. ди Мат. 3: 1–123.
Бейкер, Мэтт (7 июля 2014 г.). «Действительные числа и бесконечные игры, часть II: игра Шоке и теорема Бэра о категориях». Математический блог Мэтта Бейкера.
Блэр, Чарльз Э. (1977). «Теорема Бэра о категории подразумевает принцип зависимого выбора». Бык. Акад. Полон. Sci. Сэр. Sci. Математика. Астроном. Phys. 25 (10): 933–934.
Гамлен, Теодор В.; Грин, Роберт Эверист. Введение в топологию (2-е изд.). Дувр.
Леви, Азриэль (2002) [Впервые опубликовано в 1979 году]. Основная теория множеств (Перепечатано под ред.). Дувр. ISBN 0-486-42079-5.
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-158488866-6. OCLC 144216834.
Шехтер, Эрик. Справочник по анализу и его основам. Академическая пресса. ISBN 0-12-622760-8.
Стин, Линн Артур; Зеебах, Дж. Артур мл. (1978). Контрпримеры в топологии. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Дуврское издание).

дальнейшее чтение

Тао, Т. (1 февраля 2009 г.). "245B, Примечания 9: Теорема Бэра о категории и ее следствия для банахова пространства".

внешние ссылки

Энциклопедия математики статья по теореме Бэра

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011371–423-1] Наричи и Бекенштейн 2011 С. 371–423.

[FOOTNOTEBlair1977-2] Блэр 1977.

[FOOTNOTELevy2002212-3] Леви 2002, п. 212.

[FOOTNOTEBaker2014-4] Бейкер 2014.

[1]

[2]

[3]

[4]